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Demostración de las Derivadas
Exponenciales y Logarı́tmicas
Derivada de f (x) = ex
Antes de comenzar con la demostración es importante recordar que la letra e es el
resultado, bastante anti-intuitivo del lı́mite:
lı́m
n→∞
1
1+
n
n
1
= lı́m (1 + t) t = e
t→0
(1)
Teniendo dicha igualdad en mente, intentamos calcular la derivada de ex aplicando la
derivada por definición, en este caso, elegimos la forma:
f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
f 0(x) = lı́m
Reemplazando con f (x) = ex obtenemos:
ex+∆x − ex
f (x) = lı́m
∆x→0
∆x
0
ex · e∆x − ex
f (x) = lı́m
∆x→0
∆x
0
(2)
En la ecuación 2 puede verse que el término ex aparece una vez en cada término, pudiendo
sacarlo como factor común:
e
f 0(x) = lı́m
x
∆x→0
∆x
e −1
∆x
Aplicando propiedades del lı́mite podemos llegar fácilmente a:
f 0(x) = lı́m ex · lı́m
∆x→0
∆x→0
f 0(x) = ex · lı́m
∆x→0
e
∆x
e∆x − 1
∆x
−1
∆x
(3)
1
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013
Donde el primer lı́mite puede omitirse porque ex no depende de ∆x.
Nuestro análisis ahora se enfoca en hallar el resultado del lı́mite:
∆x
lı́m
e
∆x→0
−1
∆x
(4)
Para eso proponemos una variable E cuya expresión es:
E = e∆x − 1
(5)
De esta forma puede despejarse ∆x:
e∆x = E + 1
Aplicando Logaritmos Naturales a ambos lados se conserva la igualdad
ln(e∆x) = ln(E + 1)
Por propiedad del exponente del argumento de un logaritmo:
∆x · ln(e) = ln(E + 1)
Cómo e es la base del logaritmo natural ln(e) = 1, por lo tanto:
∆x = ln(E + 1)
(6)
Reemplazando 6 y 5 en 4 obtenemos:
E
∆x→0 ln(E + 1)
lı́m
(7)
Debemos adecuar la variable del lı́mite para que responda a esta nueva forma, observando
la ecuación 5 puede verse que E → 0 cuando ∆x → 0 de modo que la ecuación 7 puede
ser escrita de la forma:
E
E→0 ln(E + 1)
lı́m
Operando sobre esta ecuación:
lı́m
E→0
lı́m
E→0
1
1
E ln(E + 1)
1
1
ln(E + 1) E
2
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013
Aplicando propiedades de los lı́mites puede llegarse a:
1
lı́m
E→0
ln(E + 1)
1
E
1
=
ln lı́m (E + 1)
1
E
E→0
Como puede verse, el argumento del logaritmo en el denominador de la parte derecha de
la ecuación es totalmente análoga a la parte derecha de la ecuación 1, y por lo tanto su
valor es e. Reemplazando obtenemos:
lı́m
E→0
1
ln(E + 1)
1
E
=
1
=
1
ln lı́m (E + 1) E
1
1
= =1
ln(e) 1
(8)
E→0
Acabamos de demostrar que la ecuación 4 es igual a 1, reemplazando este resultado en
la derivada (ecuación 3) queda resuelta la derivada de la función f (x) = ex :
f 0(x) = ex · lı́m
∆x→0
e∆x − 1
∆x
f 0(x) = ex · 1
f 0(x) = ex
3
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013
Derivada de f (x) = ln(x)
Para el cálculo de esta derivada aprovecharemos las conclusiones de la ecuación 1,
comenzamos planteando la derivada por definición de f (x) = ln(x):
f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
f 0(x) = lı́m
Reemplazando con f (x) = ln(x) obtenemos:
ln (x + ∆x) − ln(x)
∆x→0
∆x
f 0(x) = lı́m
Aplicando propiedades del logaritmo:
f 0(x) = lı́m
ln
x+∆x
x
∆x
∆x→0
Reescribiendo y aplicando propiedades del logaritmo nuevamente:
1
∆x
f 0(x) = lı́m
· ln 1 +
∆x→0 ∆x
x
∆x
f 0(x) = lı́m ln 1 +
∆x→0
x
Podemos elevar el argumento del logaritmo a la
x
x
1
∆x
sin alterar la igualdad ya que
x
x
= 1,
siempre y cuando x 6= 0, cosa que no es problema ya que x = 0 está fuera del dominio de
la función que queremos derivar. Entonces:
f 0(x) = lı́m ln
1+
∆x→0
∆x
x
x
1 !x
∆x
Aplicando propiedades de la potencia de potencia obtenemos:
∆x
f 0(x) = lı́m ln 1 +
∆x→0
x
x
∆x·x
4
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013
A continuación proponemos hacer el reemplazo:
D=
∆x
x
Notando que D → 0 cuando ∆x → 0 (y recordando que x 6= 0, el lı́mite queda (reemplazando la variable del lı́mite por D):
0
f (x) = lı́m ln (1 + D)
1
D·x
D→0
Reescribiendo el exponente del argumento del logaritmo y aplicando algunas de las propiedades antes usadas:
1
1 x
f (x) = lı́m ln (1 + D) D
0
D→0
1
1
· ln (1 + D) D
D→0 x
f 0(x) = lı́m
1
1
f (x) = · ln lı́m (1 + D) D
D→0
x
0
(9)
Como puede verse, ahora el lı́mite dentro del argumento del logaritmo vale e según lo que
dicta la ecuación 1, ası́ que reemplazando en la ecuación 9 se resuelve el lı́mite y se halla
la derivada de f (x) = ln(x):
1
· ln(e)
x
1
f 0(x) = · 1
x
f 0(x) =
f 0(x) =
1
x
5
Demostración Derivada Exponencial y Logarı́tmica - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013