Repaso del primer parcial de Mate III

Repaso del segundo parcial de Mate III
I. Derivada direccional, plano tangente y recta normal
1) Encuentre la derivada direccional de f ( x, y, z)  x3 yz 2  4xy en el punto (1,-1,2)en la dirección de
u  2, 0, 1 Respuesta: 12
5


2) Si la temperatura en el punto (x,y,z) está dada por T ( x, y, z )  80  5e  z x 2  y 1 , encuentra la dirección
desde el punto (1,4,8)en la cual la temperatura decrece más rápidamente
Respuesta: 10e 8 , (5 / (16))e 8 , (25 / 4)e 8
3) Encuentre la ecuación del plano tangente y la recta normal de x3 y  y 2  z 2  7 en el punto (1,2,3)
Respuesta: 6 x  3 y  6 z  18  0 ; x  1  6t; y  2  3t ; z  3  6t
II. Utilice el criterio de la segunda derivada para resolver los siguientes problemas
1) Un fabricante nacional estima que el número de unidades que vende cada año es una función de los gastos
hechos en la publicidad por radio y televisión. La función que especifica esta relación es z = 50000x+40000y10x2 -20y2-10xy Donde z es el número de unidades vendidas al año , x denota la cantidad destinada a la
publicidad por televisión y la y indica la cantidad gastada en la publicidad por radio (ambas en miles).
Determine cuánto dinero deberá invertirse en ambos tipos de publicidad a fin de maximizar el número de
unidades vendidas.
Respuesta: x =2285.72, y=428.57
2) Un fabricante vende dos productos afines, cuyas demandas son: para el primer producto 150-2x-y y para el
segundo es de 200-x-3y, donde x y y representan el precio de los productos primero y segundo en forma
respectiva La compañía necesita determinar el precio que deberá poner a cada producto, a fin de maximizar los
ingresos totales de la venta de ambos. Respuesta: x =25, y=25
III. Utilice multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas:
3
2
f ( x, y )  100 x 5 y 5
1) La función de producción de Cobb-Douglas para un cierto fabricante viene dada por
donde x denota la unidades de trabajo (a $ 48 la unidad) e y las unidades de capital (a $36 la unidad). Hallar el
máximo nivel de producción admisible para este fabricante, si tiene el costo conjunto de trabajo y capital
limitado a $100,000. Respuesta: x =1250, y=(10000)/9
2) Se va a construir una caja rectangular, sin tapa, de un trozo de cartón de 108cm2. Encuentre el máximo volumen
de esta caja Respuesta: x=36; y=18, z=18, V=36(18)(18)
3) Suponga que la temperatura de un plato de metal está dado por T ( x, y)  x 2  2 xy  y 2 . Encuentre la
temperatura máxima y mínima en el plato definido por x 2  4 y 2  24 Respuesta: x  4.38178; y  1.09545
4) Calcula los extremos relativos de la función f(x,y)=x2+2y2 -xy sujeto a la restricción 2x+y=22 Respuesta: x=9, y= 4
IV. Integral doble: Responde lo que se pide:
1) Evaluar a)

sen ( x )
0
0
 
1  cos( x) dydx
b)
2

0
4 y 2
0

2

 4  y2


dxdy R: a) 2; b) 4


2) Obtener el volumen del sólido limitado por:
a) 2 x  3 y  4 z  12; en el primer octante R: 12
b) z  4  y 2 ; y  x;
y  2; z  0; x  0 ; R:
c) x  z  1; y  z  1; primer octante R: 2/3
d) z  x  y; x2  y 2  4; primer octante R: 16/3
2
2
2
2
3) Intercambiar el orden de integración y evaluar
a)
1 1/2

0
y /2
e dxdy b) 
 x2
 1 
dydx c)
0
e  ln y 


c) (1/ 3)(2 2 1) d)
ln10

10
x
1

arccos y
0 0
s en(x) 1 sen x dxdy d)   
2
2
2
0
x2
2
R: a) 1  e 1/4 ; b)
V. Integral doble con coordenadas polares
1) Escribir en coordenadas polares
2
x
0
0

x2  y 2 dydx  
2 2
2

0
8 x2

y cos( y ) dydx
x2  y 2 dydx R: (1/ 3)(4 2  )
 y
 Arc tan  x dA;
2) Use coordenadas polares para calcular
R es la región 1  x 2  y 2  4; 0  y  x
R
R: (1/ 64)(3 )
3) Obtener el volumen del sólido limitado por:
a) z  xy; x2  y 2  1; primer octante
R: 1/8
2
b) z 
R: (1/ 3)(250  )
x 2  y 2 ; z=0; x 2  y 2  25
2
2
2
2
c) Interior a z  16  x  y ; interior x  y  4 x  0 R: (64 / 9)(3  4)
VI. Área superficial
1)Obtener el área de la superficie dada por z=f(x,y) sobre la región R
a) f ( x, y)  ln sec x ; R : 0  x   4 ; 0  y  tan x R: ( 2-1)
b) f ( x, y ) 
x2  y 2 ; R : 0  z  1
2
R:
2
2
2
2
2
2
c) f ( x, y )  a  x  y ; R : x  y  b ; 0  b  a R: (2  a)(a  a 2  b2 )
d) z  24  3x  2 y; primer octante
R: 48 14
e) x  y  z  25 en el interior de x  y 2  9 R: 20
VII. Integral Triple
Coordenadas cartesianas
2
2
1) Evaluar
2
4
2
1

1
x
0 0
 2ze dydxdz
 x2
R: (15 / 2)(1  (1/ e))
2) Obtener el volumen con una integral triple del sólido dado:
a) z  4  x  y; en el primer octante
b) z  9  x2  y 2 ; z  0
c) x  4  y 2 ; z  x;
R:
3
 
1 y
0 0
0
 

1

2 z  z2
0 0
1
1 x

0 0
1 z
dydxdz  
0
4 x
4 x  y
0
0
0
9 x2  y 2
dzdydx
dzdxdy
0
z  0 R: (256)/(15)
dzdxdy  


3  9  y 2
1 y
0 0
0
1 y
1 1 z
1 y 2
1 1 y
1 y 2
0
0 0
0
0 0
0
1 1
0
1 1 y 2
   dzdxdy
 dzdydx     dxdydz    
3) Cambiar el orden de integración
1 1 y 2
9 y2
4
 
R:

2zz
2

1 x
0
dydxdz  
1 1
0
 
1 z
1 x 0
dydzdx  
dxdzdy
1 1 1 x

0 0

0
1 x
dydzdx
Coordenadas cilíndricas
1) Evaluar

4
 
0
2
0
2
0
r cos( )drd dz
R: 8
2) Pasar a coordenadas cilíndricas y evaluar
a)
4 y2
2
 
2  4  y
R: a)

2
2
0
0
 
4
x y
2
2
2
xdzdydx ; b)
4
a
 
a  a x
2
 2 r cos dzdrd ;
r
a2  x2
2
b)
2

a  a2  x2  y 2
a
2
a
a  a2  r 2
0
0
a
 
xdzdydx
r 2 cos dzdrd
3) Calcular el volumen usan coordenadas cilíndricas del sólido dado por:
2
2
2
2
a) interior a x  y  z  a ; y
 x  (a 2) 
2
 y 2   a 2  R: (2a3 / 9)(3  4)
b) interior a x2  y 2  z 2  a2 ; y x2  y 2  ax
Coordenadas esféricas
1) Evaluar
2

  
0
0
4
cos
0
 2 sen( )d  d d
2) Pasar a coordenadas esféricas y evaluar
R:  / 8
2
R: (2a3 / 9)(3  4)
a)
a)
 
2  4  y 2

arctan(1/2)
0
0
 
0

2
2 a cos 
0
a sec
xdzdydx b) 
2
4sec 
0
  
4
4
x2  y
2

b)
4 y2
2
a

a2  x2

 a  a2  x2
a  a 2  x2  y 2
a
 3sen2 d  d d  
2
0

 /2

xdzdydx
cot  csc 
arctan(1/2) 0
 3sen2 d  d d
 3 sen2 cos d  d d
3) Calcular el volumen usan coordenadas esféricas del sólido dado:
c)
fuera de z 2  x2  y 2 ; y dentro de x2  y 2  z 2  1 R: (2 / 3)( 2)
d) Limitado por z 
x 2  y 2 ; x 2  y 2  4; plano xy R: (16 / 3)