Práctico 5: Teorema de Stokes (clásico) - Eva

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Cálculo III
Licenciatura en Matemática
Primer semestre 2016
Práctico 5: Teoremas de Stokes (clásico) y Gauss
1. Sea la silla de montar S := {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y 2 }. Chequear que las funciones
dadas a continuación son parametrizaciones de S, determinando qué región parametrizan:
a) ϕ(u, v) = (u + v, u − v, 4uv), (u, v) ∈ R2 .
b) ϕ(u, v) = (ucosh(v), usenh(v), u2 ), (u, v) ∈ R2 , u 6= 0.
2. Sea S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z 2 = 1}. Probar que S es una superficie (se llama
hiperboloide de revolución de una hoja). Sea φ : (−π, π) × R → R3 definida por
φ(s, t) = (cos s − t sin s, sin s + t cos s, t)
Determinar si φ es una parametrización y en caso de que lo sea determinar qué parte de
S cubre φ. Extendemos φ a R × R. Mostrar que fijado s0 , la imagen de {s0 } × R es una
recta y concluir que S es una superficie reglada, i.e, una unión de rectas.
3. Una superficie de revolución es la que se obtiene rotando una curva plana C alrededor de
un eje contenido en el plano de la curva y tal que el eje no intersecta la curva.
a) Sea S una superficie de revolución obtenida a partir de una curva regular contenida
en el semiplano xz, z > 0 y con eje de rotación el eje z. Obtener parametrizaciones
de S, partiendo de las parametrizaciones de C.
b) Obtener parametrizaciones de la esfera S 2 := {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1} como
superficie de revolución.
c) El toro es la superficie de revolución obtenida al girar la circunferencia de ecuación
(x − a)2 + z 2 = r2 ,
0<r<a
contenida en el plano xz alrededor del eje z. Obtener las parametrizaciones del toro
como en a). Observar que para diferentes valores de a y r las superficies obtenidas
son difeomorfas.
4. Hallar el área de la superficie parametrizada por
ϕ(u, v) = (2u sin v, 2u cos v, e−u + eu )
donde 0 < v < π/2, 0 < u < 1.
5. Se considera el toro T con la parametrización X : U → T definida por
X(u, v) = ((a + r cos v) cos u, (a + r cos v) sin u, r sin v)
siendo U = {(u, v) : 0 < u < 2π, 0 < v < 2π}. Sea : 0 < < 2π y R = X(Q ), siendo
Q = {(u, v) ∈ R2 : ≤ u ≤ 2π − , ≤ v ≤ 2π − }. Calcular el área del toro T como
lı́m→0 A(R ).
R
6. Calcular la integral S f dA de la función f (x, y, z) = 2y(x2 + 1)−1 (1 + 4z)−1/2 sobre la
superficie S = {z = x2 + y 2 , |y| < 1}.
1
7. Sea la función escalar φ(x, y, z) = log(x2 + y 2 ) definida en el abierto Ω = {(x, y, z) :
x2 + y 2 6= 0}. Calcular la integral de φ sobre el cilindro de radio 1 y altura 1 de eje z y
que está apoyado en el plano xy.
8. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente que deben cumplir a, b y c para que el flujo del
campo X(x, y, z) = (ax2 , by 2 , cz 2 ) a través de la esfera unidad centrada en el origen sea
nulo?
9. Calcular el flujo del rotor del campo vectorial X(x, y, z) = (z − x, x − z, y − x) a través de
la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 16, z ≥ 0 con la normal orientada tal que forma un ángulo
agudo con el eje Oz.
10. Sea S una superficie orientable compacta con borde, y sea C el borde de S con la orientación
inducida. Sea (a, b, c) ∈ R3 fijo. Definimos F, G ∈ χ(R3 ) mediante FR(x, y, z) R= (a, b, c) ×
(x, y, z) y G(x, y, z) = (a, b, c) para todo (x, y, z) en R3 . Probar que C F = 2 S G.
11. Usando el teorema de Gauss, mostrar que el volumen de una región V cuyo borde es una
superficie compacta (y orientada con la normal saliente) es igual a un tercio del flujo de
X(x, y, z) = (x, y, z) a través de S.
12. Calcular el volumen encerrado por un elipsoide de longitudes a, b y c.
13. Hallar el flujo del campo vectorial X(x, y, z) = (x + y, y 2 , y + z) sobre el borde del cubo
de centro el origen y arista a, orientado con la normal apuntando hacia afuera.
14. Calcular la circulación de X(x, y, z) = (−y 3 , x3 , −z 3 ) a lo largo de la curva C siendo C
la intersección del cilindro x2 + y 2 = 1 y el plano x + y + z = 1, orientado en el sentido
contrario de las agujas del reloj (visto “desde arriba“).
15. Sea X(x, y, z) = (x2 , 2xy+x, z). Sea C la circunferencia x2 +y 2 = 1 y S el disco x2 +y 2 ≤ 1,
ambos contenidos en el plano z = 0.
a) Determinar el flujo de X hacia el exterior de S (normal hacia arriba).
b) Determinar la circulación de X a lo largo de C.
c) Hallar el flujo de rotX. Verificar directamente el teorema de Stokes en este caso.
16. Para los siguientes campos, probar que su divergencia es 0 y hallar un potencial vector en
cada caso, es decir, un campo Y con rotacional X (Sugerencia: buscar potenciales planos,
i.e, de la forma Y = (P, Q, 0)).
a) X(x, y, z) = (xz, −yz, y).
b) X(x, y, z) = (xey , −x cos z, −zey ).
c) X(x, y, z) = (x cos y, − sin y, sin x).
17. Sea X =
−GM m
(x, y, z)
r3
el campo gravitatorio definido en R3 \ {(0, 0, 0)}.
a) Demostrar que divX = 0.
b) Demostrar que X no tiene un potencial vector de clase C 1 en R3 \ {(0, 0, 0)}.
c) Intentar interpretar lo anterior en términos de la topologı́a de R3 \ {(0, 0, 0)}.
2