ejercicio reto - Portal de Matematica

ENCUENTRO # 8
TEMA:Radicales. Propiedades.
CONTENIDOS:
1. Propiedades de las potencias de exponente racional.
2. Radicales. Propiedades.
3. Simplificación de radicales.
4. Operaciones con radicales.
DESARROLLO
EJERCICIO RETO
1. ¿En cuál de las siguiente operaciones es incorrecto el resultado de la operación?
0
0
0
A) 3 +330 +3 = 3
0
0
0
B) 3 +33 +3 = 30
0
0
C) 3 3+3
= 30
0
D) 3+3+3
= 32
30
E) 303+3+3
= 2 · 30
+30 +30
1,8×102015
2. Al calcular la expresión 2×82014×( 5 )2014 el resultado es:
4
A) 1
B)9 × 102014
C) 3,6 × 102015
D) 9
A)9 × 102015
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL
Sea {a; b ∈ R/a > 0 ∧ b > 0} y {m, n, p, q ∈ Z/n > 1 ∧ q > 1}, entonces se cumple que:
m
p
m
m
m
p
m
p
m
m
p
m
m
1
m
an
p
5. (a n ) q = a n × q
p
3. a n ÷ a q = a n − q
Portal de Matemática
m
4. a n ÷ b n = (a ÷ b) n
2. a n × b n = (a × b) n
m
m
m
1. a n × a q = a n + q
6. (a)− n =
1
sv.portaldematematica.com
EJERCICIOS PROPUESTOS
Aplica las propiedades de las potencias y simplifica en los casos posibles:
1
1
1
5. (x5 )− 2
1. a 3 × a 2
1
4
2
3 4
2. a− 4 × a 6 × a 3
2
1
6. [a 2 ] 9
1
3
7. [2a4 b6 ] 2
3. x 3 × y 6 × x 2
1
1
4. (x6 ) 2
1
8. a− 2 × b− 2
Radicación
Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica
el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de
radicando. Para lo anterior se define:
√
n
m
am = a n , donde a es el radicando(cantidad subradical),
m exponente del radicando y n índice de la raíz.
Ejemplo:
2
1. Expresa las siguiente potencias como radicales x 3 .
Solución
La base de la potencia x es la cantidad subradical su exponente es 2 y el índice
de la raíz es 3.
2
x3 =
√
3
a2
4
2. Convierte a radical la siguiente expresión 3 5
Solución
La base de la potencia 3 es la cantidad subradical su exponente es 4 y el índice
de la raíz es 5.
√
5
4
35 =
34 =
√
5
81
√
7
3. Expresa el siguiente radical
23 como una potencia.
Solución
La cantidad subradical es la base de la potencia y su exponente es la división del
exponente de la cantidad subradical con el índice de la raíz o sea 37 .
√
7
Portal de Matemática
3
23 = 2 7
2
sv.portaldematematica.com
EJERCICIOS PROPUESTOS
Convierte de potencia a radical o viceversa según el caso.
1.
√
4
27
5.
4
√
6
64
1
2. 7 3
6. 100 2
√
3
7. 8x6
1
3. 81 5
√
4. 12
1
8. (25y 4) 4
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
√
√
√
n
a× nb= na×b
√
√
√
n
a÷ nb= na÷b
√
√
(qn a)m = n am
Simplificación
√
1
√
1
1
n
m
n×m
(a n ) m = a n×m
⇒
a=
a
√
√
m
km
kn
n
⇒
akm = am
a kn = a n
Procedimiento que consiste en expresar un radical en su forma más simple. Para simplificar un radical, el exponente de la base debe ser mayor que el índice del radical.
Ejemplo:
√
1. Simplifica 8
Solución
Se descompone el radicando en factores primos.
1
1
1
a n × b n = (a × b) n
1
1
1
a n ÷ b n = (a ÷ b) n
1
m
(a n )m = a n
⇒
⇒
⇒
√
8=
√
23
23 se expresa como 22 · 2y se aplica la propiedad correpondiente de los radicales.
√
8=
√
23 =
√
22 · 2 =
√
22 ·
√
√
2=2 2
√
√
Por consiguiente, la simplificación de 8 es 2 2
√
2. Simplifica 45
Solución
Se descompone el radicando en factores primos y se procede a aplicar los propiedades.
√
Por tanto,
Portal de Matemática
√
√
45 = 3 5
45 =
√
32 · 5 =
3
√
32 ·
√
√
5=3 5
sv.portaldematematica.com
√
3. Simplifica 3 72
Solución
Se descompone la base en factores primos y se simplifica la expresión.
√
3
72 =
√
3
23 · 32 =
√
3
23 ·
√
3
√
32 = 2 3 9
√
4. Simplifica 21 5 96
Solución
Se simplifica el radical y el resultado se multiplica por la fracción para obtener el
resultado de la operación.
1
2
√
5
96 =
1
2
√
5
25 · 3 =
1
2
√
5
25 ·
√
5
3=
1
2
·2·
√
5
3=
√
5
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
Simplifica las siguientes expresiones:
1.
√
2.
√
20
72
√
3. 3 16
√
4. 3 135
5.
√
3
6.
√
7.
√
250
9.
2
7
162
10.
1
3
12.
1
3
√
3
648
√
540
√
11. 25 4 1250
180
√
8. 2 4 405
q√
3600
Suma y resta
Estas operaciones se pueden efectuar si y sólo si el índice del radical y el radicando son
iguales (radicales semejantes).
√
√
√
√
a n d + b n d − c n d = (a + b − c) n d
Ejemplos:
√
√
1. Efectúa 2 3 5 + 11 3 5.
Solución
Los radicales son semejantes, por tanto se realizan las operaciones con los números
que les anteceden (coefi cientes del radical).
√
√
√
√
2 3 5 + 11 3 5 = (2 + 11) 3 5 = 13 3 5
Portal de Matemática
4
sv.portaldematematica.com
√
√
√
2. ¿Cuál es el resultado de la operación 2 2 + 7 2 − 4 2.
Solución
Al ser semejantes los radicales, se efectúan las operaciones con los coeficientes.
√
√
√
√
√
2 2 + 7 2 − 4 2 = (3 + 7 − 4) 2 = 6 2
√
√
3. Efectúa 43 6 − 16 6.
Solución
Se realizan las operaciones con las fracciones y se obtiene el resultado.
3
4
√
6−
1
6
√
√
6 = ( 34 − 16 ) 6 =
7
12
√
6
NOTA: Si los radicandos son diferentes, no se pueden sumar o restar los radicales
de primera instancia, entonces se simplifican; si resultan semejantes se efectúan las
operaciones, de lo contrario, se dejan indicadas.
Ejemplos:
√
√
√
1. ¿Cuál es el resultado de 20 + 45 − 80.
Solución
Se simplifican los radicales y se realiza la operación.
√
√
√
√
√
20 + 45 − 80 = 22 · 5 + 32 · 5 − 24 · 5
√
√
√
√
√
= 2 5 + 3 5 − 22 5 = (2 + 3 − 4) 5 = 5
√
√
√
2. Efectúa 3 189 + 3 56.
Solución
Se simplifi can los radicales, se realizan las operaciones y se obtiene el resultado
final.
√
3
189 +
√
3
56 =
√
3
33 · 7 +
√
3
√
√
√
23 · 7 = 3 3 7 + 2 3 7 = 5 3 7
EJERCICIOS PROPUESTOS
Realiza las siguientes operaciones.
√
√
1. 5 2 + 7 2
2.
√
√
√
3+2 3+4 3
√
√
3. 3 5 + 14 5
Portal de Matemática
5
√
3
4.
1
3
5.
5
3
6.
√
√
4
9+
1
2
7−
1
2
8+
√
√
3
9+
√
4
1
6
√
3
9
7
18
sv.portaldematematica.com
7.
8.
9.
10.
11.
12.
√
√
12 − 3
√
√
2 5 + 80
√
√
√
4 32 − 7 8 − 3 18
√
√
√
27 + 48 − 45
√
√
√
√
3 12 − 2 5 − 7 3 + 125
√
√
√
√
200 + 50 − 98 − 338
√
13.
1
4
14.
3
4
15.
√
3
√
192 −
2
5
176 −
2
3
√
3
24 −
√
75 +
1
7
√
45 +
1
8
81 −
√
3
√
147
√
320 +
250 +
√
3
1
5
√
275
192
√
√
√
16. 3 3 16 − 2 3 54 + 15 3 375
17.
2
5
√
3
250 +
3
4
√
3
128 −
1
3
√
3
54
Multiplicación
Multiplicación de radicales con índices iguales. Cuando los índices de los radicales
son iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica el resultado.
√ √
√
√
n
a· nb· nc= na·b·c
Ejemplos:
√ √
1. Efectúa 3 · 5
Solución
Se multiplican ambos factores:
√
3·
√
5=
q
(3)(3) =
√
15
√ √ √
2. ¿Cuál es el resultado del producto 6 · 3 · 2?
Solución
Se realiza el producto y se simplifica el resultado.
√
6·
√
3·
√
2=
q
(6)(3)(2) =
√
36 = 6
√
√
3. Realiza (2 3 4)(3 3 10).
Solución
Se multiplica y simplifica el resultado.
q
√
√
√
√
√ √
√
√
63
3
(2 3 4)(3 3 10) = 6 3 4 · 3 10 = 6 3 (4)(10) = 6 3 40 = 6 23 · 5 = 6 263 · 3 5
√
√
= 6 · 2 · 3 5 = 12 3 5
Multiplicación de radicales con índices diferentes. Para multiplicar radicales con
índices diferentes se busca un índice común, que resulta del mínimo común múltiplo de
los índices de los radicales y recibe el nombre de“mínimocomún índice”.
Ejemplos:
Portal de Matemática
6
sv.portaldematematica.com
√ √
1. ¿Cuál es le resultado de 3 2 · 5.
Solución
El mínimo común índice es 6, entonces los índices de los radicales se convierten a
dicho índice.
√
3
2=
√
6
q
(2)2 =
3×2
22 además
√
q
5=
2×3
(5)3 =
√
6
53
Se efectúa el producto y se observa que no se puede simplificar el radical, por
consiguiente se desarrollan las potencias y se realiza la multiplicación.
√
3
2·
√
5=
√
6
22 ·
√
6
53 =
√
6
√
6
22 · 53 =
4 · 125 =
√
6
500
√ √
2. Efectúa 2 · 4 8.
Solución
Se descompone 8 en factores primos y el mínimo común índice es 4, por lo tanto,
al transformar los radicales seobtiene:
q
2×2
(2)2 =
√
4
2y
√
4
8=
√
4
23
Se efectúa la multiplicación y se simplifica el resultado.
√
2·
√
4
8=
√
4
2·
√
4
23 =
√
4
22 · 23 =
√
4
25 =
√
4
24 · 2 =
√
64
264 ·
√
4
√
2=242
EJERCICIOS PROPUESTOS
Realiza las siguientes Multiplicaciones.
√ √
1. 8 · 2
√ √
2. 3 5 · 3 25
√ √
3. 7 · 3
√
√ √
4. 15 · 5 · 27
√
√ √
5. (2 2)(5 6)( 12)
√
√
6. 3 15 · 3 9
√ √
7. 3 · 3 2
8.
√
5
9.
√
10.
√
3
96 ·
2·
√
3
√
3
54 ·
3
2·
√
√
4
2·
2
√
4
4
√
√
11. (3 3 4)(2 4 5)
√
√
12. ( 33 6)( 26 6 12)
√
√
13. ( 21 6 6)( 14 3 2)
División
División de radicales con índices iguales. Se realiza de forma análoga a la multiplicación de radicales con índices semenjantes.
Portal de Matemática
7
sv.portaldematematica.com
Ejemplos:
√
1. Realiza √10
2
Solución
Los radicales son de igual índice, entonces se dividen los radicandos.
√
√10
2
q
=
10
2ffl
=
√
5
√
28
2. ¿Cuál es el resultado de 6√63
.
Solución
Se simplifi can los radicales y se realiza la operación.
√
6√ 28
63
=
√
6√ 22 ·7
32 ·7
=
√ √
6√ 22√ 7
32 7
=
6·2
3
=4
División de radicales con índices diferentes. Se transforman los radicales a un
índice común y después se realiza la división.
Ejemplo:
√
4
8
1. Halla el cociente de √
3 .
4
Solución
Se transforman los índices de los radicales a 12 y se realiza la operación.
√
4
8
√
3
4
√ 33
(2 )
√
= 3×4
=
4
4×3
(22)
√
12
9
√2
12
8
2
=
q
12
29
28
=
√
12
2
√
√ √
2. ¿Cuál es el resultado de f rac6 12 + 2 3 62 3?
Solución
Se divide cada término del numerador entre el denominador y se obtiene:
√
√
3
6 12+2
6
√
2 3
=
√ 2
q
√
3×2
3
(2·3)
2√
6
12
+ 2 3 = 3 3 + 2×3√33
q
q
2 2
3(2) + 6 2 3·33 = 6 + 6 22 · 13 =
√
6 √12
2 3
=
√
=3 4+
q
66
√
6
22·32
√
6 3
3
4
3
Para introducir una cantidad a un radical, se debe elevar la cantidad a un exponente igual al índice del radical.
Portal de Matemática
8
sv.portaldematematica.com
Ejemplo:
√
1. Realiza 248 .
Solución
√
El divisor se expresa como 2 = 22 y se realiza la operación para obtener el
resultado.
√
48
2
=
√
√48
22
=
q
48
22
=
q
48
4
√
=
12 =
√
22 · 3 =
√
22 ·
√
√
3=2 3
2. Introduce el factor en el radical.
√
5
a · b3 c2
Solución
√
5
Se expresa a como a = a5 y luego se multiplican los radicales
a·
√
5
√
5
b3 c2 =
a5 ·
√
5
b3 c2 =
√
5
a5 b3 c2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Realiza las siguientes operaciones:
1.
2.
3.
4.
√
√72
2
√
√10
5
√
5 √120
6 40
√
3
48
√
3
3
5.
6.
7.
8.
√
5
16
√
3
4
√
6
√
3
2
√
7
√6
14
3
√
√
200−
√ 50
2
9.
10.
11.
√
3
√
6
3−
√ 6
2
√
√
3
2+
2
√
4
2
√
√
√
2+ 3√4− 5 16
8
Racionalización
Racionalizar es representar una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el
numerador, cuyo numerador o denominador sea un número racional respectivamente.
c
Racionalización del denominador. Dada la expresión de la forma √
n m , se racionaa
liza de la siguiente manera:
c
√
n m
a
=
c
√
n m
a
·
√
n n−m
a
√
n n−m
a
=
√
n
c· an−m
√
n m+n−m
a
=
√
n
c· √an−m
n n
a
=
c·
√
n
an−m
a
Ejemplos:
1. Transforma
dor.
Solución
La fracción
numerador.
Portal de Matemática
√1
3
√1
3
en otra expresión equivalente que carezca de raíz en el denomina-
se multiplica por
√
32−1 =
9
√
3 tanto el denominador como el
sv.portaldematematica.com
√1
3
√1
3
=
·
√
√3
3
=
√
√3
32
=
√
3
3
q
2. Racionaliza la expresión 25
Solución
√
√
Se debe separar la expresión en raíces y se multiplican por 52−1 = 5 tanto el
numerador como denominador, para obtener el resultado:
q
2
5
=
√
√2
5
√
√2
5
=
·
√
√5
5
=
√10
52
=
10
5
Racionalización de un denominador binomio. Para racionalizar una fracción cuyo
denominador es un binomio (a±b) y alguno o ambos elementos tienen una raíz cuadrada,
se multiplica por el conjugado del binomio (a ∓ b).
c
a±b
=
c
a±b
·
a∓b
a∓b
=
c(a∓b)
a2 −b2
Ejemplo:
1. Racionaliza la expresión 1+3√2 .
Solución
√
Se multiplica el numerador y el denominador de la expresión por 1 − 2, que es
√
el conjungado del denominador 1 + 2.
3√
1+ 2
=
3√
1+ 2
·
√
1−√2
1− 2
=
√
3(1−√ 2)
2
1 −( 2)2
=
√
3−3 2
1−2
=
√
3−3 2
−1
√
=3 2−3
2. Racionaliza la expresión √5−7 √3 .
Solución
Se multiplica por el conjugado del denominador y se simplifica para obtener el
resultado.
√ 7√
5− 3
√
=
√ 7√
5− 3
·
√ √
√5+√3
5+ 3
=
√ √
7( 5+ √3)
√
( 5)2 −( 3)2
=
√
√
7 5+7 3
(5−3
=
√
√
7 5+7 3
2
√
√ 2.
3. Racionaliza 32√3−2
3− 2
Solución
√
√
Se multiplica al numerador y denominador por 2 3 + 2 y se efectúa la simplificación.
√
√
3 √3−2√ 2
2 3− 2
Portal de Matemática
=
√
√
3 √3−2√ 2
2 3− 2
·
√ √
2√3+√2
2 3+ 2
=
√
√ 2
√
√
6( 3)2 +3
√ 6−4 √6−2( 2)
(2 3)2 −( 2)2
10
=
√
18− 6−4
12−2
=
√
14− 6
10
sv.portaldematematica.com
EJERCICIOS PROPUESTOS
Racionaliza los siguientes denominadores:
1.
√2
5
6.
2.
√3
3
7.
3.
5
√
3
3
8.
√
√2
3
√
√3
20
√
√
20−
√ 30
5
4.
2
√
4
8
9.
8√
3+ 7
5.
12
√
6
10.
√4
6−2
Portal de Matemática
11
11.
√
2+√3
1− 3
12.
√
13.
√1 √
1+ 2− 3
14.
√2 √
1+ 3+ 5
√
5√
2− 5
sv.portaldematematica.com