Descargar - Ezequiel Wajs

Demostración de las Derivadas
Exponenciales y Logarı́tmicas
Derivada de f (x) = ax
Antes de comenzar con la demostración es importante recordar que la letra e es el
resultado, bastante anti-intuitivo del lı́mite:
lı́m
n→∞
1
1+
n
n
1
= lı́m (1 + t) t = e
t→0
(1)
Teniendo dicha igualdad en mente, intentamos calcular la derivada de ex aplicando la
derivada por definición, en este caso, elegimos la forma:
f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
f 0(x) = lı́m
Reemplazando con f (x) = ax obtenemos:
ax+∆x − ax
f (x) = lı́m
∆x→0
∆x
0
ax · a∆x − ax
f (x) = lı́m
∆x→0
∆x
0
(2)
En la ecuación 2 puede verse que el término ax aparece una vez en cada término, pudiendo
sacarlo como factor común:
a
f 0(x) = lı́m
x
∆x→0
∆x
a −1
∆x
Aplicando propiedades del lı́mite podemos llegar fácilmente a:
f 0(x) = lı́m ax · lı́m
∆x→0
∆x→0
f 0(x) = ax · lı́m
∆x→0
a
∆x
a∆x − 1
∆x
−1
∆x
(3)
1
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013
Donde el primer lı́mite puede omitirse porque ax no depende de ∆x.
Nuestro análisis ahora se enfoca en hallar el resultado del lı́mite:
∆x
−1
∆x
(4)
A = a∆x − 1
(5)
a
lı́m
∆x→0
Para eso proponemos una variable A cuya expresión es:
De esta forma puede despejarse ∆x:
a∆x = A + 1
Aplicando Logaritmos Naturales a ambos lados se conserva la igualdad
ln(a∆x) = ln(A + 1)
Por propiedad del exponente del argumento de un logaritmo:
∆x · ln(a) = ln(A + 1)
Despejando ∆x:
∆x =
ln(A + 1)
ln(a)
(6)
Reemplazando 6 y 5 en 4 obtenemos:
lı́m
A
∆x→0 ln(A+1)
ln(a)
A · ln(a)
∆x→0 ln(A + 1)
= lı́m
(7)
Debemos adecuar la variable del lı́mite para que responda a esta nueva forma, observando
la ecuación 5 puede verse que A → 0 cuando ∆x → 0 de modo que la ecuación 7 puede
ser escrita de la forma:
A · ln(a)
A→0 ln(A + 1)
lı́m
Operando sobre esta ecuación:
lı́m
A→0
lı́m
A→0
ln(a)
1
A ln(A + 1)
ln(a)
1
ln(A + 1) A
2
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013
Aplicando propiedades de los lı́mites puede llegarse a:
ln(a)
lı́m
A→0
ln(A + 1)
1
A
ln(a)
=
ln lı́m (A + 1)
1
A
A→0
Como puede verse, el argumento del logaritmo en el denominador de la parte derecha de
la ecuación es totalmente análoga a la parte derecha de la ecuación 1, y por lo tanto su
valor es e. Reemplazando obtenemos:
lı́m
A→0
ln(a)
ln(A + 1)
1
A
=
ln(a)
ln lı́m (A + 1)
=
1
A
ln(a)
= ln(a)
1
(8)
A→0
Acabamos de demostrar que la ecuación 4 es igual a ln(a), reemplazando este resultado
en la derivada (ecuación 3) queda resuelta la derivada de la función f (x) = ax :
f 0(x) = ex · lı́m
∆x→0
a∆x − 1
∆x
f 0(x) = ax · ln(a)
f 0(x) = ax · ln(a)
3
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013
Derivada de f (x) = loga(x)
Para el cálculo de esta derivada aprovecharemos las conclusiones de la ecuación 1,
comenzamos planteando la derivada por definición de f (x) = ln(x):
f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
f 0(x) = lı́m
Reemplazando con f (x) = ln(x) obtenemos:
loga (x + ∆x) − loga(x)
∆x→0
∆x
f 0(x) = lı́m
Aplicando propiedades del logaritmo:
loga
f 0(x) = lı́m
x+∆x
x
∆x
∆x→0
Reescribiendo y aplicando propiedades del logaritmo nuevamente:
1
∆x
f 0(x) = lı́m
· loga 1 +
∆x→0 ∆x
x
1
∆x
∆x
f 0(x) = lı́m loga 1 +
∆x→0
x
x
x
Podemos elevar el argumento del logaritmo a la
sin alterar la igualdad ya que
x
x
= 1,
siempre y cuando x 6= 0, cosa que no es problema ya que x = 0 está fuera del dominio de
la función que queremos derivar. Entonces:
f 0(x) = lı́m loga
1+
∆x→0
∆x
x
x
1 !x
∆x
Aplicando propiedades de la potencia de potencia obtenemos:
f 0(x) = lı́m loga
∆x→0
∆x
1+
x
x
∆x·x
4
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013
A continuación proponemos hacer el reemplazo:
D=
∆x
x
Notando que D → 0 cuando ∆x → 0 (y recordando que x 6= 0, el lı́mite queda (reemplazando la variable del lı́mite por D):
0
f (x) = lı́m loga (1 + D)
1
D·x
D→0
Reescribiendo el exponente del argumento del logaritmo y aplicando algunas de las propiedades antes usadas:
1
1 x
f (x) = lı́m loga (1 + D) D
0
D→0
1
1
· loga (1 + D) D
D→0 x
f 0(x) = lı́m
1
1
f (x) = · loga lı́m (1 + D) D
D→0
x
0
(9)
Como puede verse, ahora el lı́mite dentro del argumento del logaritmo vale e según lo que
dicta la ecuación 1, ası́ que reemplazando en la ecuación 9 se resuelve el lı́mite y se halla
la derivada de f (x) = ln(x):
f 0(x) =
1
· loga(e)
x
Aplicando propiedades del logaritmo loga (c) =
f 0(x) =
logb (c)
:
logb (a)
1 ln(e)
·
x ln(a)
f 0(x) =
1
x·ln(a)
5
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013