Tercera Solemne.

Tercera Solemne.
Cálculo Varias Variables
Nombre:
1. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones.
a) El volumen del sólido que se encuentra en el primer octante, limitado por el cilindro z = 9 − y 2
y el plano x = 2 es V = 36 unidades de medida.
(15 Puntos)
b) El volumen al interior de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 16 y al exterior del cilindro
π
V = unidades de medida.
3
c) La superficie
de la parte del paraboloide de ecuación z = x2 + y 2 que está debajo
√
es S = 37π.
x2 + y 2 = 4 es
(15 Puntos)
del plano z = 9
(15 Puntos)
2. Al evaluar una integral doble sobre una región D, se obtuvo una suma de integrales iteradas, a saber:
ZZ
Z
−1 Z
xy dA =
D
−3
√
2x+6
Z
xy dydx
√
− 2x+6
5
√
Z
2x+6
+
xy dydx
−1
x−1
Trace la región D, exprese la integral doble como una integral iterada con el orden de integración
invertido y determine el valor de esta.
(25 Puntos)
3. Considere V el sólido acotado por el paraboloide
y = x2 + z 2 y el plano y = 4. Si la densidad en un
√
punto cualquiera del sólido es ρ(x, y, z) = x2 + z 2 , determine la masa del sólido.
(30 Puntos)
Observaciones.
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Puntaje Máximo
100
Puntaje Mı́nimo.
60
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Puntaje Obtenido.
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Nota final.
Profesor
Email
:
:
Miguel Ángel Muñoz Jara.
[email protected].
1
Pauta.
00
9.
Observación. La solución de los siguientes problemas puede no ser única. Si encuentra algún
((Herror)) favor comuniquelo vı́a email.
est
re
2
1. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones.
les
.P
rim
er
Se
m
a) El volumen del sólido que se encuentra en el primer octante, limitado por el cilindro z = 9 − y 2
y el plano x = 2 es V = 36 unidades de medida.
(15 Puntos)
Solución. Primero grafiquemos la situación.
R zdA
Z
2
=
0
0
3
Z
2
0
Va
r
0
(9 − x )dy
dx
=
(9 − x2 )dydx
Va
r
=
ias
V
2Z 3
Z
RR
iab
De lo anterior podemos deducir que:
ulo
3
y3
= 2 9y −
= 36
3 0
era
So
lem
ne
de
Cá
lc
Ası́ de lo anterior podemos deducir que la afrimación dada es verdadera.
b) El volumen al interior de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 16 y al exterior del cilindro x2 + y 2 = 4 es
π
(15 Puntos)
V = unidades de medida.
3
Solución. Primero grafiquemos la situación.
Pa
ut
aT
erc
De lo anterior podemos deducir que:
V
=2
2π
Z
RR
R zdA = 2
Z
=2
2π
0
Z
4p
16 − r2 rdrdθ
2
4p
16 −
dθ
0
Z
r2 rdr
2
"p
#
√
(16 − r2 )3
= −4π
= 32π 3
3
Profesor
Email
:
:
Miguel Ángel Muñoz Jara.
[email protected].
2
Ası́ de lo anterior podemos deducir que la afrimación dada es falsa.
les
.P
rim
er
Se
m
est
re
2
00
9.
c) La superficie
de la parte del paraboloide de ecuación z = x2 + y 2 que esta debajo del plano z = 9
√
es S = 37π.
(15 Puntos)
Solución. Primero grafiquemos la situación.
S =
1+
D
∂z
∂x
2
+
∂z
∂y
2
dA
Va
r
s
RR
2π
√
#3
=
1 + 4r2 rdrdθ
0
373 − 1
π
6
ulo
2
Va
r
0
0
Cá
lc
(1 + r2 ) 3
= 2π
12
3p
Z
ias
Z
RR p
2
2
=
1 + 4x + 4y dA =
"
iab
Observe que al utilizar coordenadas polares obtenemos que:
Por lo tanto la afirmación dada es falsa.
de
2. Al evaluar una integral doble sobre una región D, se obtuvo una suma de integrales iteradas, a saber:
Z
−1 Z
lem
ne
ZZ
xy dA =
−3
D
√
2x+6
√
− 2x+6
Z
5
√
Z
2x+6
xy dydx +
xy dydx
−1
x−1
era
So
Trace la región D, exprese la integral doble como una integral iterada con el orden de integración
invertido y determine el valor de esta.
(25 Puntos)
Pa
ut
aT
erc
Solución. Observe que la región D en cuestión es:
Si consideramos la región D como una región del tipo II, se tiene que:
Profesor
Email
:
:
Miguel Ángel Muñoz Jara.
[email protected].
3
=
−2
1
=
2
Z
x2 y
2
4
−2
x=y+1
2
est
re
2
4
xydxdy
00
9.
y2
−3
2
−2
Z
y+1
Z
dy
x= y2 −3
y5
3
2
− + 4y + 2y − 8y dy
4
les
.P
rim
6
4
y
1
y2
4
2
− + y + 2 − 4y
=
= 36
2
24
3
−2
Se
m
D xy dA =
4
er
Z
RR
3. Considere V el sólido acotado por el paraboloide
y = x2 + z 2 y el plano y = 4. Si la densidad en un
√
(30 Puntos)
punto cualquiera del sólido es ρ(x, y, z) = x2 + z 2 , determine la masa del sólido.
Va
r
ias
Va
r
iab
Solución. Primero grafiquemos la situación.
ρ(x, y, z)dV =
V
x2 +z 2
D
RR
=
RR
:
:
Miguel Ángel Muñoz Jara.
[email protected].
V
x2 + z 2 dV
x2 + z 2 dydA
√
− x2 − z 2 y] x2 + z 2 dA
D [4
Z
2π
2
Z
=
0
√
[4 − r2 ] r2 rdrdθ
0
Z
= 2π
2
[4r2 − r4 ]dr
0
r3 r5
= 2π 4 −
3
5
De lo anterior se tieen que la masa del sólido es
Profesor
Email
RRR √
√
[y
x2 + z 2 ]y=4
dA
D
y=x2 +z 2
=
So
era
aT
erc
Pa
ut
√
RR R 4
lem
ne
=
RRR
de
m =
Cá
lc
ulo
Si consideramos la proyección del sólido sobre el plano XZ, y aplicamos el cambio de variable polar
(x = r cos(θ), z = r sen(θ)), obtenemos:
2
dr =
0
128
π
15
128
π unidades de medida.
15
4