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Departamento de Ingeniería Eléctrica
Area Electrotecnia
Universidad Nacional
de Mar del Plata
Análisis armónico de magnitudes
NO senoidales
Autor:
Ingeniero Gustavo L. Ferro – Profesor Adjunto – Electrotecnia
EDICION 2016
Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) - Depto. de Ingeniería Eléctrica - Area Electrotecnia
Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
Indice
1
Introducción
2
El resistor no lineal
3
El inductor no lineal
4
Origen de las corrientes no senoidales
5
Ondas no senoidales
6
Teorema de Fourier
7
Determinación de las componentes de una poliarmónica
8
Simetrías
9
Aplicaciones de las condiciones de simetría
10
Métodos gráficos de análisis armónico
11
Valor eficaz de una magnitud poliarmónica
12
Potencia activa asociada a ondas poliarmónicas
13
Potencia reactiva asociada a ondas poliarmónicas
14
Potencia compleja y potencia aparente. Potencia de deformación
15
Factor de potencia para ondas Poliarmónicas
16
Poliarmónicas en sistemas trifásicos
17
Efectos e inconvenientes de las armónicas
18
Ejemplo de aplicación
1
Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) - Depto. de Ingeniería Eléctrica - Area Electrotecnia
Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
1. INTRODUCCION
La teoría de circuitos que ha sido desarrollada hasta aquí ha estado basada en
variaciones de ondas senoidales de tensiones y corrientes y en los cálculos sólo se
han tomado en cuenta ondas senoidales.
Los fundamentos y métodos de resolución de circuitos han estado basados en la
linealidad del comportamiento de los componentes. Dicha condición de linealidad se
cumple cuando la resistencia, la inductancia y la capacidad son constantes.
En la figura Nº 1, se resumen las ecuaciones fundamentales que relacionan tensiones
y corrientes con los parámetros lineales y las curvas representativas de dichas
ecuaciones. En los tres casos se ha adoptado como positivo al sentido que posee la
corriente cuando penetra por la terminal 1, y como positiva la caída del potencial
desde la terminal 1 hacia la terminal 2.
De hecho, por supuesto, una gran cantidad de los elementos en circuitos eléctricos
prácticos no son lineales. Esto es, la tensión instantánea no es proporcional a la
corriente, o a su integral o derivada. Expresado de otra manera, la resistencia o la
inductancia, o la capacidad de un elemento, no es constante pero es una función de la
corriente en el mismo.
Podemos definir entonces un componente NO LINEAL a aquel en el cual la caída
instantánea de tensión no está en relación lineal con el valor instantáneo de la
corriente (resistor no lineal), o con su derivada (inductor no lineal) o con el de su
integral (capacitor no lineal).
En la práctica existen importantes componentes no lineales: los semiconductores y
los inductores con núcleo de materiales magnéticos. Por otra parte los
generadores de corriente alterna (alternadores) no suelen generar tensiones
puramente senoidales, sobre todo en condiciones de carga, cuando las
distribuciones de inducción son fuertemente deformadas por saturación magnética y
por la reacción de armadura. La condición de no linealidad resulta frecuentemente
muy valiosa para obtener determinadas características de funcionamiento (circuitos
rectificadores, termistores, etc.).
2
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
2. RESISTOR NO LINEAL
Está claro, que si una onda senoidal de
tensión se aplica a una resistencia no
lineal,
la corriente,
no siendo
proporcional a la tensión no será
senoidal. En la figura Nº 2, se muestra
una curva característica para una
resistencia no lineal; corresponde a un
elemento de pararrayos (descargador
de
sobretensiones)
de
material
semiconductor cristalino, que conduce
poca corriente a baja o moderada
tensión, pero una gran cantidad de
corriente para alta tensión presente.
La curva característica que relaciona
"v" a "i" no es una línea recta como lo
es para un elemento de resistencia
constante, sino una curva.
De la observación de la curva de la "i"
se desprende que la onda de corriente
es una onda con picos muy agudos. El análisis
gráfico muestra su forma pero no nos da una
ecuación para ella.
Para encontrar una expresión analítica para la
corriente, es necesario tener la curva característica
descrita matemáticamente.
Digamos,
como
una
aproximación,
que:
i = k . v3
( 1) ;
siendo
"k"
una
constante
determinada
experimentalmente.
La
tensión
aplicada siendo senoidal, puede escribirse:
v = V m cos w t ( 2 ) .
La corriente, entonces, utilizando la ecuación (1), y
usando una identidad trigonométrica para el cubo
del coseno, es:
3
1
3
i = k ( Vm cos wt ) = k Vm3 [ cos wt + cos 3wt] (3)
4
4
3
Así vemos que la corriente es una onda con un valor máximo de: I m = k . Vm ( 4 )
y una forma que es la suma de una onda senoidal de la misma frecuencia que la
tensión aplicada (dada por w) más una onda senoidal de tres veces esta frecuencia
(dado por 3w).
La figura Nº 3 muestra una suma gráfica de las dos componentes de la onda de
corriente, teniendo i' la que llamaremos frecuencia fundamental, e i''' la que
llamaremos la tercera armónica, teniendo tres veces la frecuencia fundamental.
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3. INDUCTOR NO LINEAL
Si el núcleo de un inductor está
constituido por un material magnético,
la relación "flujo concatenado por
ampere" que es una forma de
expresar a la inductancia "L", deja
de ser constante para convertirse en
una función de la intensidad de
corriente.
Ello se debe al fenómeno de
saturación magnética del núcleo.
Además,
el
valor
del
flujo
concatenado, para una determinada
intensidad de corriente, depende del
sentido de variación (aumento o
disminución) de ésta cuando el
núcleo es sometido a magnetización
cíclica; fenómeno conocido como
"histéresis magnética".
La figura Nº 4, muestra la curva característica del flujo - intensidad de corriente en un
inductor con núcleo de hierro, que corresponde a un valor determinado del flujo
máximo.
Se supone ahora que se somete al inductor a una tensión senoidal: u = U m s e n w t
y que el devanado excitador carece de resistencia.
Deberá cumplirse: u + e
L
= 0 ; si el devanado posee N espiras: e
L
=-N
d
por lo
dt
d
. De esta ecuación se puede deducir la ley de variación del flujo
dt
respecto del tiempo, si se conoce u = f(t).
d
U
En efecto, hemos supuesto: u = Um s e n wt = N
,luego: d  = m sen wt dt
dt
N
U
U
Integrando:  = m  sen wt dt = m (- cos wt)
N
w *N
Puesto que: - cos wt = sen (wt - 90º):  = Um sen( wt - 90) , donde definimos a:
w *N
U
luego  = m sen(wt - 90) .
m = m
w *N
tanto: u = N
Como conclusión de gran importancia se deduce que si la tensión aplicada al
inductor es senoidal pura, el flujo en el núcleo será también senoidal puro, con
un atraso de fase de 90º con respecto a la tensión.
Mediante un procedimiento gráfico se puede determinar la forma de onda de la
corriente absorbida por el devanado del inductor. Dicha corriente resulta no senoidal.
Sus máximos ocurren simultáneamente con los de los flujos, pero no se anula en los
mismos instantes que éste.
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
4. ORIGEN DE LAS CORRIENTES NO SENOIDALES
Los ejemplos de los puntos anteriores han servido para mostrar dos fuentes posibles
de corrientes no senoidales desarrolladas por fuentes de tensión senoidal. Toda vez
que el componente excitado con tensión senoidal presente una característica no lineal,
dará origen a corrientes no senoidales, como sucede (además del resistor y el
inductor no lineales) con un diodo semiconductor por ejemplo.
También es posible el efecto inverso: una corriente senoidal, circulando a través de un
inductor no lineal, origina una caída de tensión no senoidal. Los ejemplos de los
párrafos anteriores han permitido además demostrar la posibilidad de la
descomposición de una onda no senoidal en componentes senoidales (fundamental,
tercera armónica, etc.).
En lo sigue se presentarán los métodos que permiten llevar a cabo esta
descomposición a partir de la función no senoidal dada. Finalmente se analizará la
respuesta de circuitos y redes a excitaciones no senoidales. Este análisis permite
aplicar la teoría de circuitos hasta aquí desarrollada solamente para tensiones y
corrientes senoidales, a los casos en que dichas magnitudes se apartan de la forma
de onda senoidal.
5. ONDAS NO SENOIDALES.
En muchas ramas de la ingeniería eléctrica,
las ondas no senoidales son tan comunes
como las senoidales y en todas las ramas se
encuentran ocasionalmente ondas no
senoidales.
En los oscilogramas 1, 2 y 3 se muestran
ejemplos de ondas no senoidales.
Aun cuando la onda de tensión del
oscilograma 1 es casi senoidal, la corriente
que fluye por el circuito capacitivo está
fuertemente deformada.
También en el oscilograma 2 la corriente es
no sinusoidal, aun cuando la tensión aplicada
es prácticamente una sinusoide.
El oscilograma 3 muestra el efecto de las
ranuras abiertas, en la forma de la onda de
tensión de un alternador. La armónica predominante en este caso, puede ser
fácilmente determinada por lo que vamos a desarrollar a continuación.
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
6. TEOREMA DE FOURIER
En 1822, el físico francés J.B.J. Fourier demostró en su trabajo titulado "La Theorie
Analytique de la Chaleur" (La Teoría Analítica del Calor) que:
“si en un intervalo dado, una función y = f (x) es unívoca, finita y continua, o en
caso ser discontinua posee un numero finito de discontinuidades, entonces esa
función puede representarse por una serie del tipo:”
y = f(x) = a1 sen x + a2 sen 2x + a3 sen 3x + .... + an sen nx +
b 1 cos x + b2 cos 2x + b 3 cos 3x + .... + b n cos nx
(6.1)
más brevemente, puede escribirse:
n= 
n=
n=1
n=1
y = f(x) = b0 +  an sen nx +  bn cos nx
(6.2)
La demostración del Teorema de Fourier excede a los alcances y objetivos de este
trabajo y puede encontrársela en tratados de matemáticas superiores. Reiteraremos a
continuación las limitaciones que se establecen sobre una función f (x) cualquiera,
para que pueda ser representada mediante una "serie de Fourier":
1) La función debe ser unívoca, es decir que para cada valor de la variable
independiente "x" debe haber uno solo de la variable dependiente "y".
2) La función debe ser finita en el intervalo considerado.
3) La función debe ser continua o poseer un número finito de discontinuidades.
El enunciado del teorema no establece restricción alguna en cuanto a la periodicidad
de la función. Si bien en este capítulo trataremos su aplicación a magnitudes
eléctricas periódicas no senoidales, es importante recordar que el campo de
aplicación del teorema se extiende a las no periódicas. Prácticamente todas las ondas
no senoidales que pueden aparecer en la ingeniería eléctrica cumplen las condiciones
expuestas. Excepto en algunos casos especiales, teóricamente se requiere un número
infinito de componentes, pero comúnmente solo unos pocos términos de la serie son
suficientes para obtener una buena aproximación. Como cada componente de la onda
es senoidal, se le pueden aplicar los métodos de análisis de circuitos tratados
anteriormente.
El número de componentes senoidales que deben manipularse prácticamente en un
problema dado puede reducirse a la mitad mediante la combinación de los términos
seno y coseno de cada frecuencia en un solo término senoidal que posea el ángulo de
fase inicial apropiado. La ecuación de la serie puede expresarse entonces en la forma:
n=
y = f(x) = b0 +  cn sen ( nx + n ) (6.3) ; Donde:
n=1
2
2
cn = cn  n = an + bn  arctan
bn
= an + j bn (6.4)
an
La (6.3) desarrollada nos da (haciendo b0 = c0 )
y = f(x) = c0 + c1 sen(x +  1 ) + c2 sen(2x + 2 + ... + cn sen(nx + n) (6.5)
Donde si la onda no senoidal es una función del tiempo, como ocurre en la
representación de tensiones y corrientes alternas, se deberá reemplazar a la variable
independiente "x" por "wt".
6
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
Los ci representan los valores máximos de las componentes de distinta frecuencia. El
coeficiente c0 representa la denominada componente de corriente continua, a las
componentes senoidales de diferentes frecuencias se las denominan "armónicas" de
la onda:
c 1 sen ( wt + 1 ) = fundamenta l o 1ra armónica
da
armónica
c 2 sen ( 2wt + 2 ) = 2
ra
c 3 sen ( 3wt + 3 ) = 3 armónica
c n sen ( n w t +  n ) = armónica de orden n
Al aplicar una ecuación como la (6.5), es muy importante tener presente que cada
armónica debe representarse en su propia escala "angular", y que la escala angular
de la armónica de orden "n" contiene "n" veces tantos grados (o radianes) como los
contenidos en un intervalo dado en la escala fundamental (n ciclos de la armónica de
orden n ocupan durante el período de un ciclo de la fundamental).
Análogamente, en la ecuación (6.5), el ángulo de fase inicial debe medirse en la
escala de la armónica correspondiente, y por lo tanto, tendrá un valor "n" veces mayor
que si se lo midiera en la escala fundamental. Siguiendo idéntico razonamiento, si se
varía el ángulo de fase inicial de una onda senoidal, en "“ grados, se modifica los
ángulos de fase inicial de este modo: el de la fundamental en "“ grados, el de la
segunda armónica en “2", el de la tercera armónica en “3" y así sucesivamente.
7. DETERMINACION DE LAS COMPONENTES DE UNA POLIARMONICA.
El análisis de una onda no senoidal en sus componentes según una serie de Fourier
consiste en la determinación de los coeficientes b0 , a1 , a2 ... an, b1, b2 ... bn de la
ecuación (6.2).
Si se prefiere la forma dada por la (6.5), los coeficientes c0, c1, c2,...., cn y los ángulos:
1 , 2 , ..... , n pueden determinarse con las expresiones:
b
2
2
; n = arctan n
c 0 = b0 ; cn = a + b
an
para determinar los coeficientes ai y bi de una armónica dada debe operarse con la
expresión (6.2) de modo tal de eliminar todos los términos excepto aquel que contiene
el coeficiente buscado. Por supuesto que para la determinación analítica se parte de la
hipótesis del conocimiento de la ecuación y = f (x).
a) Determinación del término de frecuencia cero "b0".
Puesto que la integral de una función senoidal o cosenoidal entre los límites que
comprenden un ciclo o un número entero de ciclos, es nula, el valor de b0 puede
hallarse multiplicando ambos miembros de la ecuación (6.2) por "dx" e integrando
entre los límites 0 y 2:
2
2
n= 
2
n= 
2
0
0
n=1
0
n=1
0
 f(x)dx = b0  dx +  an
 sen(nx)dx +  bn
 cos(nx)dx =
2 b0 ; de donde:
1 2
f(x) dx (7.1)
2 0
Si la onda es simétrica respecto al eje de abscisas su valor medio en el intervalo [0–
2] será nulo y también lo será b0 ya que observando la (7.1) se comprueba que b0 es
exactamente el valor medio de f (x) entre 0 y 2.
b0 =
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b) Determinación de los coeficientes an de los términos senoidales.
Es posible evaluar los coeficientes an de la ecuación (6.2) multiplicando a esta por
sen mx dx (donde m es cualquier número entero, distinto de cero) e integrándola entre
los límites 0 y 2:
2
2
 f(x) sen (mx ) dx = b0

0
0
n=
2
n=1
0
sen (mx ) dx +  an  sen (nx ) sen (mx ) dx +
2
n=
 b  cos (nx ) sen (mx ) dx
( 7.2 )
n
n=1
0
El primer término del segundo miembro de la (7.2) es nulo por tratarse de la integral
de una función senoidal, entre los límites 0 y 2. Los términos restantes posibles
pueden dividirse en los siguientes tipos:
2
I.- TERMINOS DE LA FORMA:
an
 sen (nx )
sen (mx ) dx
0
Aplicando
la
identidad
1
1
. cos ( - ) - cos ( + ) ;
2
2
trigonométrica: sen  . sen  =
2
2
an
0 sen nx sen mx dx = 2 0 [cos (n - m)x - cos (n + m)x] dx .
Ahora caben dos posibilidades:
2
an
Si n  m
[cos(n - m)x - cos(n + m)x] dx = 0 ; por ser integrales de
2 0
funciones cosenoidales.
2
2
an cos 0 dx - a n cos (2nx) dx = 
La otra posibilidad es que: n = m
an
2 0
2 0
resulta: an
2
bn  cos nx dx . sen mx dx
II.- TERMINOS DE LA FORMA:
0
Aplicando
la
identidad
trigonométrica: cos  . sen  =
2
1
1
sen(  +  ) + sen(  -  ) ;
2
2
2
resulta: bn  cos nx . sen mx dx = bn  [sen(n + m)x + sen(m - n)x ] dx .
2 0
0
En este caso, tanto para n = m como para n  m, la integral es nula.
Sustituyendo estos resultados en la (7.2) se obtiene (para n = m):
2
 f(x) sen nx dx =  an
, luego:
0
an =
1

2
 f(x) sen nx dx
(7.3)
0
c) Determinación de los coeficientes "bn" de los términos cosenoidales.
Es posible determinar los coeficientes "bn" de la ecuación (6.2) multiplicando a ésta
por cos mx dx (donde m es un número entero, distinto de cero) e integrándola entre
los límites 0 y 2:
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2
2
0
0
n=
2
n=1
0
 f(x) cos mx dx = b0  cos mx dx +  an  sen nx cos mx dx +
2
n =
 b  cos nx
n
n=1
cos mx dx
( 7 .4 )
0
El primer término del segundo miembro de la (7.4) es nulo por tratarse de la integral
de una función cosenoidal, entre los límites 0 y 2 .
En lo que respecta al segundo término, ya se ha demostrado en el párrafo b) que para
2
la forma:  sen nx cos mx dx el resultado es siempre nulo, tanto para "n = m"
0
como para "n  m", por su reducción a la suma de dos integrales de funciones
senoidales.
2
Resta analizar entonces a los términos de la forma: bn
 cos nx
cos mx dx .
0
Aplicando la identidad trigonométrica: cos  cos  =
1
1
cos( - ) + cos( + ) ; resulta
2
2
:
2
2
bn
bn  cos nx . cos mx . dx =  [cos(n - m)x + cos(n + m)x] dx
2 0
0
Luego para n  m resulta: bn
2
funciones cosenoidales.
2
 [cos(n - m)x + cos(n + m)x]dx = 0 ; por ser integrales de
0
2
2
Para n = m resulta: bn  cos 0 dx + bn  cos 2nx dx =  bn
2 0
2 0
2
Sustituyendo estos resultados en la (7.4),para n = m resulta:
 f(x) cos nx
dx =  bn .
0
bn =
1 2
 f(x) cos nx dx
 0
(7.5)
En resumen, con las expresiones (7.1), (7.3) y (7.5) pueden determinarse los
coeficientes de la serie de Fourier. No es necesario que una sola función de la
variable independiente cubra a todo el período. Pueden emplearse varias funciones,
una para cada uno de los intervalos en que se divida el período. Luego, la integral total
de 0 a 2 se obtendrá como suma de las integrales de las distintas funciones sobre
los intervalos respectivos.
7.1. Ejemplos de aplicación
7.1.1. Ejemplo 1
Dada una fuerza electromotriz de las siguientes características: e (t) = 10 V entre
wt = 0 y wt =  y e (t) = 0 V entre wt =  y wt = 2, determinar las expresiones de la
misma:
a) En términos de ondas senoidales y cosenoidales;
b) En términos de ondas senoidales solamente.
Limitar el análisis hasta la quinta armónica.
9
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
Resolución
a) Aplicando las ecuaciones desarrolladas anteriormente resultará:
b0 = 1/2 02 e. dwt = 1/2 02 10. dwt + 1/2 02 0. dwt = 1/2 .10.  = 5 V.
Los coeficientes an resultarán:
an = 1/ 02 e. sen n(wt) dwt = 1/ 02 10. sen n(wt) dwt + 0 = - 10/n [cos n - 1 ]
Para la fundamental (n = 1): a1 = 20/ = 6,37 V.
Para la 2º armónica (n = 2): a2 = 0 V.
Para la 3º armónica (n = 3): a3 = 20/3 = 2,12 V.
Para la 4º armónica (n = 4): a4 = 0 V.
Para la 5º armónica (n = 5): a5 = 20/5 = 1,27 V.
Los coeficientes bn resultarán:
bn = 1/ 02 e. cos n(wt) dwt = 1/ 02 10. cos n(wt) dwt + 0 = 10/n [sen n (wt)]0 = 0
La serie carece de términos cosenoidales pues todos los bi = 0.
Ahora puede escribirse la serie de Fourier, según la forma general dada por la
ecuación (6.2), es decir:
e (wt) = 5 + 6,37 sen wt + 2,12 sen 3 wt + 1,27 sen 5 wt + .... [V]
Se observa que además de carecer de términos “coseno”, faltan (o son nulas) los
armónicos de orden par.
b) Para escribir la serie bajo la forma por la expresión (6.5) debemos determinar:
cn =  an2 + bn2 =  an2 + 0 luego: cn = an
n = tg-1 bn/an = 0
Por lo tanto, la serie obtenida en a) es la solución también para esta segunda
alternativa.
7.1.2. Ejemplo 2
Consideremos la forma de onda, que puede representar la diferencia de potencial
aplicada a las placas verticales de un osciloscopio, denominada comúnmente “diente
de sierra”. Determinaremos la expresión de dicha tensión como suma de un término
constante y una serie de términos senoidales y cosenoidales.
Se designa con T al período de la tensión dada, donde la fase  = w t = (2/T) t. En el
intervalo [0, T] la función obedece a la ecuación:
y = f (x) = (Um/T). t = (Um/2) wt

Cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier.
b0 = 1/2 02 f(x) . dx = 1/2 02 (Um/2) wt d(wt) = Um/ 2
Los coeficientes an resultarán:
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an = 1/ 02 f(x) . sen nx dx = 1/ 02 (Um/2) wt . sen nwt dwt
Resolviendo la integral resultará:
an = Um / (22. n2) [- nwt cos nwt + sen nwt]02 , haciendo los reemplazos de los límites
de integración se obtiene:
an = Um / (22. n2) [- n 2  cos n 2 + sen n 2 + 0 – 0]
para n entero resulta: cos n 2 = + 1 y sen n 2 = 0 ; luego: an = - Um / n
Para la fundamental (n = 1): a1 = - Um/
Para la 2º armónica (n = 2): a2 = - Um/2
Para la 3º armónica (n = 3): a3 = - Um/3
Los coeficientes bn resultarán:
bn = 1/ 02 f(x) cos nx dx = 1/ 02 Um/2 wt . cos nwt dwt
Multiplicando por n/n e integrando por partes, resulta:
bn = (Um/22 n2) [ nwt . sen nwt . cos nwt ]02 , reemplazando por los límites de
integración:
bn = (Um/22 n2) [ n 2 . 0 + 1 – 0 – 1] = 0 (para cualquier valor de n).
Por lo tanto la serie carece de términos cosenoidales.
En resumen:
u = Um/2 – Um/ sen wt – Um/2 sen 2wt – Um/3 sen 3wt – ...... o brevemente:
u
Um

2
n

n1
Um
sen n wt
n
8. SIMETRIAS
Al analizar distintos tipos de ondas, para ser representadas por una Serie de Fourier,
puede ocurrir que no se requieran calcular todos los términos especificados, es decir
los coeficientes b0, an y bn.
Se demostrará a continuación que es posible determinar, sin efectuar cálculos previos,
que tipo de términos no aparecerán en la serie de Fourier representativa de una
función, si se analizan las características de simetría de ésta.
Como hemos visto anteriormente dada una función y = f (x) ésta puede ser
representada por una serie de las siguientes características:
n=
n=
 an sen nx +  b n cos nx ; por lo tanto :
n =1
n =1
n=
n=
y = f(-x) = b 0 -  a n sen nx +  b n cos nx
n =1
n =1
y = f(x) = b 0 +
puesto que cos (-x) =cos x y sen (-x)= - sen x , sumando f (x) con f (-x) resulta:
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n=
n=
f(x) + f(-x)
f(x) + f(-x) = 2 b 0 + 2  bn cos nx , luego :
= b 0 +  bn cos nx
2
n =1
n =1
n=
Restando f (x) de f (-x) se obtienen, análogamente: f(x) - f(-x) =  a n sen nx
2
n =1
Ahora la serie de Fourier puede escribirse:
n=
n=
f(x) + f(-x) f(x) - f(-x)
y = f(x) = b 0 +  a n sen nx +  b n cos nx =
+
2
2
n =1
n =1
Esta forma de expresión nos permite establecer:
a) que si se cumple que f (x) = f (-x) , entonces:
n=
f(x) + f(-x)
+ 0 = b0 +  bn cos nx , es decir que :  es decir que la serie no
2
n =1
contendrá términos sinusoidales. La figura siguiente muestra un ejemplo de éste
tipo de simetría:
y = f(x) =
b) si se cumple que f(x) = - f(-x), entonces :
f(x) - f(-x) n = 
y = f(x) = 0 +
=  an sen nx  es decir que la serie no contendrá el
2
n =1
término independiente, ni los términos
cosenoidales.
La figura siguiente muestra un ejemplo de
este tipo de simetría:
Los casos a) y b) analizados no
constituyen los únicos tipos de simetría.
En efecto, sea la serie de Fourier:
n= 
y = f (x) = b0 +  an sen nx
n=1
n= 
 b
n
cos nx
n=1
y determinemos f (x') donde x' = x +  :
n= 
n=
n=1
n=1
f(x ) = f(x + ) = b0 +  an sen n ( x   )   bn cos n ( x   )
Ahora bien, cuando n es impar: sen n(x + ) = - sen nx y cos n(x + ) = - cos nx
mientras que cuando n es par: sen n(x + ) = sen nx y cos n(x + ) = cos nx, por lo
que puede escribirse:
f(x ) = f(x + ) = b0 + (  1)
n
n=
n= 
n=1
n=1
 an sen nx  (  1)n
Sumando ahora f (x) y f (x + ) resulta:
12
b
n
cos nx
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
p =
p =
p =2
p =2
f(x) + f(x + ) = 2 b0 + 2  ap sen px + 2  bp cos px
donde “p” es un número entero y par (en efecto los términos correspondientes a “n”
entero e impar se anulan al efectuar la suma). En resumen:
p
p
f(x) + f(x + )
= b 0 +  a sen px +  b cos px
p
p
2
p 1
p 1
(8.1)
Efectuamos ahora la diferencia f (x) - f (x + ):
f (x) - f (x + ) = 2
q=
a
q=
q
sen qx + 2
q=1
b
q
cos qx
q=1
donde “q” es un número entero e impar. En efecto, los términos correspondientes a "n"
entero y par en f (x) y f (x + ) resultan de signos idénticos siempre positivos y se
anulan al restarse). Entonces:
q=
f (x) - f (x + ) q = 
=  a q sen qx +  b q cos qx (8.2)
2
q =1
q =1
La expresión (8.1) contiene el término independiente y a todos los términos senoidales
y cosenoidales de orden par, y la (8.2) contiene a todos los términos senoidales y
cosenoidales de orden impar. Por lo tanto su suma reproduce a la serie completa de
Fourier:
y = f(x) = [
(b0 +
f(x) + f(x + )
f(x) - f(x + )
]+[
]=
2
2
p=
p=
q=
q=
 ap sen px +  bp cos px) + (  a q sen qx +  b q cos qx)
p=2
p=2
q =1
q =1
Esta forma de expresar a la serie de Fourier nos permite definir otro tipo de simetría:
c) si se cumple que f(x) = - f (x + )
y = f (x) = 0 +
q=
f(x) - f(x + )
=
 a q sen qx
2
q =1
+
q=
 b q cos qx
q =1
lo que significa que la serie no
contendrá ni el término independiente
ni a los términos senoidales y
cosenoidales de orden par. La función
representada a continuación posee
éste tipo de simetría.
En este tipo de simetría, la forma de
onda del semiciclo positivo es igual a la
del
semiciclo
negativo,
aunque
invertida.
Comúnmente se la denomina simetría
de media onda o simetría respecto de un semiperíodo.
A continuación se resumen los tres tipos de simetría encontrados:
13
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Si f(x) = f(-x)
Si f(x) = - f(-x)
Si f(x) = - f(x + )
n=
 a n sen nx
n=1
n = 
f(x) =

an sen nx
n = 1
q
q
f (x )  a senqx   b cos qx
q
q
q1
q1
f(x) = b 0 +
9. APLICACIONES DE LAS CONDICIONES DE SIMETRIA
La gran utilidad de los resultados obtenidos en el párrafo anterior se pone de
manifiesto al analizar una función empleando las simplificaciones que surgen de las
condiciones de simetría.
Consideremos la onda de
fuerza
electromotriz
que
muestra en la figura siguiente.
Sin embargo, aún es posible
ampliar la información si se
razona del modo siguiente: es
evidente que el valor medio de
la función dada no es nulo, por
lo que la serie contendrá al
término
constante
o
"componente
de
corriente
continua".
Entonces,
la
función
dada
equivale a la suma de dicho valor
medio y de la nueva función
representada en la siguiente
figura.
Todo sucede como si se hubiera
restado de la función original el
valor medio (b0 = 10/2 = 5). Es decir que: f (wt ) = b0 + g ( wt ).
La función complementaria g(wt) posee los tipos de simetría siguientes: f (x) = - f (-x)
y f (x) = - f (x + ). Por efecto de la simetría (b) se anulan el término constante y todos
los términos cosenoidales y por la simetría (c) se anulan los términos senoidales de
orden par.
Por lo tanto, la función dada será de la forma:
q=
f ( wt ) = b0 +  a sen qx ( q es entero e impar )
q
q=1
RESUMIENDO: el análisis preliminar de los tipos de simetría nos permite establecer
que: la serie carecerá de términos senoidales pares y de todos los términos
cosenoidales. Restará calcular únicamente b0 y los coeficientes a q. Debe notarse que
el análisis de los tipos de simetría hace innecesario el cálculo de los coeficientes bi.
Por el interés que ofrece en la Electrotecnia, analizaremos el contenido armónico de la
forma de onda obtenido en el punto 2. Esta onda posee las simetrías:
14
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES


tipo (b) : f (x) = - f (- x) simetría con respecto del origen
tipo (c) : f (x) = - f (x+) = - f (x+T/2) simetría respecto de un semiperíodo.
Por efecto de la simetría (b) se anulan el término constante y los términos
cosenoidales y por la simetría (c) se anulan los términos senoidales de orden par.
Por lo tanto la onda puede ser resuelta en una fundamental (senoidal) y en
armónicas de orden impar.”
10. METODOS GRAFICOS DE ANALISIS ARMONICO
En muchos casos, la función periódica cuya serie de Fourier se desea obtener no
puede ser expresada analíticamente (por ejemplo en los casos vistos al tratar el
resistor no lineal y el inductor no lineal).
La onda puede ser obtenida a partir de un oscilograma, o bien pueden haberse
obtenido los valores numéricos de la función correspondientes a diversos instantes del
período.
Suelen efectuarse registros oscilográficos, para su análisis posterior, cuando se
emplean circuitos y máquinas cuyo funcionamiento origina ondas no sinusoidales.
Al no disponerse de la expresión explícita de f(x), resulta imposible aplicar las fórmulas
deducidas anteriormente para el cálculo de los coeficientes b0, an y bn de la serie:
1 2
1 2
1 2
=
f(x)
dx
(1
0
.1)
=
f(x) cos nx dx (10.3)
b0
an =  f(x) sen nx dx (10.2) bn
2 0
 0
 0
que permite expresar la función f(x) de la siguiente manera:
y = f(x) = b 0 +
n=
n
 a sen nx +  b n cos nx dx (10.4)
n
n 1
n =1
Los coeficientes b0, an y bn son proporcionales a integrales que comprenden a f (x).
Al no poderse analíticamente (mediante una ecuación) conocer a f(x), se debe recurrir
a procedimientos que sustituyan a las integrales por sumatorias de un número finito de
términos.
Recuérdese aquí la interpretación geométrica de la integral definida representa el área
de la superficie encerrada por la curva f (x) y el eje de abscisas, entre los límites de
integración.
Un método frecuentemente utilizado para determinar los coeficientes de la ecuación
de Fourier consiste en subdividir la onda en un número de fajas verticales igualmente
espaciadas, medir la ordenada media de cada una, y aplicar dos ecuaciones de fácil
desarrollo que se basan en la suma de las ordenadas medidas y en las
correspondientes funciones seno y coseno.
El trazado de una cantidad razonablemente grande de ordenadas en este método
gráfico debe ser realizado cuidadosamente si se desea que la ecuación resultante
posea un buen grado de exactitud. Además, para facilitar el cálculo, que aunque
simple, es extenso, se recomienda tabular con claridad los valores de las
componentes fundamentales y armónicas, como veremos en el ejemplo subsiguiente.
Si la onda no sinusoidal posee simetría, con semiciclos positivos y negativos
semejantes, solamente será necesario analizar uno de ellos y calcular para la
fundamental y armónicas impares.
La figura 10.1 representa el semiciclo positivo de una onda asimétrica dividida en “m”
fajas verticales, a intervalos de 180/m grados eléctricos a lo largo del eje x.
15
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Obsérvese que las ordenadas promedio de las secciones sucesivas poseen valores y1,
y2, y3 , .... ym , para ángulos q1, q2 , q3, .... qm contados desde el origen.
Para la fundamental, los coeficientes de la ecuación de Fourier pueden determinarse
por medio de las siguientes relaciones:
2
a1  ( y1 sen  1  y2 sen  2  y3 sen  3  ....  ym sen  m )
m
2
b1  ( y1 cos  1  y2 cos  2  y3 cos  3  ...  ym cos  m )
m
Que pueden ser simplificadas a las formas:
2
2
a1 
( y sen  )
b1 

 ( y cos  )
m
m
En general, para la armónica n
2
2
an   ( y sen n )
bn   ( y cos n )
m
m
Una vez dividida la onda en partes, con tanto mayor número de divisiones cuanto
mayor es la precisión requerida, el método siguiente es indicado para la determinación
de los coeficientes de los términos seno y coseno de cualquier armónica.
1) Anótense en la primera columna los ángulos desde el origen hasta los centros de
las fajas verticales;
2) Con ayuda de una tabla de funciones seno y coseno o bien una calculadora,
tabúlense los valores de sen n y cos n, cuidando de utilizar el signo correcto
para cada uno;
3) Mídanse las ordenadas en los puntos medios de las secciones divididas en el eje
x, anotándolas en correspondencia con los ángulos correspondientes;
4) Para el coeficiente del término senoidal an calcúlense los productos y sen n;
5) Para el coeficiente del término cosenoidal bn calcúlense los productos y cos n;
6) Súmense algebraicamente las columnas y sen n e y cos n;
7) Aplíquese la ecuación 10.4.
El ejemplo siguiente ilustra la aplicación del método gráfico para una onda simétrica.
16
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
10.1. EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO GRAFICO
La figura 10.2 representa el semiciclo positivo de una onda no sinusoidal simétrica
típica, de corriente de excitación de un transformador. Analizar gráficamente la función
y determinar la ecuación de Fourier.
 Resolución.
Una onda como la dibujada posee una forma caracterizada por una tercera armónica
prominente y una débil quinta armónica, superpuestas a la fundamental; las armónicas
superiores a la quinta son insignificantes y no serán consideradas en este análisis.
Siguiendo el método expuesto, construiremos las tablas y cálculos de los coeficientes
de la ecuación de Fourier. Esta será una función de términos seno y coseno, que se
reduce, con las discusiones precedentes, a una serie de términos en seno solamente.
1º Paso: Dividimos el eje x, correspondiente al ángulo , en n = 18 partes iguales,
correspondiendo 10º cada división.
2º Paso: Del oscilograma de la figura obtenemos los valores de la función “y” para
cada punto medio de los intervalos en los que se ha dividido el eje x.
Los valores son los siguientes:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
1,3
2,4
3,1
3,7
4,4
5,2
6,1
7,3
9,3
11,5
17
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
11
12
13
14
15
16
17
18
13,6
15,0
15,5
14,4
11,7
6,6
2,8
0,5
3º Paso: Para cada valor de  confeccionamos las tablas que siguen a continuación,
para cada armónica (fundamental, tercera y quinta), de las cuales obtenemos el valor
de los coeficientes de la serie de Fourier.
 Tabulación para la fundamental.
El valor de los coeficientes a1 y b1 serán:
a1 
2
m
 ( y sen  )
b1 
2
m
 ( y cos  )
De la tabla obtenemos:
a1 = 2/18 x 103,862 = 11,54
b1 = 2/18 x ( - 36,877) = - 4,10
18
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
 Tabulación para la 3º armónica.
2
 ( y sen 3 )
m
De la tabla obtenemos:
a3 
b3 
a3 = 2/18 x 14,83 = 1,65
2
m
 ( y cos 3 )
b3 = 2/18 x 30,44 = 3,38
 Tabulación para la 5º armónica.
a5 
2
m
 ( y sen 5 )
b5 
19
2
m
 ( y cos 5 )
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
De la tabla obtenemos:
a5 = 2/18 x ( - 4,97) = - 0,55
b5 = 2/18 x 5,25 = 0,58
Como en el presente ejemplo, la ordenada “y” está expresada en unidades de
corriente, la ecuación de Fourier es:
i (t) = 11,54 sen  - 4,10 cos  + 1,65 sen 3 + 3,38 cos 3 - 0,55 sen 5 + 0,58 cos 5
Para expresar la ecuación en una forma más conveniente, con términos senoidales
solamente, deben determinarse las amplitudes de las corrientes I1, I3 e I5 y los ángulos
1, 3 y 5.
Numéricamente será:
I1 =  (11,54)2 + ( - 4,1)2 = 12,25
I3 =  (1,65)2 + ( 3,38)2 = 3,76
I5 =  (- 0,55)2 + (0,58)2 = 0,80
1 = arc tg ( - 4,1/ 11,54) = arc tg ( - 0,355) = - 19,5º (cuarto cuadrante)
3 = arc tg ( 3,38/ 1,65) = arc tg ( 2,05) = 64º (primer cuadrante)
5 = arc tg ( 0,58 / - 0,55) = arc tg ( - 1,055) = 133,5º (segundo cuadrante)
La ecuación de la corriente es por lo tanto:
i (t) = 12,25 sen ( - 19,5º) + 3,76 sen (3 + 64º) + 0,80 sen (5 + 135,5º) [A]
11. VALOR EFICAZ DE UNA MAGNITUD POLIARMONICA
Para comenzar el estudio de las respuestas de los circuitos a las magnitudes no
senoidales (poliarmónicas), resulta lógico comenzar por determinar como responderán
los instrumentos de medida de corriente alterna a tales ondas.
Esto significa que hay que determinar la relación existente entre el valor eficaz de la
poliarmónica y los valores armónicos que la componen. Por definición, el valor eficaz
(o valor medio cuadrático) de una función (por ejemplo una corriente) del tiempo, esta
dada por:
1T 2
I=
i dt , donde T es el periodo.
T 0
Si la función i = f(t) está expresada mediante una serie de Fourier, la integral de la
fórmula anterior tendrá la expresión general:
T
T
n= 
0
0
n =1
2
2
 i dt =  [b0 +  (an .sen nwt + bn . cos nwt)] dt
Ahora bien, el cuadrado de una suma de términos como la anterior es igual a la suma
de los cuadrados de todos los términos más el duplo de la suma de todos los
productos posibles formados tomando de a dos términos. Por lo tanto, es posible
evaluar la anterior integral. En efecto, tendremos dos tipos de términos:
20
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
a) TERMINOS CUADRATICOS: son del tipo ak2. sen2 kwt y bk2. cos2 kwt y pueden
escribirse en la forma:
ak2
2
2
(1- cos 2kwt) y
ak . sen kwt =
2
bk2
2
2
.
kwt
=
(1+ cos 2kwt) donde k  1 ; la integral de cada uno de estos
bk cos
2
tipos de términos, sobre un periodo completo, dará:
2 T
2 T
ak .
y b k . ; k  1.
2
2
La contribución del término constante es exactamente: b02.T
b) TERMINOS QUE SON PRODUCTOS ENTRE ARMONICOS DE DISTINTAS
FRECUENCIAS: Son de la forma: 2 . ak . bl . sen kwt . cos lwt , habiéndose ya
demostrado que la integral entre 0 y T de tal tipo de términos es nula. En resumen,
resulta que:
T
n=
2 . T + T  ( a 2 + b 2 ) ; y el valor eficaz buscado :
 i 2 . dt = b 0
n
n
2 n =1
0
I=
1T 2
 i . dt =
T0
b0
2
1 n=
2
2
 ( a n + bn )
2 n=1
+
Recordando que una serie de Fourier de términos de términos senoidales de
amplitudes an y cosenoidales de amplitudes bn puede reducirse a una serie de
términos senoidales exclusivamente, de la forma:
i = f (wt) = b 0 +
n=
 c n sen (nwt + n) ,
n =1
donde :
c n = an  bn
2
2
2
resulta para el valor eficaz :
I=
b0  (
2
n
c
n1
2
n
) ; si la función i = f(wt) se expresa en la forma:
i = f(wt) = I0 + Im .sen(wt + 1) + Im .sen(2wt + 2 ) + ... ;
su valor eficaz será:
1
I=
2
I
I0 +
2
m1
I
2
m2
 ....  I
2
mn
2
Como cada término I2mk / 2 equivale al cuadrado del valor eficaz de la armónica de
orden k, se obtiene finalmente:
I=
I0 + I1  ...  In
2
2
2
( 11.1)
El valor eficaz de una poliarmónica esta dado por la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados del término constante y de los valores eficaces de las armónicas
componentes.
21
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
11.1. FACTORES DE ARMÓNICAS Y DE ONDA FUNDAMENTAL
n 
I
2
fa 
Se llamará factor de armónicas fa a:
n
n2
I
Está claro que el numerador de la fracción es el valor eficaz de la función periódica
que resulta al suprimir (restar, filtrar) en la función dada, i (t), la onda fundamental y la
componente continua. Esta se especifica separadamente.
I
Se designará por factor de onda fundamental a: ff  1
I
Habiéndose prescindido de la componente continua (I0 = 0) , es evidente que se
2
2
cumple que: fa  ff  1
11.2. VALORES DE DISTORSION
Los valores de distorsión están definidos en porcentaje (%) de cantidades eléctricas,
estos valores son muy utilizados para conocer el grado de contaminación de las redes
eléctricas. La desviación de una onda distorsionada de su onda fundamental puede
ser estimada con la ayuda de la distorsión armónica total (THD). Esta puede estar
dada en términos porcentuales.
Los valores eficaces o RMS de la tensión y la corriente son:
V2 
I2 
1T 2
2
2
v dt  V1  VH

T 0
VH 
T
1 2
2
2
i dt  I1  IH
T 0
V
h1
2
h
 V 2  V1
2
IH   Ih  I2  I1
2
2
h1
Siendo IH y VH la suma de las componentes armónicas eficaces al cuadrado de la
corriente y la tensión, respectivamente.
 Distorsión armónica total (THD):
V2  V3  ....
2

De tensión: THDV % 
V1
Otra expresión es: THDV % 
VH

V1
De corriente: THDI % 
Otra expresión es: THDI % 
2
I1
IH

I1
x 100 %
V
 1 x 100 %
V1
I2  I3  ....
2

2
x 100 %
I
 1 x 100 %
I1
Vn
x 100 %
V1

Para las armónicas individuales: IHDn 

La potencia de distorsión de corriente es: DI  V1 IH
22
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES

La potencia de distorsión de tensión es: DV  I1 VH

La distorsión total de demanda es: TDD % 
I2  I3  ....
2
2
IDEMANDA
x 100 %
 MAXIMA
12. POTENCIA ACTIVA ASOCIADA A ONDAS POLIARMONICAS
Supóngase que las ondas de la caída de tensión y la corriente en una impedancia
tienen la forma general dada por la (6.3).
u = f (t) = U0 + Um sen (wt + u1 ) + Um sen (2wt + u ) + ... + Um sen(nwt + u )
1
2
n
2
n
i = g(t) = I0 + Im sen (wt +  i1 ) + Im sen (2wt + i ) + ... + Im sen (nwt + i )
1
2
n
2
n
La potencia activa o media está dada por:
P=
P=
1T
u. i. dt ; Luego:
T 0
1T
[U0 + um sen(wt + u ) + +...] x [I0 + Im sen(wt + i ) + ...] dt
T 0
1
1
1
1
Esta ecuación comprende productos de términos de igual frecuencia de la forma:
Umn . Imn
1T
. cos(u - i )
 Umn sen (nwt + un) . Im sen(nwt + in). dt =
n n
n
T0
2
y productos de términos de distinta frecuencia de la forma:
1T
sen(nwt + u ).Im .sen(kwt + i ).dt = 0
U
k
k
n
T 0 mn
por lo demostrado anteriormente. Luego la potencia activa resulta:
n 
P = U0 . I0 + 
n 1
Um . Im
cos (u - i ) recordando que: Umn . Imn / 2 = Un . In
2
n
n
n
n
(producto de valores eficaces) y que:
u - i = n (desfasaje entre armónicas de igual orden) ; se puede escribir:
n
n
P = U 0 . I 0 + U 1 . I 1 . cos 1 + U 2 . I 2 . cos  2 + .......
La potencia activa total es la suma de las potencias desarrolladas por las
componentes de corriente continua y de las potencias activas desarrolladas por
las armónicas de tensión y corriente del mismo orden.
Conviene recalcar que todo par de armónicas de tensión y corriente de orden distinto
no contribuyen al desarrollo de potencia media o activa alguna. De igual modo, si una
armónica de cierto orden aparece en una de las ondas y no de la otra, tampoco
contribuye a la potencia media.
23
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Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES
13. POTENCIA REACTIVA ASOCIADA A ONDAS POLIARMONICAS
Por definición, la potencia reactiva total desarrollada por ondas poliarmónicas de
tensión y corriente como las expresadas en forma general al comienzo del párrafo
anterior, está dada por la suma algebraica de las potencias reactivas
desarrolladas por las arrmónicas de tensión y corriente del mismo orden.
Q = U1 . I1 . sen 1 + U2 . I 2 . sen  2 + .....
14. POTENCIA COMPLEJA
DEFORMACION
Y
POTENCIA
(13.1)
APARENTE.
POTENCIA
DE
Es evidente que la potencia compleja total resultará de la suma geométrica de las
potencias complejas correspondientes a las distintas armónicas. Matemáticamente:
.
.
.
S  S 1  S 2 + ....... + S n + ...
N= 
n= 
N =1
n =1
 = P + j Q =  Pn + j  Qn ; y el módulo resulta :
S
mod S 
n
mod

n0
Pn2  mod
n

n0
Qn2
(14.1)
Si definimos a la potencia aparente (como oportunamente se estableció) como el
producto entre los valores eficaces de las caídas de tensión y corriente en una
impedancia, resulta para ondas poliarmónicas que:
n= 
U. I =
n= 
U .  I
2
n
n= 0
n
2
(14.2)
n= 0
Si se tratara de ondas senoidales puras, las (14.1) y (14.2) arrojan igual resultado:
 =
mod S
(U. I . cos  )2 + (U. I . sen )2 = U . I
Pero tratándose de poliarmónicas, puede suceder en general que la presencia de
armónicas de cierto orden en la onda de tensión y su ausencia en la onda de corriente
(o viceversa) contribuya a un aumento de la potencia aparente, pero no así de la
potencia compleja.
Por lo tanto la potencia aparente puede ser igual o mayor que el módulo de la
potencia compleja.
Definimos entonces como potencia de
deformación a la raíz cuadrada de la
diferencia de los cuadrados de la potencia
aparente y del módulo de la potencia compleja:
 )2 (14.3)
D = (U.I )2 - (mod S
Es obvio que si las ondas son senoidales
puras, D = 0.
Las potencias definidas en los párrafos
anteriores y en éste permiten establecer una
interpretación geométrica ilustrada en la figura
que sigue.
En este diagrama, las potencias activa,
reactiva y de deformación se representan
según las direcciones de los tres ejes normales
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entre si. Las potencias activa y reactiva pueden ser positivas o negativas, pero la
potencia de deformación es siempre considerada como positiva (raíz positiva de la
expresión (14.3).
En el caso que muestra la figura, se supone que las tres potencias son positivas.
En el diagrama se definen varias otras potencias, que reciben los nombres indicados
en la lista de referencia:
P = potencia activa; S = potencia compleja; Q = potencia reactiva; D = potencia
de deformación.
15. FACTOR DE POTENCIA PARA ONDAS POLIARMONICAS
Por definición, es el cociente entre la potencia activa y aparente:
n 
P
F. P 

UI
 Un In cos 
n 0
N 
n
15.1)
N 
U
2
n
I
.
N 0
2
n
N 0
Aquí no es posible considerar al factor de potencia como igual al coseno de un ángulo
de desfase, puesto que en general las armónicas componentes poseen diferentes
ángulos de fase. Puede suceder que el factor de potencia, así definido por la (15.1),
sea menor que la unidad aunque la carga tenga características resistivas puras.
16. POLIARMONICAS EN SISTEMAS TRIFASICOS
Los generadores sincrónicos trifásicos (alternadores trifásicos) no suministran
tensiones senoidales puras. Las ranuras en las que están alojados los conductores del
inducido introducen irregularidades en la tensión generada y la inducción magnética
del sistema inductor no está distribuida a lo largo del entrehierro en la forma que se
requeriría para obtener una tensión senoidal.
En el estudio teórico de estas máquinas se comprueba que la onda deformada
resultante puede resolverse en una fundamental y armónica de orden impar
exclusivamente.
Si consideramos los tres devanados de fase de un alternador trifásico, cuyo inductor
gira con un sentido tal que la secuencia u orden de sucesión de las tensiones de fase
se supone sea: e ab - e cd - e ef . Las tres tensiones de fase se suponen de igual forma
de onda. Por consiguiente, y para la secuencia adoptada, se las puede expresar de
este modo:
eab = Em sen (wt + 1 ) + E sen (3wt +  3 ) + Em sen (5wt +  5 ) + ..
ecd = Em sen(wt + 1 - 120) + Em sen(3wt +  3 - 360) + Em sen(5wt +  5 - 600) + ..
e ef = Em sen(wt + 1 - 240) + Em sen(3wt +  3 - 720) + Em sen(5wt +  5 - 1200) + ...
m3
1
5
1
3
5
1
3
5
En efecto, como se anticipó en el punto 6, si se modifica el ángulo de fase inicial de la
fundamental en 120º el de la 3º armónica se modifica en 360º, etc. Las tres
expresiones anteriores escribirse también de esta forma:
eab = Em sen(wt + 1) + Em sen(3wt +  3 ) + Em sen(5wt +  5 ) + ...
ecd = Em sen(wt + 1 - 120) + Em sen(3wt +  3 ) + Em sen(5wt +  5 - 240) + ...
eef = Em sen(wt + 1 - 240) + Em sen(3wt +  3 ) + Em sen(5wt +  5 - 120) + ...
1
3
5
1
3
5
1
3
5
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Para representar a las tres tensiones poliarmónicas anteriores, se necesitan tanto
diagramas fasoriales como frecuencias distintas existan; pues se supone que un fasor
gira en el plano con la velocidad angular w = 2 f.
Pero antes de proceder a su representación, destacamos los hechos que surgen de
estudiar las tres últimas expresiones:
1.- La fundamental y todas las armónicas obtenidas agregando un múltiplo de 6
a la fundamental, poseen la misma secuencia (en este caso la secuencia ab–cd –
ef). Esto se comprueba si se escriben las expresiones de las armónicas 7, 13, etc.
2.- La quinta armónica y todas las
armónicas obtenidas agregando
un múltiplo de 6 a la quinta
poseen la misma secuencia, la
cual es la inversa de la secuencia
de las fundamentales (es decir,
resulta la secuencia ab – ef–cd). Se
comprueba
examinando
las
expresiones antes escritas para la
quinta armónica y desarrollando
luego las expresiones de las
armónicas de orden 11, 17, etc.
3.- Las terceras armónicas y todos los múltiplos de la tercera armónica están en
fase.
Se comprueba examinando las expresiones antes escritas para la tercera armónica y
desarrollando luego las expresiones de las armónicas de orden 9, 15, etc. Debe
entenderse aquí como "múltiplos" a aquellas armónicas impares cuyo orden es
múltiplo de 3. En la figura siguiente se representan estos resultados:
Si los devanados del alternador trifásico están
conectados en triángulo, la suma fasorial de las
tensiones de fase de cada armónica de frecuencia
NO TRIPLE es cero y por lo tanto, por el triángulo
no habrá circulación de corrientes no triples.
Pero la suma de las tensiones de fase de
frecuencia triple (o múltiplos de ésta) NO ES
CERO y es igual al TRIPLE de la tensión de esa
frecuencia. Luego circulará por el interior del triángulo una corriente constituida por
componentes de frecuencias triple.
Consideremos la tercera armónica (lo mismo sucederá para la 9º, 15º, etc.): la
componente de corriente de tercera armónica que circulará por el triángulo valdrá:

I3 = 3 E3 Z ; donde Z es la impedancia de cada devanado por fase.
3
Es decir que I3 = E3/Z (ver figura). La expresión de la tensión compuesta U L de
 L = E 3 - I3 . Z = 0
frecuencia triple será: U
Conclusión: si el alternador esta conectado en triángulo, pueden circular por
este corrientes de frecuencia triple, pero en las tensiones de línea no aparecerán
componentes de tal frecuencia.
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Esta conclusión se aplica igualmente a los secundarios en triángulo de los
transformadores trifásicos.
Nótese que si se interrumpiese la continuidad (apertura del triángulo), cesa la
circulación de las 3º armónicas de corriente y aparecen 3º armónicas de tensiones
compuestas. Veamos que sucede si los devanados están conectados en estrella.
Para cada armónica de frecuencia no triple: Ulínea = 3 . Ufase puesto que para
frecuencias no triples las tensiones de fase forman ternas simétricas.
Para la 3º armónica: Ulínea = 0, puesto que resulta de la diferencia entre dos tensiones
en fase.
Conclusión: también en la conexión
estrella, las tensiones de línea carecen de
componentes de frecuencia triple.
Por lo tanto, en los circuitos trifásicos
trifilares, cualquiera sea la forma de conexión
del generador, aunque en las fases de este
se generan tensiones de frecuencias triple,
no habrá circulación de corrientes de
frecuencia triple entre el generador y su
carga.
Finalmente analizaremos el caso del circuito trifásico tetrafilar, que se puede observar
en la figura que sigue.
Por lo expuesto recién, las tensiones compuestas carecen de 3º armónica. Pero la
presencia del neutro permite que cada fase del generador pueda operar
independientemente del resto (se supone despreciable la impedancia del neutro).
Para la 3º armónica: Ulínea = 0, puesto que resulta de la diferencia entre dos tensiones
de fase. Por lo tanto, en cada fase se establece un circuito cerrado a través del cual
puede circular una corriente de frecuencia triple en respuesta a la presencia de 3º
armónica en la tensión de fase.
Estas corrientes de triple frecuencia circulan hacia las cargas a través de los
conductores de línea y retornan por el neutro. Como las tres corrientes de 3º armónica
están en fase resulta: I 3 ( neutro ) = 3 . I 3 ( línea ) .
17. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Dado el circuito RLC serie al que se aplica una excitación no senoidal que puede ser
expresada en términos de una serie como:
u (t) = 40 + 10 sen wt + 30 sen 3wt +20 cos wt + 10 cos 3wt V.
Los elementos que componen el circuito valen: R = 80 , L = 1 H, C = 2 F y la
frecuencia fundamental f1 = 50 Hz.
Se solicita encontrar la expresión para la corriente i (t) , el valor eficaz de la
corriente, el valor eficaz de la potencia activa P, reactiva Q , compleja S, aparente
U.I y de deformación D y el factor de potencia.

Escribiremos la función excitación u(t) en términos de senoidales:
u (t) = U0 + U1 sen ( wt + 1 ) + U3 sen ( 3wt + 3 )
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U1 =  102 + 202 = 22,4 V ; U3 =  302 + 102 = 31,62 V
u (t) = 40 + 22,4 sen ( wt + 26,57º ) + 31,62 sen ( 3wt + 71,57º )
En forma polar: U1 = 22,4  26,57º ; U3 = 31,62  71,57º

La impedancia valdrá:
Zn = R + j ( XL – XC) = R + j ( n w L – 1 / n wC)
En nuestro caso: Zn = 80 + j ( n . 314 . 1 – 1 / n . 314 . 2 x 10-6 )
Para cada armónica resulta:
Z0 =  ; Z1 = 80 – j 1278 = 1281  - 86,42º  ; Z3 = 80 + j 411 = 419  78,98º 

La corriente valdrá:
I0 = U0 / Z0 = 0
I1 = U1 / Z1 = 0,0175  112,99º
I3 = U3 / Z3 = 0,0755  - 7,41º
El valor eficaz de la corriente será:
I =  02 + (0,01752 + 0,07552) / 2 = 0,0548 A
Las expresión de la corriente poliarmónica como función del tiempo será:
i (t) = 0,0175 sen ( 314 t + 112,99º ) + 0,0755 sen ( 942 t – 7,41º)

La potencia activa será:
P = U0 I0 + U1 I1 cos ( 26,57º - 112,99º) + U3 I3 cos ( 71,57º + 7,41º) =
P = 0 + 0,0122 + 0,228 = 0,24
P = 0,24 W

La potencia reactiva será:
Q = U1 I1 sen ( 26,57º - 112,99º) + U3 I3 sen ( 71,57º + 7,41º) =
Q = - 0,196 + 1,172 = 0,976 VAr
Q = 0,976 VAr

La potencia compleja resulta:
S = P + j Q = 0,24 + j 0,976 = 1,0051  76,19º VA
mod S = 1,0051 VA

La potencia aparente será:
Primero calculamos el valor eficaz de la tensión aplicada:
u (t) = 40 + 22,4 sen ( wt + 26,57º ) + 31,62 sen ( 3wt + 71,57º )
U =  402 + (22,42 + 31,622) /2 = 48,49 V
Utilizando la corriente eficaz ya calculada la potencia aparente resulta:
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U . I = 48,49 . 0,0548 = 2,66 VA

Las potencia de deformación D valdrá:
D =  (U . I)2 – (mod S)2 = 2,463 VAD
 El factor de potencia valdrá:
f.p. = P / U . I = 0,0902
Glf/2016
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