Taller 3 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Taller No 3 de Cálculo Integral
Universidad Nacional de Colombia
Sede Medellín
Semestre 01 de 2011
Nota al estudiante: Se pretende que el estudiante haga todos los ejercicios, aunque el
monitor no alcance a hacerlos todos durante el taller.
Z x
0
sen (t + x2 ) dt:
1. Halle F (x) si F (x) =
0
[Sugerencia: sen ( + ) = sen ( ) cos ( ) + cos ( ) sen ( )].
Z x2
p
2. Encuentre
lim
x !0
2 et dt
0
:
1 cos(2x)
3. Evaluar las integrales inde…nidas:
Z
cos
(a)
d
sen2
(c)
Z
p 1 ds
s ln(s2 )
Z
(e)
(b)
e
(d)
sen (2 ) d
(f )
4. Evaluar las integrales de…nidas
Z
1
(a)
d
1+sen
Z
Z
Z
(b)
3
4
Z
(c)
(e)
Z
xe
x dx
(d)
1
p
x2 cos (mx) dx
x sen (x) cos (x) dx
Z
2
ln (2x + x2 ) dx
1
2
x2 1
x2
dx
x2 +1
Z
=4
tan2 udu
0
3
tan
1
(1=x) dx
1
(f )
Z
0
1
3
pr
dr
9+r 2
5. Una partícula que se mueve a lo largo de un línea recta tiene velocidad
v (t) =
metros por segundo.
primeros t segundos?
1
t + (ln t)3
si 0
si t
t<1
1
¿Calcule la distancia recorrida por la partícula durante los
1
6. Un cohete se acelera al quemar el combustible que lleva a bordo, de modo que su masa
disminuye con el transcurso del tiempo. Suponga que la masa inicial del cohete al
despegar (incluyendo el combustible) es m, el combustible se consume a la razón r y
los gases de escape se expulsan con la velocidad constante ve (con relación al cohete).
Un modelo para la velocidad del cohete en el instante t se expresa mediante la ecuación
v(t) =
gt
ve ln
m
rt
m
donde g es la aceleración debida a la gravedad y t no es demasiado grande.
Si g = 9; 8m=s2 ; m = 30000kg; r = 160kg=s y ve = 3000m=s; encuentre la altura del
cohete un minuto después del despegue.
8. (a) Aplique la integración por partes para demostrar que
Z
Z
f (x) dx = xf (x)
xf 0 (x) dx
(b) Si f y g son funciones inversas y f 0 es continua, compruebe que
Z
Z
b
f (x) dx = bf (b)
af (a)
a
f (b)
g (y) dy:
f (a)
[Sugerencia: Use el resultado del inciso a) y efectúe la sustitución y = f (x)]
(c) En el caso donde f y g son funciones positivas y 0 < a < b; dibuje un diagrama
con objeto de dar una interpretación geométrica del resultado del inciso b):
Z 3
Z e
4
ln xdx y
(d) Utilice el resultado del inciso b) para evaluar
sen 1 xdx.
1
9. Evalúe
Z
(a)
=2
cos2 (x) sen2 (x) dx:
0
(b)
Z
=4
sec4 (x) tan3 (x) dx
0
[Sugerencia: Use la sustitución u = sec x].
2
2
4