Termodin´amica estadıstica: Multiplicadores de Lagrange

Termodinámica estadı́stica: Multiplicadores de Lagrange
Jesús Hernández Trujillo
Agosto de 2014
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Considerar siguiente el problema de optimización:
Encontrar el extremo de
f = f (x, y, z)
(1)
sujeto a la restricción:
%
g(x, y, z) = 0
(2)
Una posibilidad de solución: la sustitución directa.
Despejar una variable de (2)
Sustituir en (1)
Obtener el extremo de la función de 2 variables sin restricción.
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Ejemplo:
% Obtén el volumen de la caja de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio R.
Etapas:
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El volumen y la restricción son
z
V (x, y, z) = xyz
x
y
z2
+
+
− R2 = 0
4
4
4
2
x
y
Resp:
8R3
V = √
3 3
2
Despeja una variable de la restricción (ej. z ).
Sustituye z en V (x, y, z).
Resuelve ∇V = 0̄ para encontrar {xc , yc }.
Encuentra zc a partir de {xc , yc } y de allı́ el volumen máximo.
2
Consideraciones adicionales:
%
El método de sustitución directa es simple para problemas sencillos.
Cuando hay más de una restricción, frecuentemente conduce a un sistema de ecuaciones no
lineales.
Hay otros métodos adecuados para abordar el problema.
El método de los multiplicadores de Lagrange proporciona un tratamiento sistemático del problema
de optimización con restricciones.
Se trata de un procedimiento relevante en las ciencias fı́sicas.
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En términos de diferenciales
La condición para que f (x, y, z) sea un extremo es
∇f (x, y, z) =
%
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
= (0, 0, 0)
(3)
Es decir, la diferencial
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz
(4)
vale cero:
df = 0
(5)
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Cuando se impone la restricción (2)
g(x, y, z) = 0
las variables {x, y, z} ya no son independientes.
Aunque
dg =
∂g
∂x
dx +
∂g
∂y
dy +
∂g
∂z
dz = 0
(6)
no necesariamente se cumple (5).
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Es posible sumar un múltiplo de (6) a (4) tal que
∂g
∂f
−λ
dx +
df + λdg =
∂x
∂x
∂f
∂g
−λ
dy +
∂y
∂y
∂f
∂g
−λ
dz = 0
∂z
∂z
(7)
Se escoge λ tal que
∂f
∂z
−λ
∂g
∂z
=0
(8)
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Por lo tanto, de (8) y (7)
∂g
∂f
−λ
∂x
∂x
dx +
∂g
∂f
−λ
∂y
∂y
dy = 0
(8)
Al tomar dx y dy como arbitrarios
∂f
∂x
∂f
∂y
−λ
−λ
∂g
∂x
∂g
∂y
= 0
(9)
= 0
(10)
Se resuelve el sistema (2),(8),(9) y (10) para encontrar
{x, y, z, λ}.
λ es el multiplicador de Lagrange
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Extensión al caso general:
Encontrar el extremo de un campo escalar en n variables:
f = f (x1 , x2 , . . . , xn )
(11)
sujeto a las restricciones:
gk (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0,
i = 1, . . . , m
(12)
– Se introduce un multiplicador por cada restricción: {λk }.
– Las condiciones necesarias para el extremo son:
∂f
∂xi
−
n
X
k
λk
∂gk
∂xi
= 0,
i = 1, . . . , n
(13)
– El sistema de ecs. (12)–(13) se resuelve para {xi } y {λk }.
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Interpretación geométrica
Un problema en dos variables:
Encontrar extremos de
z = f (x, y)
sujetos a la restricción
g(x, y) = 0
Debido a la restricción, x y y no son independientes.
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g(x, y) = 0
(12)
∇f = λ∇g
∇f
∇f − λ∇g = 0̄
∇g
máximo
de f
Por componentes:
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f (x, y) = c
∂f
∂x
∂f
∂y
−λ
−λ
6
∂g
∂x
∂g
∂y
= 0
= 0
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Ejercicios: Minimiza:
1. La función f (x, y) = x2 + 2y 2 sujeto a x + y = 1. Representa gráficamente este problema.
2. La función f (x, y, z) =
1
2
(x2 + y 2 + z 2 ) sujeto a
g1 (x, y, z) = x − y = 0
g2 (x, y, z) = x + y + z − 1 = 0
Notas:
⇒ En los problemas anteriores, los multiplicadores de Lagrange son auxiliares para encontrar el extremo.
⇒ En mecánica estadı́stica es de interés conocer los multiplicadores.
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Tarea: Considera una partı́cula en una caja de potencial infinito tridimensional cuya energı́a en el
estado basal es:
h2
E=
8m
1
1
1
+
+
L2x
L2y
L2z
!
Encuentra la forma de la caja que minimiza la energı́a de tal forma que el volumen permanezca
constante.
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Referencias:
1. G. Arfken, Mathematical methods for physicists,
Academic Press, 1985.
2. D. G. Zill, Cálculo con geometrı́a analı́tica,
Grupo Editorial Iberoamérica, 1987.
3. D. A. McQuarrie, Statistical mechanics,
John Wiley & Sons, 1998.
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