Enunciados

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
Integrales Triples
1. Calcular
ZZZ
Práctica 3
Curso 2010-2011
(x + z) dx dy dz siendo R la porción del cilindro x2 + y 2 = 1 situada en el octante
R
positivo y limitada por el plano z = 3.
2. Hallar el volumen, centro de masas y los momento de inercia respecto del eje OX del sólido
limitado por el paraboloide 2x = y 2 + z 2 y el plano x = 2. La densidad en cada punto es
proporcional a la distancia al eje OX.
ZZZ
p
x2 + y 2 dx dy dz en el caso en el que R es la región del octante positivo situada
1 2
1
2
2
bajo el paraboloide z = x + y e interior al cilindro x −
+ y2 = .
2
4
3. Hallar
zy
R
4. Hallar el volumen interior a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25 y exterior al cilindro x2 + y 2 = 16.
5. Calcular la masa del sólido comprendido entre las esferas de radio 1 y 5 centradas en el origen
cuya densidad en cada punto es inversamente proporcional a la distancia del punto al origen.
6. Hallar el momento de inercia respecto del eje OZ del sólido comprendido entre el paraboloide
hiperbólico z = 9 + x2 − y 2 , el plano z = 0 y el cilindro x2 + y 2 = 9 en el octante positivo, cuya
densidad en cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto al plano y = 0. Comprobar
que se obtiene el mismo resultado empleando coordenadas cartesianas y cilı́ndricas.
7. Calcular el volumen exterior al paraboloide elı́ptico x2 + y 2 = z e interior al hiperboloide de una
hoja x2 + y 2 − z 2 = 1, entre los planos z = 0 y z = 5.
8. Se desea calcular el volumen de hormigón necesario para la construcción de la péndola marcada
en el arco de la foto.
Para ello se tendrá en cuenta que si se sitúa el origen de coordenadas en el centro de la base de
(y − 18)2
esa péndola, el arco viene dado por z = 12 −
y la péndola es cilı́ndrica de radio 0.1 m
108
2
2
(x + y = 0.01).
9. Hallar el momento p
de inercia respecto del eje OZ del sólido situado bajo la esfera x2 +y 2 +z 2 = 4,
sobre el cono z = x2 + y 2 , por encima del plano z = 0 y con y ≥ 0, cuya densidad en cada
punto es proporcional a la distancia de dicho punto al plano y = 0.
10. Se desea calcular el volumen comprendido entre los conos z 2 = x2 + y 2 , 2z 2 = x2 + y 2 y la esfera
x2 + y 2 + z 2 = 1 en el octante positivo.
a) Escribir la(s) integral(es) triple(s) necesaria(s) para calcular dicho volumen empleando coordenadas cilı́ndricas y esféricas.
b) Obtener el volumen de una de las dos formas planteadas.