f(x

Solución :
Graficar
f(x) = X2 – 2X
aX2 + bX + c
–3
;
b=–2
;
c=–3
X=
ଶ௔
ି௕
;
X=
;
X=
ଶ
ଶ
;
X=1
૛ࢇ
ି࢈
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
ଶሺଵሻ
ିሺିଶሻ
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
a=1
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
siguientes pasos :
EJERCICIO 1 :
f(x) =
Lo primero que debemos hacer para empezar a graficar
una función de segundo grado es ordenarla en forma
descendente de manera que quede expresada como :
COMO GRAFICAR UNA FUNCION
DE SEGUNDO GRADO
= 1– 2 – 3 = – 4
;
f(1) = – 4
f(x) = X2 – 2X – 3
para
=
(- 2)2 – 4(1)(-3)
= 4 + 12
=
16
-1-
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.
െܾ േ ξܾ ଶ െ Ͷܽܿ
‫ݔ‬ൌ
ʹܽ
Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
fórmula general de segundo grado o resolvente:
Como b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
en dos puntos).
b2 – 4ac
· Si b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
corta al eje X).
· Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
su vértice en un punto contenido en el eje X).
· Si b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes
(corta al eje X en dos puntos).
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de
la función.
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 1, – 4 )
f(1) = (1)2 – 2(1) – 3
Se introduce este valor en la función
determinar el vértice de la parábola.
Esto significa que por X = 1 pasará una recta perpendicular al eje X que
representa al eje de simetría de la parábola.
X1 =
ଶሺଵሻ
ଶ
ଶାସ
=
ିሺିଶሻേඥሺିଶሻమ ିସሺଵሻሺିଷሻ
ଶ
଺
ଶ
ଶ
ଶିସ
=
ଶ
ିଶ
Ǣ
X2 = – 1
ଶ
ଶേସ
(1,-4)
(3,0)
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
(-1, 0)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (–1,0)
X2 =
=
X1 = 3
ଶ േ ξଵ଺
Ǣ
=
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(3,0)
‫ݔ‬ൌ
Solución :
Graficar
f(x) = X2 + 4
Vértice (1,-4)
;
b=0
;
c=4
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
a=1
-2-
૛ࢇ
ି࢈
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
siguientes pasos :
EJERCICIO 2 :
Eje de
simetría
ଶ௔
ି௕
;
X=
ଶሺଵሻ
ିሺ଴ሻ
;
X=
ଶ
଴
;
X=0
= 0+4 = 4
;
f(0) = 4
=
(0)2 – 4(1)(4)
= 0 – 16 = – 16
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
Cuarto paso : Como no se pueden calcular las dos raíces de la función
se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno ubicado al lado
izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho, esto nos facilitará
visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
Como b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales ( NO corta al eje
X ).
b2 – 4ac
· Si
– 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
corta al eje X).
b2
· Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
su vértice en un punto contenido en el eje X).
Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de
la función.
· Si b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes
(corta al eje X en dos puntos).
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 0 , 4 )
f(0) = (0)2 + 4
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 + 4 para determinar el
vértice de la parábola.
Esto significa que por X = 0 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola (en este caso el eje de
simetría será el eje “Y” del sistema de coordenadas).
X=
f(-1) = (-1)2 + 4 = 1 + 4 = 5
f(1) = (1)2 + 4 = 1 + 4 = 5
(0,4)
(1,5)
X
-3-
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
(-1,5)
Y
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (1,5)
Para X = 1 ;
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (–1,5)
Para X = – 1 ;
Como el eje de simetría es X = 0 puedo calcular los puntos cuando
X = – 1 y cuando X = 1, para lo cual sustituyo estos valores en la
función f(x) = X2 + 4
Solución :
Graficar
Vértice (0,4)
f(x) = – X2 + 5X
Eje de
simetría
–4
X
;
b=5
;
c=–4
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
Cuando a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo ;
a = –1
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
EJERCICIO 3 :
Y
ଶ௔
ି௕
;
X=
ଶሺିଵሻ
ିሺହሻ
;
X=
ିଶ
ିହ
;
X = 2,5
૛ࢇ
ି࢈
f(2,5) = 2,25
= – 6,25 + 12,5 – 4 = 2,25
f(x) = – X2 + 5X – 4 para
=
(5)2 – 4(-1)(-4)
= 25 – 16 =
9
‫ݔ‬ൌ
ିହേξଽ
ଶሺିଵሻ
=
ିଶ
ିହേଷ
-4-
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.
െܾ േ ξܾ ଶ െ Ͷܽܿ
‫ݔ‬ൌ
ʹܽ
Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
fórmula general de segundo grado o resolvente:
Como b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
en dos puntos).
b2 – 4ac
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 2.5 , 2.25 )
f(2,5) = – (2,5)2 + 5(2,5) – 4
Se introduce este valor en la función
determinar el vértice de la parábola.
Esto significa que por X = 2,5 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
X=
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
ିଶ
ିହାଷ
=
ିଶ
ିଶ
Ǣ
X1 = 1
ିଶ
=
ିହିଷ
ିଶ
ି଼
Ǣ
X2 = 4
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
Eje de
simetría
Vértice (2.5,2.25)
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (4,0)
X2 =
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(1,0)
X1 =
Solución :
Graficar
f(x) =
X2 – 8X + 16
;
b=-8
;
c = 16
ଶ௔
ି௕
;
X=
ଶሺଵሻ
ିሺି଼ሻ
;
X=
ଶ
଼
;
X=4
૛ࢇ
ି࢈
= 16 – 32 + 16
= 0
;
f(4) = 0
f(x) = X2 – 8X + 16 para
=
(8)2 – 4(1)(16)
= 64 – 64 = 0
-5-
Como b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene su vértice
en un punto contenido en el eje X).
b2 – 4ac
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 4 ,0 )
f(4) =(4)2 – 8(4) + 16
Se introduce este valor en la función
determinar el vértice de la parábola.
Esto significa que por X = 4 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
X=
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
a=1
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
EJERCICIO 4 :
f(3) = (3)2 – 8(3) + 16 = 9 – 24 + 16 = 1
f(5) = (5)2 – 8(5) + 16 = 25 – 40 + 16 = 1
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (5,1)
Para X = 5 ;
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (3,1)
Para X = 3 ;
Como el eje de simetría es X = 4 puedo calcular los puntos cuando
X = 3 y cuando X = 5, para lo cual sustituyo estos valores en la
función f(x) = X2 – 8X + 16
Cuarto paso : Se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno
ubicado al lado izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho,
esto nos facilitará visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
Esta consideración anterior nos obliga a aplicar el cuarto paso como si
no existieran raíces reales.
Otra particularidad que presenta el hecho de que el determinante sea
igual a cero es que al calcular el punto donde la parábola corta al eje X
es el mismo vértice.
Solución :
Graficar
f(x) =
X2 + 4X
(5,1)
X
;
b=4
;
c=0
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
a=1
-6-
૛ࢇ
ି࢈
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
EJERCICIO 5 :
Vértice (4,0)
(3,1)
Eje de
simetría
ଶ௔
;
X=
ଶሺଵሻ
ିሺସሻ
;
X=
ଶ
ିସ
;
X = -2
= –4
;
f(-2) = – 4
=
(4)2 – 4(1)(0)
= 16 – 0 = 16
െܾ േ ξܾ ଶ െ Ͷܽܿ
ʹܽ
X1 =
ଶ
ିସାସ
‫ݔ‬ൌ
ଶ
଴
Ǣ
=
ଶ
X1 = 0
ିସേସ
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
=
ିସേξଵ଺
ଶ
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.
‫ݔ‬ൌ
Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
fórmula general de segundo grado o resolvente:
Como b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
en dos puntos).
b2 – 4ac
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( -2 ,-4 )
f(-2) = (-2)2 + 4(-2) = 4 – 8
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 + 4X para determinar el
vértice de la parábola.
Esto significa que por X = - 2 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
X=
ି௕
ଶ
ିସିସ
=
ଶ
ି଼
Ǣ
X2 = – 4
-7-
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (–4,0)
X2 =
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(0,0)
Graficar
EJERCICIO 7 :
+ 24X – 16
Eje de
simetría
Vértice (1,-4)
f(x) = X2 – 2X – 3
Vértice (1.5,2)
f(x) = – 8X2
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
Graficar
EJERCICIO 6 :
-8-
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
5
Definición.
Llamadas también ecuaciones CUADRÁTICAS son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general:
a x2 + b x + c = 0
......(1)
; "a ¹ 0 y a ,b,c Ì R
donde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos 1
El coeficiente “a” se llama coeficiente cuadrático o de segundo grado.
El coeficiente “b” se llama coeficiente lineal o de primer grado y
El coeficiente “c” se llama término lineal.
Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero,la ecuación de segundo grado se llama completa y si b ó c o ambos,
son ceros, la ecuación de segundo grado se llama incompleta.
Así dado: a , b y c ≠ 0 entonces : ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación de segundo grado
completa.
Toda ecuación de segundo grado presenta dos raíces o soluciones ,llamémoslas, x1 y x2
Estas raíces se pueden obtener mediante dos métodos:
a)
Método de la fórmula general :
De la ecuación a x 2 + b x + c = 0 se deduce la formulación clásica que despeja la variable :
x=
siendo:
- b ± b 2 - 4ac
2a
x1 =
x2 =
- b + b 2 - 4ac
2a
- b - b 2 - 4ac
2a
......(2)
.....(3)
Se define la cantidad subradical : b2 – 4ac como el discriminante (invariante Característico) de la ecuación
cuadrática y se le denota por :”Δ”, luego:
D = b 2 - 4ac
.....(4)
b) Método de factorización :
Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado : ax2 + bx + c = 0 siempre y
cuando se pueda.
Los pasos de este método son los siguientes:
* se trasladan todos los términos a un sólo miembro dejando el otro
miembro igual a cero.
* Se factoriza este miembro por el método del aspa simple.
* Para obtener las raíces de la ecuación , se iguala cada factor a cero.
Discusión de las raíces de una ecuación de segundo grado ._
Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, " a≠0 dependen de la discriminante Δ dado por
(4) así:
Primer caso:
Si Δ > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y desiguales.
Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones:
a) si Δ es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son racionales.
b) si Δ no es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son irracionales
conjugadas.
Segundo caso:
Si Δ = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíces dobles) donde:
x1 = x 2 = -
b
2a
....(5)
Tercer caso:
Si Δ < 0 entonces las raíces x1 y x2 son complejos y conjugados.
Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado ._
Sea la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0 y sus raíces x1 y x2 tendremos
Las siguientes propiedades:
a) Suma de raíces :
x1 + x 2 = -
b
a
.....(6)
b) Producto de raíces :
x1 .x 2 =
c
a
.....(7)
c) Diferencia de raíces :
b 2 - 4ac
x1 - x2 =
a
.....(8)
d) Suma de cuadrados de las raíces:
2
2
x1 + x2 =
b 2 - 2ac
a2
.....(9)
e) Identidad de Legendre aplicada a las raíces :
( x1 + x2 ) 2 - ( x1 - x2 ) 2 = 4 x1 .x2
....(10)
Construcción de una ecuación de segundo grado conociendo sus raíces ._
Conociendo las dos raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado ,esta se construye empleando la suma y el producto
de dichas raíces.
Luego la ecuación que dió origen a x1 y x2 es :
x 2 - ( x1 + x2 ) x + ( x1 .x2 ) = 0
.....(11)
llamada también : forma canónica de la ecuación de segundo grado.
O bien :
x 2 - Sx + P = 0
siendo : S = x1 + x2 y
P = x1 .x2
Propiedades adicionales de las raíces ._
* La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, " a≠0 tiene raíces simétricas (raíces de igual valor pero de signo
contrario) si y solo si :
x1 = - x2 de allí que : x1 + x2 = 0 entonces b = 0
.....(12)
* La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, " a≠0 tiene raíces recíprocas (una de las raíces es la inversa de la
otra) si y solo si:
x1 =
1
de allí que : x1 .x2 = 1 entonces a = c
x2
.....(13)
Raíz nula ._
Dada la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, " a≠0 ,si esta presenta una raíz nula (x=0) entonces :
.....(14)
c=0
Raíz Unidad ._
Dada la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, " a≠0 ,si esta presenta una raíz unidad (x=1) entonces :
.....(15)
a +b+c =0
Teorema de las ecuaciones cuadráticas equivalentes ._
Sean las ecuaciones cuadráticas (o de segundo grado) :
y
a x 2 + b x + c = 0 ; "a ¹ 0
m x 2 + n x + p = 0 ; "m ¹ 0
Si estas ecuaciones tienen las mismas raíces se dice que dichas ecuaciones son EQUIVALENTES y se cumple que :
a b c
= =
m n p
......(16)
; m, n y p ¹ 0
Es decir que los coeficientes de cada término semejante son proporcionales entre si.