Reglas para obtener las medias cuadradas esperadas (EMS

Reglas para obtener las medias cuadradas esperadas (EMS: Expected mean squares)
Ejemplo 1 (Tomado del libro Design and analysis of Experiments, 6 edición, página 523)
Considere un experimento factorial con cuatro factores, donde el factor A tiene a niveles, el
factor B tiene b niveles, el factor C tiene c niveles, el factor D tiene d niveles y hay n replicas.
Escriba las sumas de cuadrados, los grados de libertad y las medias cuadradas esperadas para los
siguientes casos:
a) A, B, C, y D son factores fijos.
b) A, B, C, y D son factores aleatorios.
c) A es fijo y B, C, y D son aleatorios.
La suma de cuadrados y los grados de libertad son iguales para las partes a, b y c
Fuente de variación
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD
ABCD
Suma de cuadrados
SSA
SSB
SSC
SSD
SSAB
SSAC
SSAD
SSBC
SSBD
SSCD
SSABC
SSABD
SSACD
SSBCD
SSABCD
a) Para el caso donde A, B, C, y D son factores fijos :
Factores
τi
βj
γk
δl
(τβ)ij
(τγ)ik
(τδ)il
(βγ)jk
(βδ)jl
(γδ)kl
(τβγ)ijk
(τβδ)ijl
(τγδ)ikl
(βγδ)jkl
(τβγδ)ijkl
ε(ijkl)m
F
a
i
0
a
a
a
0
0
0
a
a
a
0
0
0
a
0
1
F
b
j
B
0
B
B
0
B
B
0
0
B
0
0
B
0
0
1
F
c
k
c
c
0
c
c
0
c
0
c
0
0
c
0
0
0
1
F
d
l
d
d
d
0
d
d
0
d
0
0
d
0
0
0
0
1
Grados de libertad
a-1
b-1
c-1
d-1
(a-1)(b-1)
(a-1)(c-1)
(a-1)(d-1)
(b-1)(c-1)
(b-1)(d-1)
(c-1)(d-1)
(a-1)(b-1)(c-1)
(a-1)(b-1)(d-1)
(a-1)(c-1)(d-1)
(b-1)(c-1)(d-1)
(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)
Componente de
varianza para el
factor fijo τi
R
EMS
e
m
n
σ2 + [bcdn Σ τ2i] / (a-1)
n
σ2 + [acdn Σ β2j] / (b-1)
n
σ2 + [abdn Σ γ2k] / (c-1)
n
σ2 + [abcn Σ δ2l] / (d-1)
n
σ2 + [cdn ΣΣ (τβ)2ij] / (a-1) (b-1)
n
σ2 + [bdn ΣΣ (τγ)2ik] / (a-1) (c-1)
n
σ2 + [bcn ΣΣ (τδ)2il] / (a-1) (d-1)
n
σ2 + [adn ΣΣ (βγ)2jk] / (b-1) (c-1)
n
σ2 + [acn ΣΣ (βδ)2jl] / (b-1) (d-1)
n
σ2 + [abn ΣΣ (γδ)2jl] / (c-1) (d-1)
2
n
σ + [dn ΣΣΣ (τβγ)2 ijl] / (a-1) (b-1) (c-1)
n
σ2 + [dn ΣΣΣ (τβδ)2 ijl] / (a-1) (b-1) (d-1)
n
σ2 + [dn ΣΣΣ (τγδ)2 ikl] / (a-1) (c-1) (d-1)
n
σ2 + [dn ΣΣΣ (βγδ)2 jkl] / (b-1) (c-1) (d-1)
n σ2 + [dn ΣΣΣΣ (τβγδ)2 ijkl] / (a-1) (b-1) (c-1) (d-1)
1
σ2
b) Para el caso donde A, B, C, y D son factores aleatorios:
Factores
τi
R
a
i
1
R
b
j
b
R
c
k
c
R R
d e
l m
D n
βj
a
1
c
d
n
γk
a
b
1
d
n
δl
a
b
c
1
n
(τβ)ij
1
1
c
d
n
(τγ)ik
1
b
1
d
n
(τδ)il
1
b
c
1
n
(βγ)jk
a
1
1
d
n
(βδ)jl
a
1
c
1
n
(γδ)kl
a
b
1
1
n
(τβγ)ijk
1
1
1
d
n
(τβδ)ijl
1
1
c
1
n
(τγδ)ikl
1
b
1
1
n
(βγδ)jkl
a
1
1
1
n
(τβγδ)ijkl
1
1
1
1
n
ε(ijkl)m
1
1
1
1
1
EMS
σ2+nσ2τβγδ +bnσ2τ γδ +cnσ2τβδ +dnσ2τ βγ +bcnσ2 τ δ +bdnσ2 τ γ +cdnσ2τβ
+bcdnσ2 τ
σ2+nσ2τβγδ +anσ2βγδ +cnσ2τβδ +dnσ2τ βγ +acnσ2 βδ +adnσ2βγ +cdnσ2τβ
+acdnσ2β
σ2 + nσ2 τβγδ + anσ2 βγδ + dnσ2 τβγ + abnσ2 τδ + adnσ2 βγ + cnσ2 τγ + abdnσ2 δ
σ2 + nσ2 τβγδ + anσ2 βγδ + cnσ2 τβδ + abnσ2 τδ + acnσ2 βδ + bcnσ2 τδ + abcnσ2 δ
σ2 + nσ2 τβγδ + cnσ2 τβδ + dnσ2 τβγ + cdnσ2 τβ
σ2 + nσ2 τβγδ + bnσ2 τγδ + dnσ2 τβγ + bcnσ2 τγ
σ2 + nσ2 τβγδ + bnσ2 τγδ + cnσ2 τβδ + bcnσ2 τδ
σ2 + nσ2 τβγδ + anσ2 βγδ + dnσ2 τβδ + adnσ2 βγ
σ2 + nσ2 τβγδ + anσ2 βγδ + cnσ2 τβδ + acnσ2 βδ
σ2 + nσ2 τβγδ + anσ2 βγδ + abnσ2 γδ
σ2 + nσ2 τβγδ + dnσ2 τβγ
σ2 + nσ2 τβγδ + cnσ2 τβδ
σ2 + nσ2 τβγδ + bnσ2 τγδ
σ2 + nσ2 τβγδ + anσ2 βγδ
σ2 + nσ2 τβγδ
σ2
c) Para el caso donde A es fijo y B, C, y D son aleatorios:
Factores
τi
F
a
i
0
R
b
j
b
βj
γk
δl
(τβ)ij
(τγ)ik
(τδ)il
(βγ)jk
(βδ)jl
(γδ)kl
(τβγ)ijk
(τβδ)ijl
(τγδ)ikl
(βγδ)jkl
(τβγδ)ijkl
ε(ijkl)m
a
a
a
0
0
0
a
a
a
0
0
0
a
0
0
1
b
b
1
b
b
1
1
b
1
1
b
1
1
1
R
c
k
c
R R
EMS
d e
l m
d n σ2+nσ2τβγδ +bnσ2τ γδ +cnσ2τβδ +dnσ2τ βγ +bcnσ2 τ δ +bdnσ2 τ γ +cdnσ2τβ
+(bcdnΣτ2i)/(a-1)
c d n σ2 + anσ2 βγδ + acnσ2 βδ + adnσ2 βγ + abdnσ2 β
1 d n σ2 + anσ2 βγδ + abnσ2 δγ + adnσ2 βγ + abdnσ2 δ
c 1 n σ2 + anσ2 βγδ + abnσ2 δγ + acnσ2 βδ + abcnσ2 δ
c d n σ2 + nσ2 τβγδ + cnσ2 τβδ + dnσ2 τβγ + cdnσ2 τβ
1 d n σ2 + nσ2 τβγδ + bnσ2 τγδ + dnσ2 τβγ + bdnσ2 τγ
c 1 n σ2 + nσ2 τβγδ + bnσ2 τγδ + cnσ2 τβδ + bcnσ2 τδ
1 d n σ2 + anσ2 βγδ + adnσ2 βγ
c 1 n σ2 + anσ2 βγδ + acnσ2 βδ
1 1 n σ2 + anσ2 βγδ + abnσ2 γδ
1 d n σ2 + nσ2 τβγδ + dnσ2 τβγ
c 1 n σ2 + nσ2 τβγδ + cnσ2 τβδ
1 1 n σ2 + nσ2 τβγδ + bnσ2 τγδ
1 1 n σ2 + anσ2 βγδ
1 1 n σ2 + nσ2 τβγδ
1 1 1 σ2