7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas

Métodos Matemáticos (Curso 2013 – 2014)
Grado en Óptica y Optometrı́a 49
7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas
Cónicas
Cı́rcunferencias, elipses, parábolas, e hipérbolas son llamadas secciones cónicas o
cónicas ya que pueden ser obtenidas por la intersección de un plano con un cono circular de doble hoja (figura 52).
Fig.52
Parábola
Es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco,
y de una recta fija, llamada directriz.
La perpendicular a la directriz por el foco se llama eje principal, o simplemente, eje,
de la parábola. El punto en que el eje corta a la parábola se llama vértice de la parábola
(figura 53).
Fig.53
Para hallar la ecuación de una parábola consideramos primero un caso particular: la
parábola de foco F (0, c) y directriz y = −c donde c es un número positivo. La parábola
debe tener su vértice en el origen (porque equidista del foco y de la directriz) y debe estar
abierta hacia arriba (tipo “copa”), como se ve en la figura 54.
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Fig.54
Sea (x, y) un punto de la parábola: Por definición,
distancia de (x, y) a (0, c) = distancia de (x, y) a directriz
p
(x − 0)2 + (y − c)2 = y + c
x2 + y 2 − 2cy + c2 = y 2 + 2cy + c2
x2 = 4cy
Esta es la ecuación de la parábola de vértice (0, 0) y directriz y = −c.
Se puede repetir este razonamiento fácilmente para parábolas con vértice en el origen
y abiertas hacia abajo, a la izquierda o a la derecha, obteniéndose el siguiente resultado:
Ejemplo 1
Dibujar la parábola 2y 2 − 5x = 0.
Despejamos y 2 para poner la ecuación en forma canónica:
y2 =
5
x
2
El vértice es (0, 0) y 4c = 5/2, luego c = 5/8. Asi la parábola está abierta hacia la derecha, el foco
es (5/8, 0) y la longitud de la cuerda focal es 4c = 5/2, como muestra la figura 55. Métodos Matemáticos (Curso 2013 – 2014)
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Fig.55
Ejemplo 2
Hallar la ecuación de la parábola de foco F (0, −2) y directriz y = 2.
Se trata de la curva de la figura 56; vemos que es una parábola con vértice en el origen y abierta
hacia abajo. El valor de c es 2. La forma de la ecuación x2 = −4cy, luego la ecuación buscada es
x2 = −8y. Fig.56
Parábolas trasladadas
Si una parábola no está en posición canónica, pero su eje es paralelo a uno de los
ejes coordenados, se puede poner en posición canónica por un cambio de variable del tipo
X = x − h, Y = y − k. Este cambio de variable se llama traslación; traslada la gráfica de
la ecuación h unidades en horizontal (a la derecha si h > 0, y a la izquierda si h < 0) y k
unidades en vertical (hacia arriba si k > 0, y hacia abajo si k < 0) (figura 57).
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Fig.57
Ejemplo 3
Dibujar la parábola de ecuación y = x2 + 2x + 3. Hallar el vértice, ası́ como c y la longitud de
la cuerda focal. Hallar también el foco y la ecuación de la directriz.
A partir de la ecuación se completa el cuadrado
y − 3 = x2 + 2x
y − 3 + 1 = x2 + 2x + 1
y − 2 = (x + 1)2
Luego es una parábola de vértice (−1, 2) (evidentemente el valor más pequeño de y se alcanza
para x = −1, y resulta ser 2). Si ahora hacemos la sustitución Y = y − 2 y X = x + 1, resulta la
ecuación Y = X 2 , que nos dice que 4c = 1 y c = 1/4. La ecuación de la directriz será Y = −1/4
(figura 58). Fig.58
Ejemplo 4
Hallar la ecuación de la parábola de foco (4, −3) y directriz x + 2 = 0.
El vértice es (1, −3) porque debe equidistar de F y de la directriz. Obsérvese que c = 3. La parábola
abierta hacia la derecha (cuya ecuación es y 2 = 4cx) se traslada al punto (h, k) obteniéndose la
ecuación
(y − k)2 = 4c(x − h)
Sustituyendo (h, k) = (1, −3) y c = 3 se obtiene la ecuación buscada, que es
(y + 3)2 = 12(x − 1). Métodos Matemáticos (Curso 2013 – 2014)
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Elipse
Es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados
focos, es constante (figura 59).
Fig.59
Para hallar la ecuación de una elipse consideremos primero el caso particular en que
tiene centro en el origen y su eje mayor es el eje x. Sea c la distancia al foco (c > 0,
naturalmente); entonces los focos son F1 (−c, 0) y F2 (c, 0). Supongamos que la suma de
distancias es la constante 2a (figura 60)
Fig.60
La recta que pasa por F1 y F2 se llama eje mayor. El centro es el punto medio
del segmento F1 F2 . El semieje mayor es la distancia del centro a uno de los puntos de
intersección de la elipse con su eje mayor. La perpendicular al eje mayor por el centro se
llama el eje menor. El semieje menor es la distancia del centro a uno de los puntos de
intersección de la elipse con su eje menor. La elipse es simétrica con respecto a los ejes
mayor y menor.
Sea P (x, y) un punto cualquiera de la elipse, se tiene por definición que
|P F1 | + |P F2 | = 2a
p
p
2
2
(x + c) + (y − 0) + (x − c)2 + (y − 0)2 = 2a
Simplificando, sin dar los detalles, se obtiene
x2
y2
+
=1
a2
a2 − c2
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x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
La figura 61 muestra la gráfica de esta ecuación. Los vértices que están sobre el eje
mayor son (−a, 0) y (a, 0). Los puntos de intersección del eje menor con la elipse son (b, 0)
y (−b, 0). Obsérvese que a > c y a > b
Poniendo b2 = c2 − a2 se obtiene
Fig.61
Ejemplo 5
Para dibujar la elipse 2x2 + 5y 2 = 10 dividimos por 10 los dos miembros de la ecuación de la
elipse y operamos
2x2
5y 2
x2
y2
x2
y2
+
= 1 −→
+
= 1 −→ √
+ √
= 1.
2
10
10
5
2
( 5)
( 2)2
√
√
Por tanto se trata de la elipse de semiejes a = 5 y b = 2 como se ve en la figura 62. 2x2 + 5y 2 = 10 −→
Fig.62
Ejemplo 6
Para dibujar la elipse 9x2 + 4y 2 − 18x + 16y − 11 = 0 completamos los cuadrados:
9x2 + 4y 2 − 18x + 16y − 11
=
0
)
=
11
9(x2 − 2x + 12 ) + 4(y 2 + 4y + 22 )
=
11 + 9 · 12 + 4 · 22
9(x − 1)2 + 4(y + 2)2
=
36
=
1
2
9(x − 2x
2
) + 4(y + 4y
2
(x − 1)
(y + 2)
+
4
9
2
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Podemos obtener la gráfica de esta ecuación dibujando la de
unidad a la derecha y dos hacia abajo (figura 63).
y2
x2
+
= 1 y trasladándola una
4
9
Fig.63
(y + 2)2
(x − 1)2
+
= 1 representa una elipse de semiejes 2 y 3
4
9
centrada en el punto (1, −2). En definitiva la ecuación
Observación
Nótese que cuando a < b como ocurre en este caso los focos de la elipse están sobre el eje y es
decir la elipse está en posición vertical. Hipérbola
Es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es constante.
La recta que une los focos se llama eje transversal. El centro es el punto medio
del segmento cuyos extremos son los focos. La perpendicular por el centro se llama eje
conjugado. El eje transversal corta a la parábola en dos puntos que se llaman vértices, y
el eje conjugado no corta a la hipérbola. La hipérbola es simétrica con respecto a los dos
ejes (el transversal y el conjugado).
A partir de la definición se puede hallar la ecuación de una hipérbola de focos (−c, 0)
y (c, 0) y diferencia constante 2a (tanto c como a son positivos). Si (x, y) es un punto de
la curva, entonces
p
p
| (x + c)2 + (y − 0)2 − (x − c)2 + (y − 0)2 | = 2a
Un poco de cálculo conduce a
x2
y2
−
=1
a2
c2 − a2
y2
x2
Poniendo b2 = c2 − a2 se obtiene 2 − 2 = 1. que es la ecuación de la hipérbola en la
a
b
posición canónica. En este caso no hay restricciones para a y b pero debe cumplirse c > a
(figura 64).
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Fig.64
Ejemplo 7
x2
y2
−
= 1.
4
9
El centro de la hipérbola es (0, 0); a = 2 y b = 3. Como se ve en la figura 65 los vértices sobre el
eje x están en x = ±2. Tomando sobre el eje conjugado ±3 unidades se construye el rectángulo
que pasa por los vértices tal como se indica en la figura. Las rectas diagonales de ese rectángulo
son las ası́ntotas oblicuas de la hipérbola.
Dibujar la hipérbola
Fig.65
Veamos por ejemplo que la recta y = (3/2)x es una ası́ntota de la hipérbola dada. Escribamos
la ecuación de la hipérbola en la forma
y2 =
9 2
(x − 4)
4
lo cual es equivalente al par de ecuaciones
y=
3p 2
x −4
2
y
y=−
3p 2
x −4
2
Entonces, en el primer cuadrante, la distancia vertical entre la recta (3/2)x y la hipérbola viene
dada, como se ve en la figura 65, por
3
3p 2
x−
x − 4.
2
2
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Pero esta distancia tiende a cero cuando x → +∞ ya que
p
3
3p 2
3
lim
x−
x − 4 = lim
(x − x2 − 4) =
x→+∞ 2
x→+∞ 2
2
√
√
3 (x − x2 − 4)(x + x2 − 4)
2·3
√
√
lim
= lim
=0
x→+∞ 2
x→+∞ x +
x + x2 − 4
x2 − 4
El análisis en los demás cuadrantes es similar (figura 66). Fig.66
Ejemplo 8
Sea ahora la hipérbola 16x2 − 9y 2 − 128x − 18y + 103 = 0.
Completando los cuadrados se tiene
16x2 − 9y 2 − 128x − 18y + 103
2
16(x − 8x
2
) − 9(y + 2y
)
16(x2 − 8x + 42 ) − 9(y 2 + 2y + 12 )
16(x − 4)2 + 9(y + 1)2
2
(y + 1)
(x − 4)
−
9
16
=
0
= −103
= −103 + 16 · 42 − 9 · 12
=
144
=
1. 2
Propiedades de reflexión de las secciones cónicas
Las cónicas son las curvas más importantes que la geometrı́a proporciona a la fı́sica.
Las propiedades de reflexión de parábolas, elipses, e hipérbolas son de gran utilidad en
diversas aplicaciones, en particular en la ópticas. Si se construyen espejos con la forma de
una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elı́pticos,
parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.
Existe una ley fı́sica que dice que cuando un rayo de luz se refleja en un punto P de
una superficie, el ángulo entre el rayo incidente y la lı́nea tangente a P es igual al ángulo
entre el rayo saliente y la lı́nea tangente en P , en otras palabras, el ángulo de incidencia
es igual al ángulo de reflexión (ver figura 67).
Propiedad de reflexión de las parábolas
La lı́nea tangente en un punto P de una parábola forma ángulos iguales con la lı́nea
que pasando por P es paralela al eje de simetrı́a y la lı́nea que une P con el foco (figura
67 a).
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Fig.67
Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los
rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se
concentra en el foco (existe la leyenda de que Arquı́medes (287-212 A.C.) logró incendiar
las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos
parabólicos). También este principio se usa en ciertos telescopios para reflejar los rayos de
luz aproximadamente paralelos que provienen de estrellas y planetas muy lejanos al espejo
parabólico en un ocular en el foco; los reflectores parabólicos en los faros delanteros de los
automóviles utilizan este principio para formar un haz paralelo de rayos de luz a partir de
una bombilla colocada en el foco. Los mismos principios ópticos se aplican a las señales
de radar y a las ondas de sonido, lo cual explica la forma parabólica de muchas antenas.
Propiedad de reflexión de las elipses
Una lı́nea tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales con las lı́neas
que unen P con los focos. (figura 67 b)
Si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elı́ptico, entonces la luz reflejada
en el espejo se concentra en el otro foco (igualmente se utiliza la propiedad reflectante de
la elipse en la acústica con el objeto del diseño y construcción de “galerı́as de murmullos”:
si la forma de la cúpula de un auditorium o de una galerı́a es elı́ptica, entonces un susurro
o murmullo débil emitido en un foco solo es percibido en el otro foco, siendo el efecto más
impresionante cuanto más separados están los focos. Ası́ ocurre, por ejemplo, en el Salón
de las Estatuas del Capitolio de Washington D.C. o en la Alhambra de Granada)
Propiedad de reflexión de las hipérbolas
Una lı́nea tangente a la hipérbola en un punto P forma ángulos iguales con las lı́neas
que unen P con los focos.
En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja
como si viniera del otro foco. Si un barco (o un avión) lleva un transmisor que emite
una señal a intervalos regulares, dos observadores separados por una distancia conocida,
escuchan la señal en instantes determinados. La diferencia de tiempo multiplicada por la
velocidad de la señal da el valor 2a para una hipérbola en la que se encuentra el barco.
Un tercer puesto de observación permite determinar otras dos hipérbolas (un por cada
dos observadores), y el barco debe hallarse en la intersección de la tres hipérbolas (ya durante la segunda guerra mundial fueron desarrollados sistemas hiperbólicos de navegación
marı́tima) (figura 67 c).
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Ejercicios
1 Dibujar las curvas cuyas ecuaciones se dan a continuación:
1. 4x2 − 9y 2 − 8x + 54y − 41 = 0
2. 4x2 + y 2 + 8x − 2y + 4 = 0
3. 9x2 + 4y 2 − 8y = 32.
2 Hallar las ecuaciones canónicas de las siguientes curvas en función de los datos suministrados.
√
1. Elipse con vértices (0, 8) y (0, 2) y c = 5.
2. Elipse de centro el origen, con foco (−2, 0) y longitud del eje menor igual a 4.
√
√
3. Hipérbola de focos ( 2, 0) y (− 2, 0) y vértice (1, 0).
4. Cónica de eje mayor −4 ≤ x ≤ 4 y eje menor −3 ≤ y ≤ 3.
5. Cónica de focos (0, 6) y (0, −6) y eje transversal de longitud 12.
6. El conjunto de los puntos cuya diferencia de distancias a (4, −3) y (−4, −3) es 6.