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Molinos de viento no-derogatorios
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Notas de Matemática, No. 245
Mérida, 2006
Molinos de viento no-derogatorios
Juan Rada
Abstract
Un grafo dirigido G es no-derogatorio si su matriz de adyacencia A es no-derogatoria, i.e.,
el polinomio característico de A es igual al polinomio minimal de A. Dados enteros r ≥ 2 y
h ≥ 3, un molino de viento dirigido Mh (r) es un grafo dirigido obtenido por coalescencia de
r dicciclos de longitud h en un vértice. En este artículo resolvemos una conjetura propuesta
por Gan y Koo ([2]): Mh (r) es no-derogatorio si, y sólo si, r = 2.
Palabras claves: Matriz no-derogatoria; Polinomio característico de un digrafo; Molinos
de viento dirigidos.
1
Introducción
Un digrafo (grafo dirigido) G = (V, E) se define como un conjunto finito V y un conjunto E de
pares ordenados de elementos de V . Los conjuntos V y E son llamados conjuntos de vértices y
arcos, respectivamente. Si (u, v) ∈ E entonces u y v son adyacentes y (u, v) es un arco con inicio
en el vértice u y final en el vértice v.
Sea Mn (C) el espacio de matrices cuadradas de orden n con elementos en C. Supongamos
que {u1 , . . . , un } es el conjunto de vértices de G. La matriz de adyacencia de G es la matriz
A ∈ Mn (C) cuyo elemento aij es el número de arcos que inician en ui y finalizan en uj . El
polinomio característico de G lo denotamos por ΦG (x) (o simplemente ΦG ) y se define como el
polinomio característico de la matriz de adyacencia A de G, i.e., ΦG (x) = |xI − AG |, donde I es
la matriz de identidad.
El polinomio mónico de menor grado que anula A se llama el polinomio minimal de G y lo
denotamos por mG (x) = mG ; divide todo polinomio f ∈ C [x] tal que f (A) = 0. En particular,
por el Teorema de Cayley-Hamilton, mG (x) divide a ΦG (x). Más aun, ΦG (x) y mG (x) tienen
las mismas raíces.
Un digrafo G es no-derogatorio si su matriz de adyacencia A es no-derogatoria, i.e. si
ΦG (x) = mG (x). En caso contrario, G es derogatorio. Por ejemplo, los camino dirigidos Pn ,
los ciclos dirigidos Cn , los abanicos dirigidos Fn y las ruedas dirigidas Wn son clases de digrafos
no-derogatorios. Estas clases de digrafos han sido estudiados por Lam y Lim ([3] y [4]). Más
recientemente, ([2]), Gan y Koo consideraron el problema de determinar cuando los molinos de
viento son no-derogatorios.
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Sean h, k enteros tales que h ≥ 3 y r ≥ 2. Un molino de viento dirigido Mh (r) es un grafo
dirigido con r (h − 1) + 1 vértices obtenido a partir de la coalescencia de r ciclos dirigidos de
longitud h en un vértice (ver Figura 1)
h-1
Ch
3
h
h+2
2
r(h-1)+1
h+1
r(h-1)
1
2h-2
2h-1
2h
2h+1
3h
r copias
3h-1
El molino de viento dirigido
Mh (r) : r copias del diciclo Ch
Figura 1
Gan y Koo demostraron que M3 (r) es no-derogatorio si, y sólo si r = 2. Más aun, conjeturaron
que para todo h ≥ 3
Mh (r) es no-derogatorio ⇔ r = 2
En este artículo demostramos que la conjetura es verdadera.
2
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Recordamos que un grafo dirigido lineal es un digrafo en el que cada vértice tiene grado de entrada
y grado de salida igual a 1 (i.e. está formado por ciclos). El Teorema de los Coeficientes para
Digrafos ([1, Theorem 1.2]) relaciona los coeficientes del polinomio característico con la estructura
del digrafo.
Teorema 2.1 Sea
ΦG (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an
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el polinomio característico del digrafo G. Entonces para cada i = 1, . . . , n
X
ai =
(−1)p(L)
L∈Li
donde Li es el conjunto de subdigrafos lineales L de G con exactamente i vértices; p (L) denota
el número de componentes de L.
Lema 2.2 El polinomio característico de Mh (r) es
h
i
ΦMh (r) = xr(h−1)+1 − rxr(h−1)+1−h = xr(h−1)+1−h xh − r
Prueba. Esto es una consecuencia inmediata del Teorema 2.1.
Sea G un grafo dirigido y A = (aij ) su matriz de adyacencia. Por un camino de longitud k
en G entendemos uan sucesión de vértices v0 v1 · · · vk en el que cada (vi−1 , vi ) es un arco de G.
(k)
Es bien sabido que el número de camino de longitud k entre los vértices vi y vj de G es aij , el
elemento ij de la matriz potencia Ak ([1, Theorem 1.9]).
Teorema 2.3 Mh (r) es no-derogatorio si, y sólo si r = 2.
Prueba. El polinomio característico de Mh (2) es
ΦMh (2) = xh−1 xh − 2
Sea f (x) = xh−2 xh − 2 y A = (aij ) la matriz de adyacencia de Mh (2). A partir de la estructura
(2h−2)
(1)
de Mh (2) se puede ver fácilmente que ah+1,h = 1 y ah+1,h = 0. En consecuencia, f (A) 6= 0 lo
que implica que ΦMh (2) = mMh (2) y Mh (2) es no-derogatorio.
Probamos a continuación que si r ≥ 3 entonces Mh (r) es derogatorio. Para i = 1, . . . , h − 1,
denotamos por ei el vector fila canónico de Ch−1 y fi el vector columna canónico de Ch−1 .
Etiquetando los vértices de Mh (r) como se muestra en la Figura 1, la matriz de adyacencia A de
Mh (r) tiene la forma

0
 fh−1


A =  ...

 fh−1
fh−1
e1
X
e1
0
..
.
···
···
0
0
···
0
X
···
e1
0
..
.






0 
X
donde 0 ∈Mh−1 (C) es la matriz cero y X = (xij ) ∈ Mh−1 (C) es la matriz definida como
xi,i+1 = 1 para i = 1, . . . , h − 2, y el resto de los elementos de X son cero. Pongamos Y1 = X ,
Z1 = 0 y para j = 2, . . . , h − 1 definimos recursivamente
Yj = fh+1−j e1 + Yj−1 X
(1)
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y
(2)
Zj = fh+1−j e1 + Zj−1 X
Probamos ahora que para todo j = 1, . . . , h − 1

0
ej
 fh−j Yj


Aj =  ...

 fh−j Zj
fh−j Zj
ej
Zj
..
.
···
···
···
Zj
Yj
···
ej
Zj
..
.






Zj 
Yj
(3)
De hecho, esto es claro para j = 1. Supongamos que (3) se verifica para 1 ≤ i ≤ h − 2. Notamos
que
ei fh−1 = 0 y ei X = ei+1 ,
(4)
Por otra parte, como Xfj = fj−1 para todo j = 2, . . . , h − 1 entonces
Yi fh−1 = fh+1−i e1 fh−1 + Yi−1 Xfh−1 = Yi−1 fh−2
y después de i pasos deducimos
Yi fh−1 = Yi−1 fh−2 = Yi−2 fh−3 = · · · = Y1 fh−i
Pero recordamos que Y1 = X y por lo tanto
(5)
Yi fh−1 = fh−(i+1)
Similarmente,
Zi fh−1 = Zi−1 fh−2 = · · · = Z1 fh−i
Como Z1 = 0 esto implica que
Zi fh−1 = 0
(6)
fh−i e1 + Yi X = fh+1−(i+1) e1 + Y(i+1)−1 X = Yi+1
(7)
fh−i e1 + Zi X = Zi+1
(8)
También sabemos que
y
En consecuencia, se sigue de las ecuaciones (4)-(8) que

0
ei+1 ei+1 · · · ei+1
 fh−(i+1) Yi+1 Zi+1 · · · Zi+1


..
..
..
Ai+1 = Ai A = 
.
.
.

 fh−(i+1) Zi+1 · · · Yi+1 Zi+1
fh−(i+1) Zi+1 Zi+1 · · · Yi+1







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Luego (3) se verifica para todo j = 1, . . . , h − 1.
Por otra parte,
eh−1 fh−1 = 1, eh−1 X = 0,
Yh−1 fh−1 = 0 = Zh−1 fh−1 ,
y usando repetidas veces 1 y el hecho de que X h = 0,
f1 e1 + Yh−1 X = f1 e1 + (f2 e1 + Yh−2 X) X
= f1 e1 + f2 e2 + Yh−2 X 2 = · · ·
h−2
X
=
h−2
X
fk ek + Y2 X h−2 =
=
h−2
X
fk ek + fh−1 e1 X h−2 + X h =
fk ek + (fh−1 e1 + Y1 X) X h−2
k=1
k=1
k=1
h−1
X
fk ek = I
k=1
Similarmente, usando (2) se puede probar que f1 e1 + Zh−1 X = I. Se sigue de estas relaciones
y (3) que



Ah = Ah−1 A = 

r 0 ···
0 I ···
.. ..
. .
0 I ···
0
I
..
.
I





(9)
donde los 0′ s en la primera fila son los vectores cero en Ch−1 , los 0′ s en la primera columna son
los vectores columna cero de Ch−1 y I ∈ Mh−1 (C) es la identidad.
La relación (9) implica que para todo entero k ≥ 2
 k

r
0
···
0
 0 rk−1 I · · · rk−1 I 


Akh =  .
 = rA(k−1)h
..
..
 ..

.
.
k−1
k−1
0 r I ··· r I
(10)
Consideramos ahora el polinomio g ∈ C [x] definido como
g (x) = xrh−r−h xh − r
Probamos a continuación que g (A) = 0. Para ver esto, notamos que como r ≥ 3 y h ≥ 3, por el
algoritmo de la división, existen enteros q ≥ 2 y 0 ≤ s ≤ h − 1 tales que
rh − r = qh + s
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De la relación (10) deducimos que
Arh−r = Aqh+s = rA(q−1)h+s = rAqh+s−h = rArh−r−h
lo que implica que g (A) = 0 y, por lo tanto, Mh (r) es derogatorio.
Agradecimientos
Este trabajo fue financiado por CDCHT-ULA, Proyecto No. C-13490505B.
References
[1] D.M. Cvetković, M. Doob y H. Sachs, Spectra of graphs. Academic Press, New York 1980.
[2] C.S. Gan y V.C. Koo, On annihilating uniqueness of directed windmills, Proceedings of the
ATCM (ATCM 2002), Melaka, Malaysia.
[3] K.S. Lam, On digraphs with unique annihilating polynomial, Ph.D. Thesis, University of
Malaya, Kuala Lumpur, 1990.
[4] K.S. Lam y C.K. Lim, The characteristic polynomial of ladder digraph and an annihilating
uniqueness theorem, Discrete Mathematics 151, (1996) 161-167.
JUAN RADA
Departamento de Matemáticas,Facultad de Ciencias,
Universidad de Los Andes
Mérida 5101, Venezuela
e-mail: [email protected]