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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Junio 2013 OPCIÓN A Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas Problema 1. Resuelve las siguientes cuestiones: a) Calcula las matrices X e Y sabiendo que X + Y = b) Obtén la inversa de la matriz 3 1 4 3 3 2 . A = 2 2 1 0 . 8 6 c) Obtén la matriz X tal que X A = Solución: a) Hay que resolver el sistema 3 1 X + Y = 4 3 Por reducción, sumando ambas ecuaciones, 0 5 2 X − Y = − 7 − 3 3 6 1 3 6 1 2 → X = = 3 X = 3 − 3 0 − 1 0 − 3 0 1 2 3 1 + Y = Sustituyendo el valor de la matriz X en la primera ecuación: − 1 0 4 3 3 1 1 2 2 − 1 − = Y = 4 3 − 1 0 5 3 Solución: 1 2 2 − 1 e Y = X = − 1 0 5 3 b) 3 3 2 → A = A = 2 2 2 -1 Calculemos A 3 2 menores A = → 2 2 2 2 = 6 − 4 = 2 ≠ 0 , por lo que existe A-1 2 2 adjuntos → 2 3 1 2 − 2 1 − 1 = Finalmente A− 1 = 2 − 2 3 − 1 3 2 2 − 2 − 2 3 0 −7 y 2 X – Y = 2 − 2 traspuesta → − 2 3 5 . − 3 1 0 c) Buscamos una matriz X / X ⋅ A = 8 6 Como conocemos A-1, multiplicando la expresión anterior por la derecha por A-1 1 0 −1 ⋅ A , como A A-1= I X ⋅ A ⋅ A−1 = 8 6 1 0 −1 ⋅ A , como X I = X X ⋅ I = 8 6 3 1 0 1 − 1 1 . 1 + 0 . (−1) 1 . (−1) + 0 . 2 1 − 1 = ⋅ X = 3 = 3 2 1 8 6 − 1 2 8 . 1 + 6 . (−1) 8 . (−1) + 6 . 2 1 − 1 Solución: X = 2 1
