R_1. - Unican.es

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Curso 2016-2017
Grado Ingeniería Mecánica
Asignatura: Cálculo I
Repaso: Integral indefinida
1. FUNCIÓN PRIMITIVA
Definición (Función primitiva).- Se dice que F (x ) es una función primitiva de otra función
f (x ) si y sólo si se verifica F ¢(x ) = f (x )
"x Î Df siendo Df el dominio de la función
f (x ) .
Obsérvese que si F (x ) es una primitiva de
f (x )
también se verificará
dF (x )  f (x )dx .
PROPOSICIÓN.- Si F (x ) es un primitiva de f (x ) , también serán primitivas de f (x ) todas
aquellas funciones G (x ) que verifiquen G (x ) = F (x ) + C y sólo esas.
TEOREMA (Existencia de primitiva).- La condición necesaria y suficiente para que
f (x )
tenga función primitiva en un intervalo I, es que sea continua en I.
2. INTEGRAL INDEFINIDA
El proceso de cálculo de primitivas se denomina integración y se denota por el símbolo ∫ , llamado
signo integral.
Definición (Integral indefinida).- Dada una función, f (x ) continua en un intervalo I, se llama
integral indefinida de
tienen por derivada
f (x )
f (x )
y se representa por
ò f (x )dx
al conjunto de funciones que
( tienen por diferencial f (x )dx ). Es decir,
ò f (x )dx = F (x ) + C
donde f (x ) se llama integrando o función subintegral y C constante de integración.
Debiendo verificarse
d é
F (x ) + C ùûú = f (x )
dx ëê
Propiedades de la Integral indefinida.- Sea f (x ) una función continua en el intervalo
abierto I. Entonces se verifican las siguientes propiedades:
P1.-
ò kf (x )dx = k ò f (x )dx , siendo k
P2.-
ò éêë f (x )  g(x )ùúû dx = ò f (x )dx  ò g(x )dx
una constante
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Repaso: Integral indefinida
Las propiedades P1 y P2 confieren al operador
ò
carácter lineal.
Una forma coloquial de expresar que dos operadores son inversos, consiste en decir que cada uno
anula o destruye el efecto producido por el otro. Resulta inmediato comprobar que la integración es
la operación inversa de la diferenciación.
TEOREMA.- Los operadores ∫ (integración) y d (diferenciación), son inversos, si bien
cuando se aplican en el orden ∫ d debe añadirse una constante arbitraria.
3. INTEGRALES INMEDIATAS
A continuación se incluye una tabla con algunas de las integrales inmediatas más frecuentes.
Convendremos en llamar integrales inmediatas a todas aquellas cuya solución puede escribirse sin
más recursos que el recuerdo de las reglas de derivación.
Tabla de integrales inmediatas
1.
ò adx = ax + C
2.
ò (x + a )
3.
ò x + a = log x + a
4.
ax
ò e dx =
eax
+C
a
5.
ò
k ax
+C
a log k
6.
ò cos ax dx =
7.
ò sen ax dx = -
8.
ò tg ax dx = - a log cos ax
m +1
m
(x + a )
dx =
dx
k ax dx =
+C
m +1
+C
(a ¹ 0)
(k > 0,
sen ax
+C
a
)
a¹0
(a ¹ 0)
cos ax
+C
a
1
(m ¹ -1)
(a ¹ 0)
+C
Pág.2
(a ¹ 0)
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Tabla de integrales inmediatas
dx
x
(a ¹ 0)
9.
ò
10.
òa
11.
ò Sh ax dx =
Ch ax
+C
a
(a ¹ 0)
12.
ò Ch ax dx =
Sh ax
+C
a
(a ¹ 0)
13.
ò
14.
ò
15.
òa
2
a -x
dx
2
+ x2
2
= arcsen
=
dx
2
x +a
dx
2
x -a
dx
2
- x2
2
= ArgCh
=
+C
1
x
arctg + C
a
a
= ArgSh
2
a
x
a
x
a
(a ¹ 0)
+ C = log x + x 2 + a 2 + C
(a ¹ 0)
+ C = log x + x 2 - a 2 + C (a ¹ 0)
x
a +x
1
1
+C
ArgTh + C =
log
a
a
a -x
2a
(a ¹ 0)
Tabla 2.- Integrales inmediatas.
Ejemplos
1
1
Los ejemplos que se dan en este documento están tomados del solucionario de la unidad 12 del libro de 2º de
Bachillerato de Matemáticas de la editorial Anaya.
Pág.3
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4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
El cálculo de primitivas interesa sobre todo como auxiliar del cálculo de integrales
definidas, por lo que los métodos que se presentan son de tipo práctico pero también de
alcance limitado.
Es importante señalar que todos los métodos de integración están inspirados en la misma idea:
reducir la integral planteada a una integral inmediata.
Integración por cambio de variable
El cambio de variable es una de las técnicas más utilizadas para obtener la primitiva de una
función. También se conoce este método como método de sustitución.
TEOREMA.- Se considera la integral
ò f (x )dx
y el cambio de variable x = g(t ) . Si f y
g
verifican:
(a)
f es continua en el intervalo I 1 .
(b)
g tiene derivada continua en el intervalo I 2 .
(c)
g(I 2 ) Í I 1
entonces:
ò f (x )dx = ò f éëêg(t )ùûú g ¢(t )dt
con x Î I 1 , t Î I 2
De esta forma se obtiene una nueva integral en la variable
t
que debe ser más sencilla de resolver
que la integral de partida. La primitiva que se obtenga debe expresarse en la variable inicial, por lo
que se deshará el cambio de variable una vez realizada la integración.
Pág.8
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Ejemplos
Nota: Los siguientes ejercicios requieren conocer primero cómo obtener las primitivas de funciones
racionales.
Pág.9
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Integración por partes
Este método es eficiente para integrandos en los que aparezcan productos de funciones
trascendentes.
TEOREMA.- Sean
u = u(x )
y
v  v( x)
dos funciones con derivadas continuas en un
cierto intervalo I. Entonces:
ò udv = uv - ò vdu
Ejemplos
Pág.13
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Integración de funciones racionales
Recordemos que se llama función racional R(x ) , a toda función en la que sólo se efectúan con x
las cuatro operaciones racionales. Cualquier función racional puede expresarse como cociente de
polinomios:
R(x ) =
P (x )
Q(x )
Este apartado está dedicado al cálculo de integrales de funciones de este tipo. Es decir, integrales
de la forma
P (x )
ò Q(x ) dx
con P (x ) y Q(x ) polinomios.
Distinguiremos dos casos:
Grado de P (x ) ³ Grado Q(x )
1.
En este caso se divide P (x ) entre Q(x ) , obteniéndose
P (x )
r (x )
ò Q(x ) dx = ò c(x )dx + ò Q(x )dx
siendo
ò c(x )dx
la integral de un polinomio (por tanto inmediata) y
r (x )
ò Q(x ) dx
una integral racional
en la que el grado del numerador es inferior al del denominador que se estudia en el caso
siguiente.
2.
Grado de P (x ) < Grado Q(x )
Estas integrales se resuelven por descomposición en fracciones simples. Para ello se descompone
Q(x) en factores irreducibles,
Q (x ) = (x - x 1 )
m1
(x - x )
m2
2
mq
(x - xq ) ⋅ éêa1x 2 + b1x + c1 ùú  éêa j x 2 + bj x + c j ùú ,
ë
û ë
û
Pág.15
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2
donde los últimos factores tienen raíces complejas (se cumple bk - 4 akck < 0 ).
Nota: Supondremos en este curso que Q no tiene raíces complejas múltiples.
La descomposición en fracciones simples es la siguiente:
P (x )
Q (x )
=
+
A1
(x - x1 )
+
A2
(x - x )
2
++
1
a1x + b1
a1x 2 + b1x + c1
+
Am
1
(x - x )
m1
+
1
a2x + b2
a2x 2 + b2x + c2
++
B1
(x - x 2 )
+
B2
(x - x )
2
++
2
Bm
2
(x - x )
m2
++
2
aj x + b j
a j x 2 + bj x + c j
Las integrales que resultan son todas de los tipos siguientes:
A1
ò (x - x ) ⋅ dx =A log x - x
1
1
+C
1
ò
Am
1
(x - x )
m1
⋅ dx =
1
òax
j
aj x + b j
2
+ bj x + c j
-Am
1
(m
m1 -1
- 1)(x - x 1 )
1
⋅ dx =
logaritmo
+C;
+
arco tangente
OBSERVACIÓN: Es interesante darse cuenta de que la primitiva de una función racional, en el caso
más general, está compuesta por una parte racional y otra parte trascendente y que, además, la
componente racional procede únicamente de la integración de raíces múltiples.
Ejemplos
Pág.16
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Pág.17
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Integración de productos de senos y cosenos
Son integrales de la forma
I =
ïìïsen mx ïüï ïìïsen nx ïüï
ò ïíïïcos mx ïýïï ⋅ ïíïïcos nx ïýïïdx
îï
þï îï
þï
con
m, n  
Las distintas integrales que surgen al combinar de todas las formas posibles estos productos se
resuelven recordando las fórmulas de trigonometría que enseñan a transformar productos de
senos y cosenos en sumas o diferencias. Estas fórmulas son las siguientes:
ì
ï
1
ü ïïsen a cos b = éê sen(a + b) + sen(a - b)ùú
sen (a + b ) = sen a cos b + cos a sen b ï
û
ï ï
2ë
ýí
ï
ï
1
sen (a - b ) = sen a cos b - cos a sen b ï ï
ï
þ ïcos a sen b = éëê sen(a + b) - sen(a - b)ùûú
ï
2
ï
î
ì
ï
1
ü ïïcos a cos b = éê cos(a + b) + cos(a - b)ùú
cos (a + b ) = cos a cos b - sen a sen b ï
û
ï ï
2ë
ýí
1é
cos (a - b ) = cos a cos b + sen a sen b ïï ïï
ï
þ ïsen a sen b = ëêcos(a - b) - cos(a + b)ùûú
ï
2
ï
î
Pág.23
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Repaso: Integral indefinida
Aplicando estas fórmulas, las integrales se convierten en inmediatas.
Ejemplos
Integración de funciones trigonométricas
Son integrales de la forma
ò R (senx, cos x )dx
donde
R
indica una función racional.
Estas integrales se resuelven mediante un cambio de variable que depende de la forma de la
función R(sen x , cos x ) . Los más frecuentes son:
Pág.24
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1.
Si R(sen x , cos x ) es par en (sen x , cos x ) , el cambio es
tg x  t
con lo que:
t
sen x =
1+t
2
cos x =
1
1+t
2
dx =
dt
1 + t2
2. Si R(sen x , cos x ) es impar en cos x, el cambio es senx = t .
3. Si R(sen x , cos x ) es impar en sen x, el cambio es cos x = t .
4. Si R(sen x , cos x ) no tiene ninguna de las paridades anteriores, entonces el cambio
general aplicable es tg
cos x =
x
2t
= t . En este caso: sen x =
2
1 + t2
1 - t2
1+t
2
dx =
2dt
1 + t2
Expresiones básicas de las funciones trigonométricas
sen2 x + cos2 x = 1
cos 2x = cos2 x - sen2 x
cos2 x =
cos x =
sen 2x = 2 ⋅ sen x ⋅ cos x
1 + cos 2x
sen2x =
2
1
sen x =
1 + tg 2x
1 - cos 2x
2
tg x
;
1 + tg 2x
Ejemplos
Forma 1. Utilizando fórmulas trigonométricas Pág.25
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Forma 2: Pág.26
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Integración de funciones irracionales
En los casos en los que una función irracional es integrable, la integración se basa en la
racionalización de la integral mediante cambio de variable.
Es habitual la integración de algunas funciones irracionales cuadráticas mediante un cambio de
variable trigonométrico o hiperbólico que conduzca a una integral de uno de estos tipos.
Consideremos
ò f (x,
integrando, con
)
ax 2 + bx + c dx , donde
a  0.
f es una función racional de las variables del
Se distinguen tres casos que darán lugar a tres posibles cambios de
variable,
(
)
 cambio de variable, qx + r = p ⋅ sen t
(
)
 cambio de variable, qx + r = p ⋅ Sh t
1.- ax 2 + bx + c = p 2 - qx + r
2.- ax 2 + bx + c = p 2 + qx + r
(
2
2
3.- ax 2 + bx + c = -p 2 + qx + r
)
2
 cambio de variable, qx + r = p ⋅ Ch t
Pág.27
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Repaso: Integral indefinida
RELACIONES BÁSICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ch x =
e x + e -x
2
Sh x =
Ch 2x = Ch2 x + Sh2 x
e x - e -x
2
Sh 2x = 2 Sh x Ch x
(
ArgCh x = log x + x 2 - 1
)
Ch2 x - Sh2 x = 1
(
ArgSh x = log x + x 2 + 1
ArgTh x =
æ1 + x ÷ö
1
÷
log ççç
çè 1 - x ÷÷ø
2
Ejemplos
Pág.28
)
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Pág.29
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Repaso: Integral indefinida
EJERCICIOS A REALIZAR DEL TEMA 3
Puntuación: 0.75
Prueba escrita
1
Calcular las siguientes integrales
(a)
ò
1- x
ex
ò
(b)
x7
ò
(d)
(g)
3x ⋅ 52x ⋅ dx
1 - e 2x
ò
dx
16
cos
(e)
⋅ dx
(h)
2
ò
ò
x
dx
2
arctg
4+x
(c)
x
2 dx
2
x 3 ⋅ dx
x8 +1

3x 2  1
 dx
x3  x  1
5
(f)
ò
(i)
ò 16e
2x - 3
dx
dx
+ 4e -x
x
Solución:
75x
()
a) F x =
d)
f)
log (75)
F  x 
b)
1
F (x ) = arc sen x 8 + C
8
( )
F (x ) = 5 ⋅ 2x - 3 + C
()
h) F x =
2
+C ;
;
x sen x

 C ; c) F (x ) = log x 3 - x + 1 + C ;
2
2
2
;
g)
æ x öù
1 é
e) F (x ) = ⋅ êêarc tg çç ÷÷÷úú + C ;
ççè 2 ø÷
4 ëê
ûú
F  x   arcsen  e x   C ;
 
1
1
arc tg x 4 + C ; i) F  x   arc tg 2e x  C ;
4
8
( )
Calcular las siguientes integrales indefinidas, aplicando el método de integración por partes:
(b)
ò
æ 1 ö÷
ç
÷÷ dx
x arc tg çç
ççè1 + x ÷÷ø
x sen x dx
(e)
ò
e x cos x dx
x 5 log x dx
(h)
ò
(a)
ò
arc sen x dx
(d)
ò
(g)
ò
sen x e -x dx
Pág.30
(c)
(f)
(i)
ò
ò
ò
x 3 e x dx
log x
x
dx
x arc tg x dx
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(j)
ò x arc tg (x )dx
(k)
2
ò log (x
2
)
(l)
- 2x + 5 dx
ò log(1 + x ) dx
Solución:
()
()
a) F x = x arc sen x + 1 - x 2 + C ;
b)
æ 1 ö÷ x
x2
÷ + - log
arc tg çç
çè1 + x ÷÷ø 2
2
F (x ) =
(
()
)
c) F x = e x x 3 - 3x 2 + 6x - 6 + C ;
)
x 2 + 2x + 2 + C
d)
(
ex
sen x + cos x + C ;
2
()
x6
6
()
2 3/2
x 1
arc tg x - + ⋅ log (x + 1) + C ;
x
3
3 3
(
g) F x =
i) F x =
F (x ) =
)
f)
)
F (x ) = 2 x -2 + log x + C
æ 1
ö
çç- + log (x )÷÷ + C ;
÷÷
ççè 6
ø
h)
F (x ) = -
x3
x2 1
arc tg (x ) + log x 2 + 1 + C
3
6
6
(
(
;
F (x ) = -x cos (x ) + sen (x ) + C
()
e) F x =
j)
(
)
;
;
e -x
sen x + cos x + C
2
(
)
;
;
æ x - 1ö÷
÷
ççè 2 ø÷÷ + C ;
)
2
k) F x = x - 1 log x - 2x + 5 - 2x + 4arc tg çç
() (
l)
3
)
F  x    x  1 log 1  x  x  C
Determinar el valor de las siguientes integrales:
2x 2 + 2x - 3
(a) ò
(d) x 3 + 2x
dx x +3
ò
3
2
x + x + 2x + 2
dx
(b)  2
x  4x  5
(e) 
dx (g) 
2 x 3  10 x  4
dx x  2 x3  4 x 2  6 x  3
x 2  3x  4
dx x2  2 x  8
(h) ò
4
c) ò
(f) ò
)
Pág.31
3x + 5
x - x2 - x + 1
(x - 2)5
æx ö
3
7
F (x ) = - ⋅ log x + ⋅ log x 2 + 2 + 2 ⋅ arc tg ççç ÷÷÷ + C
çè 2 ÷ø
2
4
(
x 3 + 2x 2 - x - 2
3
x 4 - 3x 3 + 1
Solución:
a)
(x 4 + 2x )dx
dx dx
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Repaso: Integral indefinida
b)
F  x   arc tg  x  2   C ;
c) F x =
()
x2
1
1
- 2x + ⋅ log x - 1 + ⋅ log x + 1 + 4 log x + 2 + C ;
2
2
2
F  x 
2
1
5
 x 
 log x  1   log  x 2  2  
 arc tg 
C ;
3
3
3 2
 2
d)
()
(
e) F x = x + log x - 4
()
)
4
+ log x + 2 + C ;
x +1
4
+ log
+C
x -1
1-x
;
æ x ö
2
⋅ arc tg ççç ÷÷÷ + 3 ⋅ log x + 1 +
+C ;
÷
ç
1
x
+
è 3ø
3
1
2
g) F x = - log x + 3 +
h)
F (x ) =
f)
F (x ) = log x - 2 -
5
3
4
7
+
+
+C 2
3
4
x - 2 (x - 2)
3 (x - 2)
4 (x - 2)
4
Determinar el valor de las siguientes integrales
(a)
ò
(j)
ò
dx
(b)
x. 1 - x
dx
(k)
2
-x + 6x - 8
dx
ò
x
12
-x
14
dx

 x 4 x9
2
(f)

(l)
ò
9  4x 2 dx
dx
2
-x - 4x - 3
Solución:
()
a) F x = log
()
f) F x =
j)
9
4
1-x -1
1-x +1
+C ;
b)
F (x ) = 2 ⋅ x + 4 ⋅ 4 x + 4 ⋅ log 4 x - 1 + C
æ
æ 2x ö 2x
÷ö
çççarc sen ççç ÷÷÷ +
⋅ 9 - 4x 2 ÷÷ + C ;
÷ø
çè
èç 3 ø÷ 9
F (x ) = arc sen (x - 3) + C
;
æ x - 2 ö÷
÷÷ + C ; l) F  x   arcsen  x  2   C ;
çè 13 ÷ø
k) F x = arc sen ççç
()
Pág.32
;