Tema 4 Integración de funciones de varias variables

Departamento de Matemáticas. Universidad de Jaén.
Análisis Matemático II. Curso 2009-2010.
Tema 4: Integración de funciones de varias variables
1. Evaluar las siguientes integrales iteradas
Z 1Z 2
a)
(x2 − y 2 )dydx
−1
Z
4
−2
√
Z
x
2ye−x dydx
b)
1
Z
1
4
x2
Z
c)
−4 0
Z 2 Z 2y
d)
0
Z
√
64 − x3 dydx
(10 + 2x2 + 2y 2 )dxdy
y
2y−y 2
2Z
e)
3ydxdy
3y 2 −6y
0
Z
π/2
sen(θ)
Z
f)
rθdrdθ
0
Z
0
π/4
cos(θ)
Z
3r2 sen(θ)drdθ
g)
0
0
2. Utilizar una integral doble para calcular el área de la región limitada por las
gráficas de las ecuaciones.
a) y = x3/2 , y = 2x.
b) xy = 9, y = x, y = 0, x = 9.
c) y = x, y = 2x, x = 2.
3. Dibujar la región R de integración y cambiar el orden de integración.
Z 4Z 2
a)
f (x, y)dxdy
√
0
Z
y
4−x2
2Z
b)
f (x, y)dydx
0
Z
0
2
e−x
Z
c)
f (x, y)dydx
−1
Z
0
π/2
Z
d)
cos(x)
f (x, y)dydx
−π/2
0
4. Dibujar la región R cuya área está dada por la integral iterada. Después cambiar
el orden de integración y comprobar que ambas integrales coinciden.
Z 2Z 4
a)
dxdy
1
Z
b)
2
2
√
Z
4−x2
√
−2 − 4−x2
Z 9Z 3
c)
√
0
Z
2
dydx
dydx
x
4−y 2
Z
d)
dxdy
−2
0
5. Evaluar las siguientes integrales iteradas (observar que es necesario cambiar el
orden de integración).
Z 2Z 2
2
a)
e−y dydx
0
Z
x
1
Z
1
sen(x2 )dxdy
b)
0
Z
y
2
Z
4
c)
0
√
x sen(x)dxdy
y2
6. ¿La siguiente igualdad es verdadera o falsa? Justifica tu respuesta.
Z 1Z x
Z 1Z y
f (x, y)dydx =
f (x, y)dxdy.
0
0
0
0
7. Hallar el valor promedio de f (x, y) en la región R donde
Z Z
1
Valor promedio =
f (x, y)dA,
A
R
donde A es el área de R.
a) f (x, y) = x, R es el rectángulo con vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2).
b) f (x, y) = xy, R es el rectángulo con vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2).
c) f (x, y) = x2 + y 2 , R es el rectángulo con vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2).
d ) f (x, y) = ex+y , R es el triángulo con vértices (0, 0), (0, 1), (1, 1).
8. Las siguientes integrales iteradas representan la solución del mismo problema
¿Cuál de las integrales iteradas es más fácil de evaluar?
Z 4Z 2
Z 2 Z 2y
2
sen(y )dydx =
sen(y 2 )dxdy.
0
x/2
0
0
9. Hallar el volumen del sólido que se encuentra en el primer octante, acotado por
los planos coordenados y el plano
x y z
+ + = 1,
a b c
donde a, b, c > 0.
10. (Mathematica) Calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de las
ecuaciones:
a) z = 9 − x2 − y 2 , z = 0.
b) x2 = 9 − y, z 2 = 9 − y, primer octante.
c) z =
1
,
1+x2 +y 2
z = 0, y = 0, y = −0.5x + 1.
d ) z = ln(1 + x + y), z = 0, y = 0, x = 0, x = 4 −
√
y.
11. Calcular las siguientes integrales pasando a coordenadas polares:
Z
a
√
Z
a2 −x2
a)
x dydx
0
Z
0
2
b)
0
Z
Z √8−y2 p
x2 + y 2 dxdy
y
2
Z √4y−y2
c)
0
Z
x2 dxdy
y
2Z
d)
√
2x−x2
xy dydx
0
0
12. Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral doble
RR
R
f (x, y) dA.
a) f (x, y) = x + y, R : x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.
b) f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )/2
, R : x2 + y 2 ≤ 25, x ≥ 0.
c) f (x, y) = arctan(y/x), R : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x.
d ) f (x, y) = 9 − x2 − y 2 , R : x2 + y 2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0.
13. Usar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen de una
esfera de radio a.
RR
14. Hallar el valor de k para que
f (x, y)dA = 1 donde
R2
f (x, y) =
15. Evaluar las siguientes integrales:
2
2
ke−(x +y ) , x ≥ 0, y ≥ 0,
0,
en otro caso.
Z
3
2
Z
1
Z
a)
(x + y + z) dxdydz
0
Z
0
1
0
1
Z
Z
1
x2 y 2 z 2 dxdydz
b)
−1
Z
−1
9Z
−1
√
y/3 Z
y 2 −9x2
c)
z dzdxdy
0
Z
0
4
Z
0
e2
Z
1/(xz)
d)
ln(z) dydzdx
1
Z
1
0
π/2 Z y/2
1/y
Z
e)
sen(y) dzdxdy
1
0
0
16. Plantear una integral triple para calcular el volumen de los siguientes sólidos:
a) El sólido acotado por z = 9 − x2 , z = 0, x = 0, y = 2x.
b) El sólido acotado por el paraboloide z = 9 − x2 − y 2 y el plano z = 0.
c) El sólido que es el interior común bajo la esfera x2 + y 2 + z 2 = 80 y sobre el
paraboloide z = (x2 + y 2 )/2.
17. Dibujar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada y reescribir la
integral utilizando el orden de integración indicado:
Z
3
√
Z
9−x2
Z
6−x−y
a)
dzdydx. Reescribir utilizando el orden dzdxdy.
0
Z
0
2
Z
0
4
Z √y2 −4x2
dzdydx. Reescribir utilizando el orden dxdydz.
b)
0
2x
0
18. Hallar la región sólida Q donde la integral triple
Z Z Z
(1 − x2 − y 2 − z 2 )dV
Q
alcanza su valor máximo. ¿Cuál es ese valor máximo?
19. Encontrar el valor de a para que cumpla la igualdad
Z
1
Z
3−a−y 2
4−x−y 2
Z
dzdxdy =
0
0
a
14
.
15
20. Determinar el valor de b de manera que el volumen del elipsoide
x2 +
sea de 16π.
y2 z2
+
=1
b2
9
21. Convertir la integral de coordenadas rectangulares a coordenadas cilı́ndricas y a
coordenadas esféricas. Evaluar la que resulte más sencilla.
Z
a)
2
√
Z
4−x2
Z
4
x dzdydx.
√
− 4−x2 x2 +y 2
√
√
2Z
4−x2 Z
16−x2 −y 2
−2
Z
p
x2 + y 2 dzdydx.
b)
0
Z
0
1Z
0
√
1−x2
Z √1−x2 −y2 p
x2 + y 2 + z 2 dzdydx.
c)
0
0
0
22. Utilizar coordenadas cilı́ndricas para hallar el volumen de los siguientes sólidos:
a) Sólido interior a x2 + y 2 + z 2 = a2 y (x − a/2)2 + y 2 = (a/2)2 .
p
b) Sólido interior a x2 + y 2 + z 2 = 16 y exterior a z = x2 + y 2 .
c) Sólido limitado por las gráficas de la esfera r2 + z 2 = a2 y del cilindro
r = a cos(θ).
d ) Sólido interior a la esfera x2 +y 2 +z 2 = 4 y sobre la hoja del cono z 2 = x2 +y 2 .
23. Describir la superficie cuya ecuación es “coordenada=constante” en el sistema de
coordenadas cilı́ndricas y esféricas.
24. (Mathematica) Hallar el “volumen”de la hiperesfera de cuatro dimensiones x2 +
y 2 + z 2 + w2 = a2 evaluando
Z a Z √a2 −x2 Z √a−x2 −y2 Z √a−x2 −y2 −z2
16
dwdzdydx.
0
0
0
0
25. Considerar el sólido acotado inferiormente por el plano z = 2 y superiormente
por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 8.
a) Hallar el volumen del sólido usando coordenadas cilı́ndricas.
b) Hallar el volumen del sólido usando coordenadas esféricas.
26. Utilizar coordenadas esféricas para hallar la masa de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2
de densidad:
a) La densidad en cada punto es proporcional a la distancia entre el punto y
el origen.
b) La densidad en cada punto es proporcional a la distancia del punto al eje z.
27. Utilizar coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido:
a) (Mathematica) El toro dado por ρ = 4 sen(φ).
b) El sólido comprendido entre las esferas x2 + y 2 + z 2 = a2 y x2 + y 2 + z 2 = b2 ,
b > a, e interior al cono z 2 = x2 + y 2 .
28. Utilizar las coordenadas esféricas para mostrar que
Z ∞Z ∞Z ∞p
2
2
2
x2 + y 2 + z 2 e−(x +y +z ) dxdydz = 2π.
−∞
−∞
−∞