Apuntes Transformada de Laplace

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Apuntes Transformada de Laplace
Vivian Aranda Núñez
Verónica Gruenberg Stern
Introducción
La transformada de Laplace es un ejemplo de un operador. Este opera sobre una función, produciendo otra función. La transformada de Laplace es un método útil para resolver ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial con condiciones en la frontera.
También permite resolver ecuaciones integrales ó íntegro-diferenciales. Esencialmente,
estos problemas se resuelven en 3 pasos: en primer lugar, se transforma el problema en
uno más sencillo, luego se resuelve el problema sencillo y, finalmente, la solución obtenida se transforma en el sentido inverso, obteniéndose la solución al problema original.
Definición
Supongamos que f (t) es una función definida para todo t > 0. La transformada
de Laplace de f , si la integral siguiente converge, es la función de s dada por:
Z ∞
L(f )(s) = F (s) =
f (t) e−st dt
para s > 0
0
Además:
f (t) = L−1 (F (s)),
Ejemplos:
Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
∀t > 0
Z
L(1)(s) = F (s) =
es la transformada de Laplace inversa de F .
1. f (t) = 1,
∞
1 · e−st dt = lı́m
T →∞
0
= lı́m
T →∞
2. f (t) = eat ,
at
−sT
−e
s
+
1
s
Z
T
1 · e−st
0
T
−e−st dt = lı́m
=
T →∞
s 0
1
s
=
∀t > 0
Z
L(e )(s) = F (s) =
∞
−st
at
e · e
Z
dt = lı́m
T →∞
0
T
e−(s−a)t dt
0
T
−(s−a)T
−e−(s−a)t −e
e−(s−a)·0
1
= lı́m
+
=
= lı́m
T →∞
T →∞
s−a s−a
s−a
s−a
0
1
∀t > 0
Z
L(t)(s) = F (s) =
3. f (t) = t,
∞
te
−st
Z
T
t e−st dt
dt = lı́m
T →∞
0
0
−e−st
Integrando por partes, con u = t ( ∴ du = dt) ∧ dv = e dt ∴ v =
:
s
T Z
T
T #
"
"
#
T
−t e−st −e−st
−t e−st e−st L(t)(s) = lı́m
dt = lı́m
−
− 2 =
T →∞
T →∞
s
s
s
s 0
0
0
0
#
"
e−sT
−T
−t e−sT
1
1
1
− 2 + 2 = lı́m
= lı́m
− lı́m 2 sT + lı́m 2
sT
T →∞ s e
T →∞
T →∞ s e
T →∞ s
s
s
s
−st
Usando la regla de L’Hôpital:
−T
−1
= lı́m 2 sT = 0
sT
T →∞ s e
T →∞ s e
lı́m
L(t)(s) = 0 − 0 +
=⇒
1
1
= 2
2
s
s
Notar que, usando integración por partes, se tiene que ∀n ∈ N:
L(tn )(s) =
Z
∞
tn e−st
0
∞
Z ∞
e
n
n
n
dt = t · (−
tn−1 e−st dt =
) +
L(tn−1 )(s)
s s 0
s
−st
0
Luego, es posible probar inductivamente, que:
L(tn )(s) =
4. f (t) = sen(bt),
n!
sn+1
∀t > 0
Z
L(sen(bt))(s) = F (s) =
∞
−st
sen(bt) e
0
Para usar integración por partes, hacemos
cos(bt)
:
dv = sen(bt) dt ⇒ v = −
b
Z
0
T
sen(bt) e−st
∀n ∈ N
Z
T
dt = lı́m
T →∞
u = e−st
sen(bt) e−st dt
0
⇒
du = −s e−st dt
T Z
T
e−st
s · e−st
dt = −
cos(bt) −
cos(bt) dt
b
b
0
0
T
Z
e−st
s T −st
= −
cos(bt) −
e
cos(bt) dt
b
b 0
0
2
∧
Hacemos
u = e−st
du = −s e−st dt
⇒
∧
⇒
dv = cos(bt) dt
v=
sen(bt) b
y usando integración por partes nuevamente:
T
Z
sen(bt) e−st
0
T
Z
s T −st
e−st
cos(bt) −
dt = −
e
cos(bt) dt
b
b 0
0


T
T Z
T
−st
−st
−s e
s e
e
cos(bt) − 
sen(bt) −
sen(bt) dt
= −
b
b
b
b
0
−st
0
0
T
T
Z
s e−st
e−st
s2 T
cos(bt) −
sen(bt) e−st dt
= −
sen(bt) − 2
b
b2
b 0
0
Z
0
T
sen(bt) e−st dt
Tenemos
a ambos lados de la ecuación. Poniendo este tér-
0
mino al lado derecho de la ecuación y evaluando, tenemos:
s2
1+ 2
b
Z
Z
T
sen(bt) e−st dt = −
0
T
−st
sen(bt) e
0
b2
dt = 2
b + s2
e−sT
1 s e−sT
cos(bT ) + −
sen(bT )
b
b
b2
−sT
1 s e−sT
e
cos(bT ) + −
sen(bT )
−
b
b
b2
Finalmente,
Z
∞
sen(bt) e−st dt
L(sen(bt))(s) =
0
Z
=
lı́m
T →∞
T
sen(bt) e−st dt
0
b2
= lı́m 2
T →∞ b + s2
=
b2
−sT
e
1 s e−sT
sen(bT )
−
cos(bT ) + −
b
b
b2
b
+ s2
Análogamente, podemos calcular la transformada de Laplace de la función
f (t) = cos(bt), integrando por partes dos veces, obteniendo:
L(cos(bt))(s) =
s
b2 + s 2
3
Observación
Pareciera que para determinar las transformadas de Laplace de funciones, deberemos
calcular siempre integrales impropias. Esto no es así: una de las ventajas que tiene la
transformada de Laplace son sus variadas propiedades que estudiaremos a continuación,
y que nos permitirán hacer uso de las transformadas de funciones conocidas. Para ello,
es conveniente notar que con sólo la definición, hemos construído la siguiente tabla de
transformadas de Laplace:
Cuadro 1: Transformada de Laplace
f (t)
L(f )(s) = F (s)
1
1
s
s>0
t
1
s2
s>0
tn
sen(bt)
cos(bt)
eat
n!
sn+1
s>0
s2
b
+ b2
s>0
s2
s
+ b2
s>0
1
s−a
s>a
Pero, primero es necesario determinar algunas condiciones sobre una función para
la existencia de su correspondiente transformada.
4
1.
Existencia de la Transformada de Laplace
1.1.
Definición
Diremos que f : [a, b] −→ R es seccionalmente continua ó continua por tramos ssi
1. f es continua en todos los puntos del intervalo [a, b], salvo a lo más en un número
finito de ellos.
2. Todos los puntos t0 de discontinuidad de f , son discontinuidades de tipo salto,
es decir, en los puntos de discontinuidad se tiene que los siguientes dos límites
existen:
lı́m− f (t) = f (t−
0) ∈ R
lı́m+ f (t) = f (t+
0) ∈ R
∧
t→t0
t→t0
Observación
−
1. |f (t+
0 ) − f (t0 )| mide el salto de la discontinuidad.
−
2. Si f (t+
0 ) = f (t0 ), entonces f es continua en t0 . Si esto sucede en todos los eventuales puntos de discontinuidad, significa que f es continua en el intervalo [a, b].
Claramente, f continua en [a, b] ⇒ f seccionalmente continua en [a, b].
Z b
3. Si f es seccionalmente continua en [a, b], entonces
f (t) dt existe y es indepena
diente de los valores que toma f en los puntos de discontinuidad (si es que los
toma).
4. Si f y g son seccionalmente continuas en [a, b] con f (x) = g(x) ∀x excepto en
Z b
Z b
g(t) dt.
f (t) dt =
los puntos de discontinuidad, entonces
a
a
5. Si f y g son seccionalmente continuas en [a, b] entonces f (x) · g(x)
Z b
mente continua en [a, b] y
f (t) g(t) dt existe.
a
Ejemplos
1. f (x) =
2. f (x) =
1
,
x
x
1−x
0<x<1
1<x<2
es seccionalmente continua.
∀x ∈ [−1, 1] − {0}
no es seccionalmente continua.
3. Si g(t) está dada por:
g(t) =
1 si 0 6 t < 1
0 si
t>1
entonces su transformada de Laplace es:
Z
L(g)(s) = G(s) =
1
1 e−st
0
5
−e−st
dt =
s
1
−e−s 1
+
=
s
s
0
es seccional-
Ejercicio
Calcular la transformada de Laplace de f (t), donde f (t) está dado por:
t si 0 6 t 6 1
f (t) =
1 si 1 < t < ∞
1.1.1.
Definición
Diremos que f es seccionalmente continua en R+
0 si f es seccionalmente continua en
[0, t0 ] ∀ t0 > 0.
1.1.2.
Definición
Diremos que una función f es de orden exponencial en [0, ∞[ si existen constantes
α, C ∈ R, C > 0 tal que |f (t)| ≤ Ceαt ∀t > 0.
Ejemplos
1. f (t) = 1
2. f (t) = tn
3. f (t) = eat
4. f (t) = sen bt,
f (t) = sen bt
5. f (t) = tn eat sen bt
2
6. f (t) = et
1.1.3.
no es de orden exponencial.
Teorema
Si f es seccionalmente continua y de orden exponencial en R+
0 entonces ∃ a > 0 tal
que f tiene transformada de Laplace para s > a.
1.2.
Linealidad de la transformada de Laplace
Supongamos que f y g son funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y que α y β son constantes. Luego,
L (α f (t) + β g(t)) (s) = α L(f (t))(s) + β L(g(t))(s)
Este sencillo hecho permite y facilita el cálculo de la transformada inversa de Laplace.
Ejercicios:
1. Calcular la transformada de Laplace de
f (t) = 3 sen 2t − 4t + 5e3t
L{3 sen 2t−4t+5e3t } = 3 L{sen 2t}−4 L{t}+5 L{e3t } = 3
6
s2
2
1
1
−4 2 +5
+4
s
s−3
2. Calcular la transformada de Laplace de
cos 2α = cos2 α − sen2 α = 1 − 2 sen2 α
Notar que
sen2 α =
∴
1 − cos 2α
2
3. Calcular
2
L(sen (at)) = L
Por lo tanto,
1
=
2
f (t) = sen2 (at)
1 − cos 2at
2
=
1
(L(1) − L(cos 2at)) =
2
1
s
2a2
=
−
s s2 + 4a2
s(s2 + 4a2 )
1
−1
L
s (s2 + 1)
1
A Bs + C
(A + B)s2 + Cs + A
=
+
=
s (s2 + 1)
s
s2 + 1
s (s2 + 1)
Notar que
Resolviendo, obtenemos que A = 1 , B = −1 , C = 0.
1
1
s
−1
−1
−1
L
= L
−L
= 1 − cos t
s (s2 + 1)
s
s2 + 1
F (s) =
4. Dada
L−1
15
2
s + 17
F (s) =
5. Dada
L
−1
5
s7
= L
15
s2 + 17
= L−1
5
s7
−1
Luego:
encontrar f (t).
!
√
√
15
15
17
√
√
=
sen(
17 t )
17 s2 + 17
17
encontrar f (t).
5 6!
6! s7
=
5 6
t.
6!
1
16
− 2
s−5 s +4
1
16
−1
−1
−1
f (t) = L (F )(s) = L
−L
s−5
s2 + 4
1
2
−1
−1
=L
−8 L
= e5t − 8 sen(2t)
s−5
s2 + 4
s+9
−1
7. Calcular L
s2 − 2s − 3
6. Calcular la transformada de Laplace inversa de: F (s) =
s+9
s+9
A
B
A(s − 3) + B(s + 1)
=
=
+
=
s2 − 2s − 3
(s + 1)(s − 3)
(s + 1) (s − 3)
(s + 1)(s − 3)
=
A(s − 3) + B(s + 1)
s(A + B) + (−3A + B)
=
(s + 1)(s − 3)
(s + 1)(s − 3)
7
A+B = 1
−3A + B = 9
A = −2
B =
3
=⇒
luego, podemos reescribirlo como:
−2
3
s+9
=
+
− 2s − 3
(s + 1) (s − 3)
−2
3
−1
−1
−1
f = L (F ) = L
+L
= −2e−t + 3e3t
(s + 1)
(s − 3)
s
−1
8. Calcular L
s2 + 4s + 13
F (s) =
s2
s
s
s
s
=
=
=
=
s2 + 4s + 13
s2 + 2(2s) + 4 − 4 + 13
(s2 + 2(2s) + 4) + 9
(s + 2)2 + 32
=
s+2
2
s+2−2
=
−
=
(s + 2)2 + 32
(s + 2)2 + 32 (s + 2)2 + 32
=
s+2
2
3
−
2
2
(s + 2) + 3
3 (s + 2)2 + 32
−1
f = L (F ) = L
1.3.
−1
s+2
2 −1
3
2
− L
= e−2t cos(3t)− e−2t sen(3t)
2
2
2
2
(s + 2) + 3
3
(s + 2) + 3
3
Propiedades Básicas de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace de derivadas
La relación existente entre la transformada de Laplace de la derivada de una función
y la transformada de Laplace de la función misma es sorprendente, y nos permitirá
aplicar esta herramienta para resolver ecuaciones diferenciales.
1.3.1.
Proposición
Supongamos que y = f (t) es una función diferenciable por tramos y de orden exponencial. Supongamos también que y 0 es de orden exponencial. Luego a partir de algún
s ∈ R:
L( y 0 )(s) = s L(y)(s) − y(0) = s Y (s) − y(0)
donde Y (s) es la transformada de Laplace de y.
8
Demostración
Z
0
L( y )(s) =
∞
0
y (t) e
−st
T
Z
y 0 (t) e−st dt
dt = lı́m
T →∞
0
0
Usando integración por partes:
u = e−st ⇒ du = −s e−st dt
∧
dv = y 0 (t) dt
T
#
"
Z T
y(t) e−st dt
L( y 0 )(s) = lı́m y(t) e−st + s
T →∞
0
0
"
#
Z
⇒
v = y(t)
T
= lı́m
T →∞
y(T ) e
= lı́m y(T ) e
−sT
0
−sT
T →∞
= lı́m y(T ) e−sT
T →∞
Z
T
y(t) e−st dt
− lı́m y(0) + s lı́m
T →∞
T →∞ 0
Z ∞
y(t) e−st dt
− y(0) + s
0
−sT
= lı́m y(T ) e
T →∞
y(t) e−st dt
− y(0) + s
− y(0) + s Y (s)
Ya que y es de order exponencial, existen constantes C y a tal que |y(t)| 6 C eat ,
por lo tanto:
e−sT |y(T )| 6 C e−(s−a)T
lo cual converge a 0 para s > a cuando T −→ ∞. Por lo tanto,
L( y 0 )(s) = s Y (s) − y(0).
1.3.2.
Proposición
Supongamos que y e y 0 son funciones diferenciables por tramos y continuas y que
y 00 es continua por tramos. Supongamos que las tres son de orden exponencial. Luego,
L( y 00 )(s) = s2 L(y)(s) − s y(0) − y 0 (0) = s2 Y (s) − s y(0) − y 0 (0)
donde Y (s) es la transformada de Laplace de y.
Inductivamente, puede probarse que en general:
L( y (k) )(s) = sk L(y)(s) − sk−1 y(0) − · · · − s y (k−2) (0) − y (k−1) (0)
Observación
1. Si f es continua en R+ y f (0+ ) existe, entonces
L( f 0 )(s) = s L( f ) − f (0+ ).
−
2. Si f es discontinua en x1 , · · · , xn ∈ R+ y f (x+
i ) y f (xi ) existen, ∀i = 1, · · · n,
entonces:
n
X
−
L( f 0 )(s) = s L( f ) − f (0+ ) −
e−xi s f (x+
)
−
f
(x
)
.
i
i
i=1
9
Ejemplos
1. Resolver
y 00 − y = 1,
y(0) = 0,
y 0 (0) = 1
L(y 00 ) − L(y) =
Aplicamos L a la ecuación, obteniendo:
i.e.
Luego,
∴
s2 L(y) − sy(0) − y 0 (0) − L(y) =
1
s
1
s
1
1
+1
⇒
Y (s) =
s
s(s − 1)
1
y(t) = L−1
= et − 1
s(s − 1)
Y (s)(s2 − 1) =
2. Encontrar la solución del problema de valor inicial:
y 00 + y = cos 2t
y(0) = 0,
con
y 0 (0) = 1
L{y 00 + y} = L{cos 2t}
L{y 00 } + L{y} = L{cos 2t}
s2 Y (s) − s y(0) − y 0 (0) + Y (s) =
Y (s)(s2 + 1) − 1 =
s2
s
+4
s2
s
+4
1
s
Y (s) =
+1
(s2 + 1) s2 + 4
Y (s) =
s2 + s + 4
(s2 + 1)(s2 + 4)
Y (s) =
1
s
1
1
s
+
−
3 (s2 + 1) (s2 + 1) 3 (s2 + 4)
ya que:
s2 + s + 4
As + B
Cs + D
=
+
(s2 + 1)(s2 + 4)
(s2 + 1) (s2 + 4)
=
(As + B)(s2 + 4) + (Cs + D)(s2 + 1)
(s2 + 1)(s2 + 4)
=
As3 + 4As + Bs2 + 4B + Cs3 + Cs + Ds2 + D
(s2 + 1)(s2 + 4)
=
(A + C)s3 + (B + D)s2 + (4A + C)s + (4B + D)
(s2 + 1)(s2 + 4)
10
A+C
B+D
4A + C
4B + D
=
=
=
=
0
1
1
4
A
B
C
D
=⇒
=
1/3
=
1
= −1/3
=
0
1
s+1
− 13 s
s2 + s + 4
3
= 2
+
(s2 + 1)(s2 + 4)
(s + 1) (s2 + 4)
=
1
1
1
s
s
+ 2
−
2
2
3 (s + 1) (s + 1) 3 (s + 4)
Finalmente para encontrar el valor de y que es solución del problema de valor
inicial, utilizamos la inversa de la transformación de Laplace:
y(t) = L−1 (Y )
s
1
s
1 −1
1 −1
−1
=
L
+L
− L
3
(s2 + 1)
(s2 + 1)
3
(s2 + 22 )
=
3. Resolver
1
1
cos(t) + sen(t) − cos(2t)
3
3
y 00 + 4y 0 + 3y = 0,
determine L(f ).
4. Si f (t) = t sen ωt,
f (t) = t sen ωt,
Luego,
entonces
f 0 (0) = 0
Así,
y 0 (0) = 1
y(0) = 3,
y
f (0) = 0
y
f 0 (t) = sen ωt + ω cos ωt
f 00 (t) = 2ω cos ωt − ω 2 f (t)
L(f 00 ) = 2ωL(cos ωt) − ω 2 L(f )
El lado izquierdo de la igualdad es igual a:
Por lo tanto:
s2 L(f ) − sf (0) − f 0 (0)
(s2 + ω 2 )L(f ) = 2ωL(cos ωt)
∴
L(f ) =
5. Determine L(f ), si
a) f (t) = t cos ωt
b) f (t) = teat
c) f (t) = tn eat
11
2ωs
(s2 + ω 2 )2
La transformada de Laplace de la integral
1.3.3.
Proposición
Z
orden exponencial y se tiene que
Z t
Z
1
1 a
L
f (x) dx = L(f ) −
f (x) dx
s
s 0
a
t
f (x) dx es de
Si f es seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces
a
Observación
Si a = 0, entonces
t
Z
L
0
1
y(u) du (s) = Y (s)
s
Aplicando la transformada inversa a esta relación:
Z t
1
−1
L
Y (s) =
y(u) du
s
0
Cuadro 2: Transformada de Laplace
y(t)
L(y)(s) = Y (s)
y 0 (t)
s Y (s) − y(0)
y 00 (t)
s2 Y (s) − s y(0) − y 0 (0)
y (n) (t)
sk Y (s) − sk−1 y(0) − · · · − s y (k−2) (0) − y (k−1) (0)
Z
t
1
Y (s)
s
y(u) du
0
Ejemplos
1. Si
L(f ) =
2. Si
L(f ) =
s(s2
1
,
+ ω2)
s2 (s2
1
,
+ ω2)
determinar f (t).
determinar f (t).
12
1.3.4.
(1◦ de traslación)
Teorema
Sea f una función continua por tramos y de orden exponencial. Sea F (s) la transformada de Laplace de f , y sea c una constante. Entonces,
L{ ec t f (t)}(s) = F (s − c)
Demostración
ct
∞
Z
L{ e f (t)}(s) =
e
ct
f (t) e
−st
Z
dt =
0
∞
f (t) e−(s−c)t dt = F (s − c)
0
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace de g(t) = e2t sen 3t
L{e2t sen 3t} = F (s − 2) =
3
3
= 2
2
(s − 2) + 9
s − 4s + 13
Cuadro 3: Transformada de Laplace
f (t)
L(f )(s) = F (s)
eat sen(bt)
b
(s − a)2 + b2
s>a
eat cos(bt)
s−a
(s − a)2 + b2
s>a
eat tn
n!
(s − a)n+1
s>a
Observación
Supongamos que f es una función continua por tramos de orden exponencial, y sea
F (s) su transformada de Laplace. Luego,
Z ∞
−st
F (s) =
f (t) e
dt
0
Derivando con respecto a la variable s, suponiendo que, en este caso, es posible
intercambiar la integral con la derivada:
Z ∞
Z ∞
d
d
∂ −st
−st
0
F (s) = F (s) =
f (t) e
dt =
f (t)
(e ) dt =
ds
ds
∂s
0
0
Z ∞
−st
=−
t f (t) e
dt = −L{ t f (t)}(s)
0
13
es decir:
L{ t f (t)}(s) = − F 0 (s)
Inductivamente, si n es cualquier entero positivo, entonces:
L{ tn f (t)}(s) = (−1)n F (n) (s)
F (n) (s) =
donde
dn
F (s)
dsn
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace de la función t2 e3t
Aqui
f (t) = e3t
F 0 (s) =
con
=⇒
F (s) =
1
(s − 3)
d
1
(F (s)) = −
ds
(s − 3)2
F 00 (s) =
y
2
d
(F 0 (s)) =
ds
(s − 3)3
luego,
L{ t2 e3t }(s) = (−1)2 F 00 (s) =
1.4.
2
(s − 3)3
Funciones Discontinuas
Consideremos las siguientes funciones:
Función intervalo:

t<a
 0 ,
1 , a6t<b
Hab (t) =

0 , b6t<∞
Función escalón unitario:
H(t) =
0 , t<0
1 , t>0
Función escalón unitario trasladada hasta el punto c:
Hc (t) = H(t − c) =
0 , t<c
1 , t>c
Podemos expresar la función intervalo Hab (t) en términos de la función escalón
unitario Ha (t) y Hb (t) del siguiente modo:
Hab (t) = Ha (t) − Hb (t) = H(t − a) − H(t − b)
14
Ejercicio: Exprese la función g(t) en términos de la función escalón unitario:
2t , 0 6 t < 1
g(t) =
2 , 16t<∞
g(t) =
=
=
=
=
2t H01 (t) + 2 H1 (t)
2t [H0 (t) − H1 (t)] + 2 H1 (t)
2t H0 (t) + (−2t + 2) H1 (t)
2t H(t − 0) − 2(t − 1) H(t − 1)
2t H(t) − 2(t − 1) H(t − 1)
Ejercicio: Exprese la función f (t) en términos de la función escalón unitario:

 3 , 06t<4
−5 , 4 6 t < 6
f (t) =
 −t
e
, 66t<∞
f (t) =
=
=
=
3 H04 (t) − 5 H46 (t) + e−t H6 (t)
3 [H0 (t) − H4 (t)] − 5 [H4 (t) − H6 (t)] + e−t H6 (t)
3 H0 (t) − 8 H4 (t) + 5 H6 (t) + e−t H6 (t)
3 H(t) − 8 H(t − 4) + 5 H(t − 6) + e−t H(t − 6)
La transformada de Laplace de la función escalón unitario
Z ∞
L(Hc (t))(s) =
Hc (t) e−st dt
0
Z
c
0· e
=
−st
Z
0
lı́m
T →∞
1 · e−st dt
c
Z
=
∞
dt +
T
1 · e−st dt
c
T
−T s
−e
e−cs
−e−st +
= lı́m
= lı́m
T →∞
T →∞
s s
s
c
=
e−cs
s
Luego,
L(Hab (t))(s) = L(Ha (t))(s) − L(Hb (t))(s) =
15
e−as − e−bs
s
1.4.1.
Teorema
2◦ de Traslación
Sea f (t) una función continua por tramos y de orden exponencial. Sea F (s) la
transformada de Laplace de f . Luego para c > 0, la transformada de Laplace de la
función H(t − c) f (t − c) esta dado por:
L H(t − c) f (t − c) = e−cs F (s)
Demostración
Z
L H(t − c) f (t − c) =
∞
H(t − c) f (t − c) e−st dt
0
Z
c
0e
=
−st
Z
dt +
f (t − c) e−st dt
c
0
Z
∞
∞
f (t − c) e−st dt
=
(haciendo τ = t − c)
c
Z
∞
−s(τ +c)
f (τ ) e
=
−cs
Z
dτ = e
0
∞
f (τ ) e−sτ dτ
0
= e−cs F (s)
Ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace de la función H(t − π/4) sen(t)
La función sen(t) debe estar expresado en términos de (t − π/4)
sen(t) = sen((t − π/4) + π/4)
= sen(t − π/4) cos(π/4) + cos(t − π/4) sen(π/4)
√
√
2
2
= sen(t − π/4)
+ cos(t − π/4)
2
2
Luego,
√
√
2
2
H(t − π/4) sen(t) =
H(t − π/4) sen(t − π/4) +
H(t − π/4) cos(t − π/4)
2
2
Finalmente,
√
2 L H(t − π/4) sen(t) =
L H(t − π/4) sen(t − π/4) +
2
√
2 +
L H(t − π/4) cos(t − π/4)
2
√
√
√
2 −πs 1
2 −πs s
2 −πs 1 + s
L H(t − π/4) sen(t) =
e 4 2
+
e 4 2
=
e 4
2
s +1
2
s +1
2
s2 + 1
16
1.4.2.
Proposición
Supongamos que f (t) es una función continua por tramos y de orden exponencial.
Supongamos que F (s) = L{f }(s). Luego,
L−1 {e−cs F (s)}(t) = H(t − c)f (t − c)
Ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace inversa de la función
F (s) =
e−2s
s(s2 + 9)
Para determinar L−1 (F (s)), descomponemos la parte racional de F usando fracciones parciales:
A Bs + C
A(s2 + 9) + (Bs + C)s
(A + B)s2 + Cs + 9A
1
=
+
=
=
s(s2 + 9)
s
s2 + 9
s(s2 + 9)
s(s2 + 9)
A+B = 0
C = 0
9A = 1
=⇒
1
1/9 −1/9s
=
+ 2
2
s(s + 9)
s
s +9
Luego,
−1
L
e−2s
s(s2 + 9)
A =
1/9
B = −1/9
C =
0
=⇒
e−2s
1
1 1
s
= e−2s − e−2s 2
2
s(s + 9)
9
s 9
s +9
s
1 −1 −2s 1
1 −1 −2s
L
e
e
=
− L
9
s
9
s2 + 9
=
1
1
H(t − 2) 1 − H(t − 2) cos(3(t − 2))
9
9
1
H(t − 2) (1 − cos(3(t − 2)))
9
0
,
t<2
=
(1 − cos(3(t − 2))) /9 , 2 6 t < ∞
=
17
Función Periódica
Una función f es periódica con período T si f (t + T ) = f (t) ∀t. El período T es
el menor número positivo que satisface esta propiedad.
A partir de una función periódica f de período T , podemos construir una nueva
función (considerando solo un período de la función f y definiéndola como 0 en el resto
del dominio) del siguiente modo:
f (t) , 0 6 t < T
fT (t) =
0
, T 6t<∞
Proposición
Supongamos que f es periódica con período T y continua por tramos. Sea FT (s) la
transformada de Laplace de fT (t). Luego:
Z T
f (t) e−st dt
FT (s)
L{f }(s) = 0
=
−T
s
1−e
1 − e−T s
Demostración
Z 3T
Z 2T
Z T
Z ∞
−st
−st
−st
f (t) e−st dt+· · ·
f (t) e dt+
f (t) e dt+
f (t) e dt =
L{f }(s) =
2T
T
0
0
Z T
Z τ
Z T
f (τ +2T ) e−s(τ +2T ) dτ +· · ·
f (τ +T ) e−s(τ +T ) dτ +
f (t) e−st dt+
=
0
0
0
z
}|
{
z
}|
{
τ = t − T en la 2a integral
τ = t − 2T en la 3a integral
Z T
Z τ
Z T
−sτ
−2sT
−st
−sT
f (τ ) e−sτ dτ + · · ·
f (τ ) e
dτ + e
f (t) e
dt + e
=
0
0
0
Z T
=
f (t) e−st dt
1 + e−sT + e−2sT + e−3sT + · · ·
0
Z T
1
−st
=
f (t) e
dt
1 − e−sT
0
Ejemplo
Calculemos la transformada de Laplace de la función definida por
t
0<t≤1
g(t) =
,
g(t + 2) = g(t)
∀t > 0
2−t
1≤t≤2
Claramente, g es una función periódica de período 2. Luego, para calcular su transformada de Laplace construimos la función:
gT (t) = t (H(t) − H(t − 1)) + (2 − t) (H(t − 1) − H(t − 2))
18
= t − 2 (t − 1) H(t − 1)) + (t − 2) H(t − 2)
1
L(gT (t))
1 − e−2s
1
1
e−s e−2s
=
−2 2 + 2
1 − e−2s s2
s
s
L(g) =
Luego:
Ejercicios
Determine las transformadas de Laplace de las siguientes:
1. Onda cuadrada:
f (t) =
0<t≤a
,
a ≤ 2a ≤ 2
k
−k
f (t + 2a) = f (t)
∀t > 0
2. Onda diente de sierra:
g(t) =
k
t,
p
0 < t < p,
g(t + p) = g(t)
∀t > 0
3. Rectificador de media onda:
h(t) =
1.5.
sen ωt
0
0 < t ≤ ωπ
,
π
< t < 2π
ω
ω
h(t +
2π
)
ω
= h(t)
∀t > 0
Convolución
Sabemos que L−1 (F + G) = L−1 (F (s)) + L−1 (G(s)). Pero, no es cierto que
L−1 (F · G) = L−1 (F (s)) · L−1 (G(s)). Basta considerar, por ejemplo,
F (s) = 1s , G(s) = s12 .
El siguiente producto de convolución de funciones, tiene una propiedad muy útil para
calcular la transformada de Laplace inversa de un producto de transformadas conocidas.
Definamos, en primer lugar, este producto:
Definición
Sean f y g dos funciones continuas por tramos. La convolución de f y g es la función
f ∗ g definida por:
Z t
(f ∗ g)(t) =
f (u) g(t − u) du
0
19
Observación
En la integral anterior, notar que si hacemos el cambio de variable v = t − u,
tenemos:
Z t
Z 0
Z t
f (t − v) g(v) dv = (g ∗ f )(t)
f (t − v) g(v) dv =
f (u) g(t − u) du = −
0
t
0
Así, hemos probado la primera de las afirmaciones del siguiente teorema. Dejamos
las demás como ejercicio.
1.5.1.
Teorema
Supongamos que f , g y h son funciones continuas por tramos. Luego,
1. f ∗ g = g ∗ f
2. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
4. f ∗ 0 = 0
1.5.2.
Teorema
Supongamos que f y g son funciones de orden exponencial. Supongamos que
L(f ) = F (s) y L(g) = G(s). Luego,
L(f ∗ g)(t) = F (s) · G(s)
ó, equivalentemente,
Z
−1
t
f (u) g(t − u) du
L {F (s) · G(s)}(t) =
0
Sea f (t) = t2 − 2t y
Z t
(f ∗ g)(t) =
f (u) g(t − u) du
g(t) = t.
Ejemplo 1:
Calcular (f ∗ g)(t)
0
Z
t
(u2 − 2u) (t − u) du
=
0
Z
=
t
(tu2 − 2tu − u3 + 2u2 ) du
0
=
Ejemplo 2:
t4
t3
−
12
3
Sea f (t) = sen t
y
a) Directamente de la definición
g(t) = t. Calcular la convolución f ∗ g:
Z t
f ∗g =
f (u) g(t − u) du
0
b) Evaluando F = L(f ) y G = L(g) y luego calculando
20
f ∗ g = L−1 {L(f ) L(g)}
t
Z
f (u) g(t − u) du
a) f ∗ g =
0
t
Z
Z
t
sen u (t − u) du = t
=
sen u du −
0
= t
h
0
= t
= t
u sen u du
0
0
0
it h
it it h
− u cos u + sen u − cos u −
0
h
t
it h
it Z t
− cos u du
− cos u −
− u cos u −
0
h
Z
0
i
− cos(t) + cos(0) −
h
0
i h
i
− t cos(t) + 0 cos(0) + sen(t) − sen(0)
= −t cos(t) + t + t cos(t) − sen(t) = t − sen(t)
b)
F (s) = L(f ) = L(sen t) =
F (s)G(s) =
A+C
B+D
C
D
=
=
=
=
s2
1
,
+1
G(s) = L(g) = L(t) =
1
1
1
As + B
C D
·
=
=
+
+ 2
(s2 + 1) s2
(s2 + 1)s2
(s2 + 1)
s
s
=
(As + B)s2 + Cs(s2 + 1) + D(s2 + 1)
(s2 + 1)s2
=
As3 + Bs2 + Cs3 + Cs + Ds2 + D
(s2 + 1)s2
=
(A + C)s3 + (B + D)s2 + Cs + D
(s2 + 1)s2
0
0
0
1
=⇒
A
B
C
D
=
0
= −1
=
0
=
1
luego,
−1
1
+ 2
+ 1) s
1
1
−1
−1
−1
L {F (s)G(s)} = −L
+L
2
(s + 1)
s2
F (s)G(s) =
(s2
f ∗ g = − sen(t) + t
21
1
s2
Ejemplo 3:
Solución:
Sea
t≤2
t>2
0
e−(t−2)
con las condiciones
y 0 (0) = 0.
0
e−(t−2)
g(t) =
0
y + 4y + 4y =
Resolver:
y(0) = 0,
iniciales
00
t≤2
t>2
g(t) = e−(t−2) H(t − 2).
Usando la función de Heaviside, escribimos g en la forma
La ecuación diferencial queda como:
y 00 + 4y 0 + 4y = e−(t−2) H(t − 2).
Aplicamos transformada de Laplace:
L(y 00 ) + 4L(y 0 ) + 4L(y) = L e−(t−2) H(t − 2)
s2 Y (s) − sy(0) − y 0 (0) + 4sY (s) − 4y(0) + 4Y (s) = e−2s ·
s2 Y (s) + 4sY (s) + 4Y (s) = e−2s ·
(s2 + 4s + 4) Y (s) = e−2s ·
1
s+1
1
s+1
1
s+1
e−2s
e−2s
=
(s + 1) (s2 + 4s + 4)
(s + 1) (s + 2)2
Usamos fracciones parciales:
Y (s) =
1
A
B
C
=
+
+
=
2
(s + 1) (s + 2)
s+1
s+2
(s + 2)2
A (s + 2)2 + B(s + 1) (s + 2) + C (s + 1)
(s + 1) (s + 2)2
(A + B) s2 + (4A + 3B + C) s + 4A + 2B + C
=
(s + 1) (s + 2)2
A+B = 0
A =
1
4A + 3B + C = 0
B = −1
⇒
Luego:
4A + 2B + C = 1
C = −1
=
de donde
Y (s) =
e−2s
e−2s
e−2s
−
−
(s + 1)
(s + 2)
(s + 2)2
y(t) = H(t − 2)e−(t−2) − H(t − 2)e−2(t−2) − H(t − 2) (t − 2)e−2(t−2)
Ejercicios
Calcular las transformadas inversas de:
s
s
1. F (s) = 2
2. F (s) = 2 2
2
(s + 1)
s (s + 1)2
3. F (s) =
e−as
,
sn+1
n ≥ 1,
a∈R
22