Transformaciones

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C APÍTULO
8
Transformaciones
Resumen de contenido
En el Capítulo 8, los estudiantes continúan su trabajo con funciones, especialmente
funciones no lineales a través del estudio adicional de las gráficas de funciones. En
particular, consideran tres maneras de cambiar la localización, la orientación y el
tamaño de esas gráficas. (Nota: Usted puede querer saltar el material de matrices si el
profesor de su estudiante no cubre la Lección 8.7; las matrices frecuentemente se
cubren como parte del currículo de álgebra avanzada.)
Traslaciones
Una traslación traslada puntos o gráficas en un plano. Si un punto (x, y) se traslada hacia la
derecha h unidades y hacia arriba k unidades, el punto resultante es (x h, y k).
La gráfica de una función puede trasladarse en la misma manera, reemplazando x con
x h en cada ocurrencia de x en la ecuación de la gráfica y reemplazando y con y k
en cada ocurrencia de y.
Como un ejemplo, considere la función racional f(x) 1x, la cual el libro introduce en
este capítulo. Si se traslada la gráfica de y 1x 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades
1
hacia arriba, el resultado tiene la ecuación y 3 x 2 . También puede pensar de la
1
1
ecuación resultante como la gráfica de la función g(x) x 2 3. Aunque f(x) x
está indefinida para x 0 y tiene la línea y 0 como una asíntota (asymptote) (una
recta a la que la gráfica se acerca pero nunca toca), g(x) está indefinida 2 unidades a la
izquierda, donde x 2, y tiene una asíntota 3 unidades más arriba, en y 3.
y
y
5
6
1
y _x
5
5
1
y _
x 2 3
x
5
5
5
x
4
Es posible representar las transformaciones con matrices. En particular, una
translación puede representarse con la suma de matrices. Para hacerlo, puede
representar el punto (x, y)
h
x
por la matriz
y la translación por . Luego el punto imagen se
k
y
x
h
xh
representa por la suma de estas matrices:
.
y
k
yk
De hecho, este método de matrices puede representar la traslación de más de un punto.
Discovering Algebra muestra cómo una matriz puede representar los vértices (esquinas)
de un polígono, con cada columna como las coordenadas de un vértice. Por ejemplo, la
3
1 2 1 2
matriz
representa el pentágono dibujado en la próxima página.
2 1
0
2 4
Una translación hacia la izquierda de 3 unidades y 2 unidades hacia arriba puede
3 3 3 3 3
.
representarse por la matriz
2 2 2 2 2
冤冥
冤冥
冤
冤冥 冤冥 冤
冥
冥
冤
冥
(continuado)
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Capítulo 8 • Transformaciones (continuado)
El polígono resultante está representado por la suma de las matrices:
冤32
1
1
2
0
冥 冤
1 2
3
2 4
2
3
2
3
2
3
2
冥 冤
3
6
2
4
4
1
1
2
y
冥
2
4
6
5
6
Éste está mostrado como el polígono entrecortado en la gráfica.
6
Reflexiones
6
x
El libro examina las reflexiones (o vueltas) de puntos o gráficas alrededor de los ejes.
Cuando se refleja un punto (x, y) alrededor del eje y, el resultado es el punto
(x, y). Reflejar el punto (x, y) alrededor del eje x produce una imagen de (x, y).
6
Para reflejar una gráfica alrededor del eje y, se reemplaza cada ocurrencia de x en su ecuación
con x. Para reflejar una gráfica alrededor del eje x, se reemplaza y con y. Por ejemplo, la
1
1
alrededor del eje y tiene la ecuación f (x) .
reflexión de la gráfica y x 2
1 x2
1
La reflexión de y x 2 alrededor del eje x tiene la ecuación y x 2 , ó
1
.
y x2
Las reflexiones también se pueden representar a través de la multiplicación de matrices.
3
1 2 1 2
Por ejemplo, para reflejar el pentágono representado por
2 1
0
2 4
1 0
alrededor del eje y, multiplica la matriz por
para obtener
0 1
1 0
3
1 2 1 2
3 1 2 1 2
0 1 ⭈ 2 1
0
2 4
2 1 0 2
4
冤
冥 冤
冥 冤
冤
冥
冤
冥
冥
y
6
6
6
x
6
Estiramientos y encogimientos
Un estiramiento (stretch) vertical por un factor positivo a cambia (x, y) a (x, ay). Si a
es menor de 1 (pero aún positivo), el estiramiento es un encogimiento (shrink).
Para estirar o encoger una gráfica verticalmente por un factor positivo a, se
y
reemplaza cada ocurrencia de y con a en la ecuación de la gráfica. Por ejemplo, el
y
reemplazar y con 2 en la ecuación f(x) 1x crea un estiramiento vertical por
un factor de 2. Ésta es la ecuación de la función g(x) 2x.
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Capítulo 8 • Transformaciones (continuado)
Los estiramientos y encogimientos también pueden representarse por la
multiplicación de matrices. Se puede hallar la imagen del pentágono
3
1 2 1 2
después de ser estirado verticalmente por un factor de
2 1
0
2 4
冤
冥
冤 冥
冤
1
si multiplica la matriz por la matriz
3
冤 冥
1
0
1
0 3
⭈ 冤2
3
1
0
1 para obtener
3
0
1 2 1 2
1
2 4 .
0
3
3 3
3
1 2 1 2
2
1
0
2 4
3
冥
冥
Problema de resumen
x
1.5
0.7
0.2
0
1
3
y
3.0
1.2
0.8
0.7
0.5
0.3
Usa las trasformaciones de la función f(x) x para ajustar los datos en la tabla
anterior tan bien como puedas.
Preguntas que podría hacer, en su papel de estudiante para su estudiante, incluyen:
●
●
●
●
●
¿Por qué diferentes translaciones dan el mismo resultado?
¿Por qué diferentes reflexiones dan el mismo resultado?
¿Por qué diferentes combinaciones de estiramientos y encogimientos dan el
mismo resultado?
¿Importa el orden en que se hacen las transformaciones?
¿Puede transformarse otra función diferente de f(x) x para ajustar los puntos
de datos mejor?
Repuestas ejemplares
Para una recta con ecuación y a bx, reemplazar x con x h da y a bx bh,
o y bh a bx. Así que una traslación horizontal por h es lo mismo que una
traslación vertical por bh. El álgebra también muestra que una reflexión de una
recta alrededor del eje x puede lograrse por una reflexión alrededor del eje y,
combinado con una traslación, y que estirar una recta en una dirección es
equivalente a encogerla en la dirección perpendicular. Una función no lineal
probablemente se ajustará mejor a los datos.
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Capítulo 8 • Ejercicios de repaso
Nombre
1.
Periodo
Fecha
(Lecciones 8.1, 8.3, 8.4) Dibuja este triángulo en papel de gráficas o en tu
calculadora. Luego dibuja la imagen bajo cada una de las siguientes
transformaciones. Describe cada transformación.
a. (x 2, y 1)
b. (x, y)
c. (x, y)
d. (0.5x, 3y)
y
7
7
5
x
5
2.
(Lecciones 8.2–8.4) La gráfica de la función y x 3 se muestra
abajo. Nombra las funciones que dan las siguientes transformaciones de
la gráfica. Verifica cada contestación graficándola en tu calculadora.
y
6
5
f (x) |x 3|
1
10
x
a. Traslada hacia la derecha 2 unidades.
b. Refleja alrededor del eje y y traslada 1 unidad hacia arriba.
c. Refleja alrededor del eje x, encoge verticalmente por un factor de 0.5,
traslada 1 unidad hacia la izquierda y traslada 3 unidades hacia arriba.
3. (Lección 8.6) Reduce cada expresión a sus términos más bajos. Declara
cualquier restricción sobre la variable.
冢2x 2冣冢10x 4冣
4x
a. 3
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2x 2 4x
6x
b. 4x(x 3)
2(x 3)
c. 2
6 2x 2
2x
d. Discovering Algebra: Una guía para padres
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S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 8
1. a. Traslada 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad
hacia arriba.
b. Refleja alrededor del eje y.
c. Refleja alrededor del eje x.
d. Encoge horizontalmente por un factor de 0.5;
estira verticalmente por un factor de 3.
2y x 3
y 0.5x 3
7
para trasladar la gráfica 1 unidad hacia la
izquierda.
y 3 0.5x 2
a
b
7
5
c
x
Resuelve para y.
y 0.5(x 1) 3 Reemplaza x con x 1
y
d
y
Reemplaza y con 0.5, ó
2y, para encoger la
gráfica verticalmente
por un factor de 0.5.
Reemplaza y con y 3
para trasladar la gráfica 3 unidades hacia
arriba.
y 0.5x 2 3
5
2. a. y x 3
y (x 2) 3
Función original.
Reemplaza x con x 2 para
trasladar la gráfica 2 unidades
hacia la derecha
y x 5
冢2x 2冣冢10x 4冣 2 • 2 • 5 • x 6
3. a. 4x 3
2 • 2 • x3
5x 3, donde x 0
La restricción x 0 es necesaria porque el valor de
x 0 haría el denominador de la expresión original
cero.
[9.4, 9.4, 1, 6.2, 6.2, 1]
b. y x 3
Función original.
y (x) 3
Reemplaza x con x para
reflejar la gráfica alrededor
del eje y.
y 1 x 3
Reemplaza y con y 1 para
trasladar la gráfica 1 unidad
hacia arriba.
y x 3 1
c.
y x 3
y x 3
y x 3
42
[4.4, 14.4, 1, 6.2, 6.2, 1]
2x 2 4x 2x(x 2)
b. 6
x
2•3•x
x2
3, donde x 0
La restricción x 0 es necesaria porque el valor de
x 0 haría el denominador de la expresión original
cero.
4x(x 3)
2x
,
c. 2(x 3)2 x 3 donde x 3.
6 2x 2 2冢3 x 2冣
d. 2x 2•x
3 x2
x, donde x 0.
Función original.
Reemplaza y con y
para reflejar alrededor
del eje x.
Resuelve para y.
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