Ejercicios 1 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellı́n, Escuela de Matemáticas
Ecuaciones Diferenciales. Recopilación de Ejercicios 1
Preparación Para el Primer Examen Parcial
1. Trace un campo direccional para la ecuación diferencial dada y con base en el campo direccional, determine
el comportamiento de y cuando t → ∞.
(a) y 0 = 3 − 2y.
(b) y 0 = 3 + 2y.
(c) y 0 = 1 + 2y.
2. Una gota de lluvia esférica se evapora a una razón proporcional a su área superficial. Escriba una ecuación
diferencial para el volumen de la gota en función del tiempo.
3. La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura de un objeto cambia a una razón proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto mismo y la temperatura de sus alrededores (la
temperatura ambiente del aire en la mayorı́a de los casos). Supóngase que la temperatura ambiente es de
70 ◦ F y que la constante de cambio es 0, 05 (min)−1 . Escriba una ecuación diferencial para la temperatura
del objeto en cualquier instante.
4. Determine el orden de la ecuación diferencial dada. Además indique si la ecuación diferencial es lineal o
no lineal.
(a) t2
d2 y
dy
+ t + 2y = sen t.
dt2
dt
(b) (1 + y 2 )
d2 y
dy
+ t + y = et .
2
dt
dt
d4 y d3 y d2 y dy
+
+
+ +y = 1.
dt4 dt3 dt2 dt
dy
(d)
+ ty 2 = 0.
dt
d2 y
(e)
+ sen(t + y) = sen t.
dt2
(c)
(f)
dy
d3 y
+ t + (cos2 t)y = t3 .
dt3
dt
d2 R
k
= − 2.
dt2
R
(h) (sen θ)y 000 − (cos θ)y 0 = 2.
(g)
5. Encuentre la solución del problema con valor inicial dado.
(e) y 0 − 2y = e2t ,
(a) y 0 − y = 2te2t , y(0) = 1.
(b) y 0 + 2y = te−2t , y(1) = 0.
(c) ty 0 + 2y = t2 − t + 1, y(1) = 1/2, t > 0.
cos t
2
(d) y 0 + y = 2 , y(π) = 0, t > 0.
t
t
y(0) = 2.
(f) t3 y 0 + 4t2 y = e−t ,
(g)
ty 0
+ (t + 1)y = t,
y(−1) = 0,
y(ln 2) = 1,
(h) y 0 + (tan x)y = cos2 x,
t < 0.
t > 0.
y(0) = −1.
6. Encuentre el valor de y0 para el cual la solución del problema con valor inicial
y 0 − y = 1 + 3 sen t,
y(0) = y0 ,
permanece finita cuando t → ∞.
7. Demuestre que si a y λ son constantes positivas y b es cualquier número real, entonces cada solución de
la ecuación
y 0 + ay = be−λt
tiene la propiedad de que y → 0 cuando t → ∞.
1
8. Resuelva la ecuación diferencial dada.
x2
.
y
x2
(b) y 0 =
(1 + x3 ).
y
(c) y 0 + y 2 sen x = 0.
dy
x2
=
dx
1 + y2
dx
y+1 2
(i) y ln x
.
=
dy
x
(a) y 0 =
(h)
(j) csc ydx + sec2 xdy = 0.
3x2
−1
.
3 + 2y
(e) y 0 = (cos2 x)(cos2 (2y)).
(d) y 0 =
(k) sen(3x)dx + 2y cos3 (3x)dy = 0.
(l) (ey + 1)2 e−y dx + (ex + 1)3 e−x dy = 0.
dN
+ N = N tet+2 .
(m)
dt
dy
xy + 2y − x − 2
(n)
=
.
dx
xy − 3y + x − 3
(f) xy 0 = (1 − y 2 )1/2 .
dy
x − e−x
(g)
=
.
dx
y + ey
9. Resuelva el problema con valor inicial.
(a) y 0 = (1 − 2x)y 2 ,
1
y(0) = − .
6
3x2 − ex
,
2y − 5
e−x − ex
,
(j) y 0 =
3 + 4y
(i) y 0 =
1 − 2x
, y(1) = −2.
y
(c) xdx + ye−x dy = 0, y(0) = 1.
(b) y 0 =
dr
= , r(1) = 2.
dθ
θ
2x
(e) y 0 =
, y(0) = −2.
y + x2 y
(f)
y0
=
xy 3 (1
+
x2 )−1/2 ,
y(0) = 1.
π
π
y( ) = .
2
3
2
2
1/2
−1
y (1 − x ) dy = sen xdx, y(0) = 1.
√
p
√
3
2
2
1 − y dx − 1 − x dy = 0, y(0) =
.
2
(1 + x4 )dy + x(1 + 4y 2 )dx = 0, y(1) = 0.
dy
2
= ye−x , y(4) = 1.
dx
dy
1
= y 2 sen(x2 ), y(−2) = .
dx
3
(k) sen(2x)dx + cos(3y)dy = 0,
r2
(d)
y(0) = 1.
(l)
(m)
y(0) = 1.
(n)
2x
, y(2) = 0.
(g)
=
1 + 2y
x(x2 + 1)
1
(h) y 0 =
, y(0) = − √ .
3
4y
2
y0
(o)
(p)
10. Resuelva la ecuación diferencial dada.
(a)
(b)
x2 + xy + y 2
dy
=
.
dx
x2
dy
x2 + 3y 2
=
.
dx
2xy
dy
4y − 3x
=
.
dx
2x − y
dy
4x + 3y
(d)
=
.
dx
2x + y
dy
x + 3y
(e)
=
.
dx
x−y
(c)
(f) (x2 +3xy +y 2 )dx−x2 dy = 0.
(g)
dy
x2 − 3y 2
=
.
dx
2xy
(h)
dy
3y 2 − x2
=
.
dx
2xy
11. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas
presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y
cuadruplicará?
12. Inicialmente habá 100 mg de una sustancia radiactiva. Después de 6 h la masa disminuyó 3%. Si la razón
de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo
t, determine la cantidad que queda después de 24 h.
13. Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de 70◦ F al exterior, donde la
temperatura del aire es de 10◦ F. Después de medio minuto el termómetro indica 50◦ F. ¿Cuál es la lectura
del termómetro en t = 1 min? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 15◦ F?
2
14. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5◦ F.
Después de 1 min el termómetro indica 55◦ F y después de 5 min indica 30◦ F. ¿Cuál era la temperatura
inicial de la habitación?
15. Un termómetro que indica 70◦ F se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A
través de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro lee
110◦ F después de 0,5 min y 145◦ F después de 1 min. ¿Cuál es la temperatura del horno?
16. Considere un tanque empleado en determinados experimentos de hidrodinámica. Después de un experimento, el tanque contiene 200 l de una solución colorante con una concentración de 1 g/l. En preparación
para el siguiente experimento, el tanque se lava con agua pura que ingresa a razón de 2 l/min y la solución
bien mezclada sale a la misma razón. Encuentre el tiempo que transcurrirá antes de que la concentración
del colorante en el tanque alcance 1% de su valor original.
17. Un tanque contiene inicialmente 120 l de agua pura. Una mezcla con concentración de γ g/l de sal ingresa
al tanque a una razón de 2 l/min, y la mezcla homogeneizada sale a la misma razón. Encuentre una
expresión en términos de γ para la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento t. Encuentre
también la cantidad en el lı́mite de sal que hay en el tanque cuando t → ∞.
18. Un tanque contiene originalmente 100 gal de agua dulce. Después, en el tanque se vierte agua que contiene
0.5 lb de sal por galón a una razón de 2 gal/min, y se permite que la mezcla salga a la misma razón.
Luego de 10 min, el proceso se detiene y se vierte agua dulce en el tanque a una razón de 2 gal/min; la
mezcla sale nuevamente a la misma razón. Encuentre la cantidad de sal en el tanque luego de un lapso
adicional de 10 min.
19. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 gal de fluido en los que se disolvieron 10 lb de sal. Al
tanque ingresa salmuera a razón de 6 gal/min, con un contenido de 0,5 lb de sal por galón. La solución
bien mezclada sale del tanque a razón de 4 gal/min. Determine la cantidad de libras de sal que hay en el
tanque después de 30 min.
20. Suponga que se invierte una suma S0 a una tasa de rendimiento anual r que se compone de manera
continua.
(a) Encuentre el tiempo T necesario para que la suma inicial duplique su valor como una función de r.
(b) Determine T si r = 7%.
(c) Encuentre la tasa de rendimiento que debe obtenerse si la inversión inicial debe duplicarse en ocho
años.
21. Un estudiante pide un préstamo de 8000 dólares para comprar un automóvil. La tasa de interés anual
es del 10 %. Suponiendo que el interés se compone de manera continua y que el estudiante hace pagos
continuamente por un monto anual constante k, determine el monto del pago k que se requiere para
liquidar el préstamo en tres años. Determine también cuánto dinero se paga de interés durante el perı́odo
de tres años.
3
22. El comprador de una casa puede pagar a lo sumo 800 dólares/mes por la hipoteca. Suponga que la tasa
de interés es de 9% y que el plazo de la hipoteca es de 20 años. Suponga además que el interés se compone
de manera continua y que los pagos también se hacen de este modo.
(a) Determine la cantidad máxima que este comprador puede solicitar en préstamo.
(b) Encuentre el interés total pagado durante el plazo de la hipoteca.
23. La población de mosquitos de determinada región aumenta de manera proporcional a la población actual,
y en ausencia de otros factores, la población se duplica cada semana. Inicialmente hay 20000 mosquitos
en la región, y los depredadores (aves, murciélagos, etc.) consumen 20000 mosquitos/dı́a. Determine la
población de mosquitos en la región en cualquier momento.
24. Una pelota con 0,15 g de masa se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s desde el techo
de un edificio de 30 m de alto. Desprecie la resistencia del aire. Encuetnre la altura máxima respecto al
suelo que alcanza la pelota.
25. Suponga que√un cohete se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad
inicial v0 = 2gR, donde R es el radio terrestre. Desprecie la resistencia del aire.
(a) Encuentre una expresión para la velocidad v en términos de la distancia x desde la superficie terrestre.
(b) Determine el tiempo necesario para que el cohete recorra 240000 millas (la distancia aproximada
entre la tierra y la luna). Suponga que R = 4000 millas.
26. Determine (sin resolver el problema) un intervalo en el cual se tiene la certeza de que la solución del
problema con valor inicial dado existe.
(a) (t − 3)y 0 + (ln t)y = 2t, y(1) = 2.
(b) t(t − 4)y 0 + y = 0, y(2) = 1.
(c) y 0 + (tan t)y = sen t, y(π) = 0.
(d) (4 − t2 )y 0 + 2ty = 3t2 ,
(e) (ln t)y 0 + y = cot t,
y(−3) = 1.
y(2) = 3.
27. Indique en qué parte del plano ty se satisfacen las hipótesis del teorema de existencia y unicidad para
ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden.
(a) y 0 =
t−y
.
2t + 5y
(b) y 0 = (1 − t2 − y 2 )1/2 .
ln |ty|
.
1 − t2 + y 2
(d) y 0 = (t2 + y 2 )3/2 .
(c) y 0 =
(e)
dy
1 + t2
=
.
dt
3y − y 2
28. Resuelva la ecuación diferencial dada.
dy
− y = ex y 2 .
dx
dy
(b)
= y(xy 3 − 1).
dx
dy
− (1 + x)y = xy 2 .
dx
dy
(d) t2
+ y 2 = ty.
dt
(a)
(c) x
29. Trace la gráfica de f (y) contra y, determine los puntos crı́ticos (de equilibrio) y clasifı́quelos como
asintóticamente estables o inestables. Además trace las gráficas de algunas soluciones en el plano ty.
dy
= ey − 1, −∞ < y0 < ∞.
dt
dy
(b)
= e−y − 1, −∞ < y0 < ∞.
dt
dy
2 tan−1
(c)
=−
, −∞ < y0 < ∞.
dt
1 + y2
dy
= y 2 (y 2 − 1), −∞ < y0 < ∞.
dt
dy
(e)
= y(1 − y 2 ), −∞ < y0 < ∞.
dt
dy
(f)
= y 2 (4 − y 2 ), −∞ < y0 < ∞.
dt
(a)
(d)
30. Determine si cada una de las ecuaciones es exacta. En caso afirmativo encuentre la solución.
4
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(2x + 3) + (2y − 2)y 0 = 0.
(2x + 4y) + (2x − 2)y 0 = 0.
(3x2 − 2xy + 2)dx + (6y 2 − x2 + 3)dy = 0.
(2xy 2 + 2y) + (2x2 y + 2x)y 0 = 0.
dy
ax + by
=−
.
dx
bx + cy
dy
ax − by
=−
.
dx
bx − cy
(ex sen y − 2y sen x)dx
+ (ex cos y + 2 cos x)dy = 0.
(ex sen y + 3y)dx − (3x − ex sen y)dy = 0.
(i) (yexy cos(2x) − 2exy sen(2x) + 2x)dx
+ (xexy cos(2x) − 3)dy = 0.
y
(j) ( + 6x)dx + (ln x − 2)dy = 0, x > 0.
x
(k) (x ln y + xy)dx + (y ln x + xy)dy = 0,
x > 0, y > 0.
ydy
xdx
+
= 0.
(l)
(x2 + y 2 )3/2 (x2 + y 2 )3/2
(m) (tan x − sen x sen y)dx + cos x cos ydy = 0.
1
y
t
1
y
(n)
dt+ ye + 2
dy = 0.
+ 2− 2
t
t
t + y2
t + y2
31. Resuelva el problema con valor inicial dado.
(d) (y 2 cos x − 3x2 y − 2x)dx
+ (2y sen x − x3 + ln y)dy = 0, y(0) = e.
1
dy
(e)
+ cos x − 2xy
2
1+y
dx
= y(y + sen x), y(0) = 1.
(a) (2x − y)dx + (2y − x)dy = 0, y(1) = 3.
(b) (9x2 + y − 1)dx − (4y − x)dy = 0, y(1) = 0.
(c) (ex + y)dx + (2 + x + yey )dy = 0. y(0) = 1.
32. Encuentre el valor de b para el cual la ecuación dada es exacta y luego resuélvala usando ese valor de b.
(xy 2 + bx2 y)dx + (x + y)x2 dy = 0.
33. Encuentre un factor de integración y resuelva la ecuación diferencial dada.
(d) ydx + (2xy − e−2y )dy = 0.
(a) (3x2 y + 2xy + y 3 )dx + (x2 + y 2 )dy = 0.
(b) y 0 = e2x + y − 1.
x
(c) dx + ( − sen y)dy = 0.
y
(e) [4
34. Resuelva la ecuación diferencial.
x3
3
x
+ ]dx + [3 2 + 4y]dy = 0.
y2
y
y
x
dy
= 2
.
dx
x y + y3
(Sugerencia: Emplee la sustitución u = x2 ).
35. Dada y1 , solución particular, resuelva las siguientes ecuaciones de Riccati.
(a) y 0 = 1 + t2 − 2ty + y 2 , y1 (t) = t.
1
y
1
(b) y 0 = − 2 − + y 2 , y1 (t) = .
t
t
t
2
2
2
dy
2 cos t − sen t + y
(c)
=
, y1 (t) = sen t.
dt
2 cos t
36. Resuelva la ecuación diferencial dada.
(a)
(b)
(c)
(d)
t2 y 00 + 2ty 0 − 1 = 0, t > 0.
ty 00 + y 0 = 1, t > 0.
y 00 + t(y 0 )2 = 0.
2t2 y 00 + (y 0 )3 = 2ty 0 , t > 0.
(e)
(f)
(g)
(h)
y 00 + y 0 = e−t .
yy 00 + (y 0 )2 = 0.
y 00 + y = 0.
y 00 + y(y 0 )3 = 0.
Bibliografı́a
5
(i) yy 00 − (y 0 )3 = 0.
(j) y 00 + (y 0 )2 = 2e−y .
• Boyce, W., DiPrima, R., Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera. Quinta
Edición, México, Limusa Wiley, 2010.
• Cullen, M., Zill, D., Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera. Séptima Edición,
México, Cengage Learning, 2009.
6