TEMA3: DETERMINANTES

MATEMÁTICAS CCSS II
DETERMINANTES
TEMA3: DETERMINANTES
1. Determinante de segundo orden
 a11
Se denomina determinante de la matriz cuadrada de orden dos, A = 
 a 21
a11 a12
detA=|A|, al nº real resultante de, detA=|A|=
= a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21
a 21 a 22
Ejemplos:
2 −1
3
7
= 2 ⋅ 7 − (−1) ⋅ 3 = 14 + 3 = 17 ,
6
−3
−4
2
a12 
 , y se representa
a 22 
= 6 ⋅ 2 − (−3) ⋅ (−4) = 12 − 12 = 0
2. Determinante de tercer orden
Se denomina determinante de la matriz cuadrada A, de orden 3, al nº real resultante de:
a11 a12 a13
det A = A = a 21
a 22
a 23 = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21a32 − a13 a 22 a31 − a11a 23 a32 − a12 a 21a33
a31
a32
a33
Esta expresión se conoce como regla de Sarrus.
Ejercicios:
3
4
1
1
5
2
2 10
−1
−1 2 = , 2 − 2 1 = 0 3 4 =
0 −5 2
3 −9 0 0 0 −4
¿Qué conclusión obtienes sobre el valor del determinante de una matriz triangular? [28,0,-24]
2º) Determina el valor de los determinantes de las matrices de tercer orden definidas como sigue:
c. C=(cij)=i-j [0]
a. A=(aij)=máx(i,j) [3]
b. B=(bij)=mín(i,j) [1]
d. D=(dij)=|i-j| [4]
x
1
0
x +1 − x
3º) Resuelve las ecuaciones: a)
b) 0 x + 1 2 = 0 [-5]
= 1 . [0 y -1]
x
1
5
x
2
1º) Calcula el valor de los determinantes: 4
3 − 2x
c) 1
5
−1
8
x
− 3 = 114 . [1 y -21]
x
3. Propiedades de los determinantes
Las siguientes propiedades son para determinantes de cualquier orden. Para los de órdenes dos y
tres pueden ser demostradas desarrollando dichos determinantes.
1/10
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
DETERMINANTES
1. Un determinante no varía si se cambian sus filas por sus columnas, es decir, el
determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta: A=At
4 2
3
4 1
2
1 −3
7 = 2 −3
0 = 60
2 0 −1 3 7 −1
La propiedad anterior permite justificar que todas las propiedades que sean válidas para filas lo
serán también para columnas, y recíprocamente.
2. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas, el determinante cambia
de signo, pero conserva el valor absoluto.
4 2
3
4 3
2
3
2 4
1 −3
7 = 60 , 1
2
−1
0
− 3 = −60 , 7
7
2 −1
− 3 1 = −60
−1
0
0
2
3. Si todos los elementos de una línea se multiplican por un mismo nº, el determinante
queda multiplicado por dicho nº.
(Esta propiedad permite "sacar factor común" de los elementos de una línea. Nótese la
diferencia con las matrices, donde para multiplicar por un nº es preciso multiplicar pot él todos
sus elementos)
4 2
3
8 2
3
2⋅4 2
3
Si A = 1 − 3
2
0
7 = 60 , puedo calcular 2 − 3
7 = 2 ⋅1 − 3
7 = 2. A = 2 ⋅ 60 = 120
−1
−1
−1
4
0
2⋅2
0
4. Si todos los elementos de una línea son cero el determinante vale cero.
5. Si dos líneas paralelas son iguales, el determinante vale cero.
−1 3 5
−1 3
5 =0
2 −6
4
6. Si dos líneas paralelas son proporcionales, el determinante vale cero.
−1 3 5
−1
3
5
−1 3 5
−2 6
10 = 2 ⋅ (−1) 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ − 1 3
2 −7
4
4
2
−7
4
5 = 2⋅0 = 0
2 −7
7. Si una línea es combinación de otras paralelas, el determinante vale cero.
7
7 −9
−1 3
4
5 = 0 porque la primera fila es igual a la segunda más el doble de la tercera
2 −7
8. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos términos, el
determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes, de la
siguiente forma:
a b + b' c
a b c a b' c
d
g
e + e'
h + h'
f = d
i
g
e
h
f +d
i
g
2/10
e'
h'
f
i
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
DETERMINANTES
9. Si a una línea se le suma un múltiplo cualquiera de otra paralela, el determinante no
varía.
a b
A= d
g
c
e
h
a
f;
i
b
c
d + k .a e + k .b
g
h
a b
f + k .c = ( P8) d
i
g
e
h
c
a
b
c
f + k .a k .b k .c = A + ( P 6).0 = A
i
g
h
i
10. El determinante del producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de sus
determinantes.
 1 − 1
 4 1
 4 − 2
 : A ⋅ B = 60 = A ⋅ B = 5 ⋅ 12
, B = 
 → A ⋅ B = 
A = 
2 3 
 0 3
 8 11 
Ejercicios:
4º) Indica las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades:
2
8
2 8
1 1
a.
=
= 8⋅
24 100 0 4
0 1
b.
5
30
20
1
6
4
6
9
12 = 15 ⋅ 2
3
4 = 15 ⋅ 2 3 4 = 0
1 −3
1 −3 0
0
1 6 4
2 3 4
5º) Justifica, sin desarrollarlos, que los siguientes determinantes valen 0:
−3 5 −3
3 −1 5
6
3
1
a) 4
6 4
−1 7 −1
4 −6
−1 − 2 3
0
1
0
4
0
8 3
1
1
1
−8
e) − 1 2 1
f) a
a a
2 −1 3
g) 2 5
1
2
6 2
1
i)
b) 2
1
c) 2
0
25
2
5
3
d) 4
0 7
24 50 37
1 x
40
3 −2
27 0
a+x
h) 1 y a + y
1 z
a+z
1
a
b
c
b + c +1 a + c +1 a + b +1
abc
6º) Obtén, simplificando, el valor del determinante: − b 2 c
b 2c2
− ab
a2
[
2b 2 − ab = 2a 2 b 4 c 2
− b 2 c 3abc
1 1 1
7º) Justifica, aplicando las propiedades de los determinantes que: a b
x
a b
y
a
]
c
b
c = 1+ a 1+ c 1+ b
z
x
z
y
c
8º) Sabiendo que 7 0 11 = 2 , obtén, sin desarrollar, el valor de los siguientes determinantes:
1 1
1
3/10
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
3a 3b
4a 4b 4c
a) 7
1
DETERMINANTES
11 = 8 b) 1
1
1
0
1
a b
0
1
a +1 b +1 c +1
3c
11 7 = 6 7 c) 7
1
1
0
1
a
b
11 = 2 d) 3a + 7 3b 3c + 11 = 2
1
a +1 b +1 c +1
c
9º) Si d
e
f = k , calcula razonadamente el valor de los siguientes determinantes:
g
h
i
a.
b.
d
a
g
b
e
b
h = [-k]
f
c
i
a+b
a
c.
−c
d +e d
− f = [k]
g+h g
−i
d.
10º) Resuelve las ecuaciones:
x − 1 2x − 3
a.
= 2 [1 y 4]
2
x
b.
2a
− 3c
e 2d
− 3 f = [6k]
h 2g
− 3i
c + 2a
a
−b
f + 2d
d
− e = [-k]
i + 2g
g
−h
1 −1 2
[
2
x
1 = 10 ± 2
2 0 1
1
3
x
1 x 2 = 1 [-1/7]
x −4
e.
4 x 0
3 − 2x
c.
c
1
−1
5
8
1 1
d. 1 x
f.
x
− 3 = 0 [-2 y -18]
x
3
1
3
x
− 5 = 0 [-3/2]
2
x+2 −2 1
g.
1
1 = 0 [1 y -1] Una
1 1 x2
vez obtenidos esos valores,
analiza el determinante e
indica la propiedad que
permitiría justificar que el
determinante
es
0
sin
desarrollarlo.
2
]
x +1
0
1 = 0 [1/2]
x
3
2
−2 0
h.
4
x
5 − 3 = 5 [83/2]
3
3
x
4. DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR
A medida que aumenta el orden de un determinante su cálculo se complica. Vamos a definir un
determinante de orden n a partir de otro de orden n − 1 . Para ello, necesitamos conocer los
conceptos de menor complementario y de adjunto de un elemento.
Dada una matriz cuadrada Anxn,se llama menor complementario del elemento aij, al
determinante de orden n − 1 de la submatriz que resulta al eliminar la fila i y la columna j.
4/10
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
DETERMINANTES
Lo representaremos
tiene la matriz.
 2 −1

3 0
Ejemplo: 
−1 2

4 1
como Mij. Hay tantos menores complementarios como elementos
− 1

2 −1 −1
5
0
3 = −3
 , M23= − 1 2
−2 3 
4 1
2

4
2
3
Se llama adjunto del elemento aij al valor de la expresión: Aij = (−1) i + j ⋅ M ij (es el menor
complementario precedido por un signo + o por un signo −)
Ejemplo: Retomando el ejemplo anterior A23 = (−1) 2+3 ⋅ M 23 = (−1) 5 .(−3) = (−1)(−3) = 3
Con la terminología que acabamos de introducir ya podemos desarrollar un determinante de
orden n por los elemento de una línea: “El determinante de una matriz cuadrada de orden n es
igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por sus respectivos
adjuntos”.
De este modo un determinante de orden n se define a partir de n determinantes de orden n − 1 .
Ejemplo: Vamos a desarrollar el determinante de A a partir de los elementos de la primera fila
−2 0 1 2
2 1 1
1 1 1
1
2 1
1
2 1
1
2 1 1
1 0 − 2⋅ 3
1 2=
A=
= − 2 ⋅ 1 2 0 − 0 ⋅ 3 2 0 + 1⋅ 3
3
1 2 0
−1 3 4
−5 3 4
− 5 −1 4
− 5 −1 3
− 5 −1 3 4
= − 2 ⋅ 17 − 0 ⋅ 15 + 1 ⋅ (−18) − 2 ⋅ (−31) = 10
Ejercicios:
11º) Calcula el valor de los determinantes:
1 0 0 1
a.
0 1 0 1
0 0 1 1
= [-2]
c.
1 1 1 1
b.
1 −1
2
0
2
1
3
1
0
1
−1
2
0
0
4
−1
2
−1 − 3
0
3
5
−2
1
−1
3
−1 −1
4
0
−1
= [-45]
3
0 0 1 1
= [-18]
d.
3 3 1 2
3 1 1 3
= [-6]
3 1 1 4
5/10
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
DETERMINANTES
12º) Calcula el determinante aplicando las propiedades adecuadas(haciendo ceros)
3 5
4 −8
1
−2
11 22
2
4
3
6
− 11 44
1
= [1650]
4
5. MATRIZ INVERSA
Hemos resuelto en el tema anterior una serie de ejercicios con ecuaciones y sistemas en los que las
incógnitas son matrices. La forma de proceder es muy similar a los diferentes métodos utilizados en
la resolución de ecuaciones numéricas, siempre que la matriz incógnita no esté multiplicada por otra
matriz. Por ejemplo: A.X=B, A.X+B=C, A.X.B=C,……….
Para poder despejar en ese tipo de ecuaciones nos será muy útil saber calcular la matriz inversa.
Al estudiar la multiplicación de dos matrices hemos visto que, si nos limitamos a considerar las
matrices cuadradas de orden n, existe un elemento neutro que simbolizamos por I.
Nos planteamos ahora si, dada una matriz cuadrada A, existe otra matriz (a la que representaremos
por A-1 y llamaremos matriz inversa de A) que cumpla:
A.A-1=I
A-1.A=I
Sólo tiene sentido plantearse la existencia de matriz inversa en el caso de matrices cuadradas, y no
todas la tienen. Aquellas matrices cuadradas que tienen matriz inversa se llaman regulares,
inversibles o invertibles. En caso contrario se llaman matrices singulares.
Para calcular la inversa de una matriz dada A procederemos del siguiente modo:
1. Calculamos A. La condición necesaria y suficiente para que exista A-1 es que A ≠ 0
2. Calculamos la matriz de adjuntos Aadj: la matriz que se obtiene si se sustituye cada
elemento aij por su adjunto Aij.
3. Trasponemos la matriz anterior: (Aadj)t
4. Dividimos todos los elementos de la matriz anterior por A:
A −1 =
(
1
. A adj
A
)
t
NOTA: El resultado es el mismo si se cambian de posición los pasos 2 y 3
Ejercicios:
 2 5
 3 1
, B =

13º) Calcula la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices: A = 

 2 1 ,
−
1
2




 2 0 0
 1 − 3 4 
0 
1 2 0



 

 2 9 − 5 9  −1  1 − 1 −1 
−1
, B = 
, C =  0 1 2 0 
C =  0 2 0  , D =  4 − 7 8   A = 



 
1 9 2 9 
− 2 3 
 0
0 1 2 

 0 0 2
6 − 7 7 

 7 3 − 7 3 4 3 

 −1 
D
=
20
3
−
17
3
8
3



 14 3 − 11 3 5 3 



6/10
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
14º) Calcula
1

la razón:  3

1
la inversa
2  1
 
5 ,  2
 
7   − 1
DETERMINANTES
de las matrices siguientes cuando sea
0 1  3 1 0 
 −1 6
 
 

−1
1 1  ,  − 1 2 1  B =  − 5 6
 

 76
3 2   2 3 1  

posible y, en caso de no serlo, indica

−1 6


36
1 6 , C = 0

− 3 6 1 6 
36
 1 2
 2 0
, B = 

15º) Dadas las matrices A = 

 1 1  , comprueba si se cumple o no que:
−
1
0




−1
−1
−1
a. ( A + B) = A + B
b. ( A ⋅ B) −1 = B −1 ⋅ A −1
16º) Resuelve las ecuaciones matriciales:
1 2
 4 − 6   16 − 32 

 ⋅ X = 
 
a. 
2 5
 2 1   − 6 13 
 4 6
1 2 
 , con A = 

b. X . A 2 + A = 

1 1  , [X=I2]
3
4




1 0 0


1 2 3
 3 1 2
 1 0
, B =  0 1 0 , C = 
, D = 

c. AXB+C=D, siendo A = 
1
2
3
0
1
0
−1 1




0 -1 1



 2 − 2 − 1 

 X = 

3
0
2



26
5 6 
1 1 0 
 16

 


d. A.X − A = I − A.X, si A =  0 1 2  ,  X =  5 6 − 2 6 − 2 6  
−1 6 4 6
1 0 1 
1 6  


 
0 − 1
 2 1 1 
 1
 − 3 − 1 0 

  −1 



2
e. A +XA+I=O ,siendo A =  1 2 3   A =  − 2 − 1 5 , X =  1 − 1 − 8 
 1 1 1 
 1
 − 2 − 2 2 
1 − 3 

 



t
17º) Despeja la matriz X en las ecuaciones: BX + C = DX ; EX − X = F
1 0 m


18º) Dada la matriz A =  m 1 1  , halla los valores de m para los cuales la matriz A no tiene
 1 1 − 1


inversa. [2 y 1]
0
2
x −2


19º) Sea la matriz A =  0
x − 2 0  halla x para que exista A-1. [x≠2,0]
 0
0
x 

6. APLICACIONES
DE LOS DETERMINANTES PARA
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
LA
6.1. MÉTODO LA MATRIZ INVERSA
Consideremos un sistema de "n" ecuaciones con "n" incógnitas:
7/10
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
DETERMINANTES
a11x1+a12x2+...........+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+...........+a2nxn=b2
................................................
an1x1+an2x2+...........+anxn=bn
La matriz de coeficientes del sistema será: Anxn
Si llamamos: X nx1
 a11

 a 21
 ......

a
 n1
 x1 
 
x 
= 2
...
 
x 
 n
y B nx1
 a11

a
=  21
......

a
 n1
a12 ........ a1n 

a 22 ......... a 2 n 
..... ......... ..... 

a n 2 ......... a nn 
 b1 
 
b 
=  2  , el sistema se puede expresar en la forma:
...
 
b 
 n
a12 ........ a1n   x1   b1 
    
a 22 ......... a 2 n   x 2   b2 
⋅
=
llamada expresión matricial del sistema.
..... ......... .....   ...   ... 
    
a n 2 ......... a nn   x n   bn 
Abreviadamente sería:
A.X=B
Si A≠0 → ∃ A-1 y cumple A-1.A=I. De este modo podemos despejar X:
A.X=B, multiplicando en ambos miembros por A-1 por la izquierda:
-1
A-1.A.X= A-1.B → I.X= A-1.B → X= A .B
Ejemplo:
x + 2y + z = 9 

x − y − z = −10
2 x − y + z = 5 
A ad
1 2 1   x   9 

   

 1 - 1 - 1 ⋅  y  =  − 10 
 2 -1 1   z   5 

   

− 2 − 3 1 


=  − 3 −1 5 
 − 1 2 − 3


A= −7≠0 → ∃ A-1
 − 2 − 3 − 1


( A ad ) t =  − 3 − 1 2 
 1
5 − 3 

A −1
37
17 
27


= 3 7
1 7 − 2 7
−1 7 − 5 7 3 7 


x = −1
 x
 − 2 − 3 − 1  9 
− 7
  1 
 
 1 
 y  = ⋅  − 3 − 1 2  ⋅  − 10  =  7  ⇒ y = 1
7 
z 7  1
5 − 3   5 
z =8
 

 56 
Ejercicios:
2 x + 3 y − 4 z = 2

x − y − z = 1  por el método de la matriz inversa [(9 16 , − 1 8 , − 5 16)]
20º) Resuelve
x + 2 y + z = 0 
8/10
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
DETERMINANTES
 1 − 3 1 x   0 

   
21º) Resuelve la ecuación  3 6 1 y  =  3 
 2 − 1 1 z   1 

   
[(3 5 ,1 5 ,0)]
x − y = 2
y
x
+
y
=
3

22º) Obtén la inversa de la matriz de los coeficientes de las incógnitas del sistema: 
utiliza esta matriz para resolver el sistema. [5/2,1/2]
 1 2 3
7
x


 
 
23º) Dadas las matrices A =  3 2 1  , B =  9  y X =  y  , escribe las tres ecuaciones del
1 1 1
 4
z


 
 
sistema AX=B y resuélvelo, encontrando todas las soluciones. (Sep-98) [det(A)=0, no matriz
inversa, SCI(1+z,3-2z,z)]
6.2. REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de "n" ecuaciones con "n" incógnitas, en los que la
matriz de coeficientes sea inversible (det(A)≠0).
Nos da directamente el valor de cada incógnita con la siguiente expresión:
 b1

b
Si A1 =  2
....

b
 n
a12
a 22
.....
an2
.......
.......
.......
.......
a1n 

a2n 
..... 

a nn 
x1 =
es la matriz que se obtiene cambiando los coeficientes
de x1 por los términos independientes, el valor de cada
incógnita se obtiene directamente como el cociente de
los determinantes:
A1
A
,
x2 =
A2
A
,...................., x n =
An
A
Ejercicios:
24º) Comprueba si los siguientes sistemas son de Cramer y resuélvelos utilizando dicha regla, si es posible:
x + 2 y = 1
6 x + 4 y − 7 z = 17 
a.
 (2,-1/3)

x− y = 2
e. 9 x + 7 y − 16 z = 29 (3,-2,-1)

2 x + y − 3z = 5   2 
10 x + 5 y − 3z = 23 
 
b. 3 x + 2 y + 2 z = 0   − 2 
x − 2z = 5 
− x + 3 y − 4 z = −4  − 1 

f. 3 y + 4 z + 1 = 0  (3,1,-1)
2 x + 3 y − z = 4


− 3 x + 2 y + 7 = 0
c. 4 x − y + z = 2  (1,0,-2)
− x + 2 y − z = −2 
x + 2 y − z = 3 

g. 3 x + 3 y − z = 1  (1,-1,-1)
− 2 x + y − z = 6
d.
 (-18/5, (5z-6)/5, z)

x − 3 y + 3z = 0 
2 x + 5 y − z = −2 
9/10
IBR – IES LA NÍA
MATEMÁTICAS CCSS II
DETERMINANTES
25º) Hallar un nº de 3 cifras sabiendo que suman 9, que si del nº dado se resta el que resulta de invertir el
orden de sus cifras, la diferencia es 198; y que además, la cifra de las decenas es media aritmética de las otras
dos. [432]
26º) La suma de las tres cifras de un nº es 6 y, si se intercambian la 1ª(centenas) y la 2ª, el nº aumenta en 90
unidades. Finalmente, si se intercambian la 2ª y la 3ª, el nº aumenta 9 unidades. Calcula el nº [123]
27º) Encontrar un nº de tres cifras que verifica: la suma de sus cifras es 24; la diferencia de las
cifras de las centenas y las decenas es uno; si se intercambian las cifras de las unidades y las de
centenas el nº disminuye en 198. [987]
28º) Un constructor ha invertido 528125 euros en la compra de tres parcelas. La primera la ha
comprado a 200 euros el metro cuadrado, la segunda a 220 euros/m2 y la tercera a 250
euros/m2.Sabiendo que la superficie total de las tres parcelas es de 2362,5 m2 y que por la tercera pagó las
cinco octavas partes de lo que pagó por las otras dos juntas, calcula la superficie de cada parcela.[800, 750,
812’5]
29º) Un comerciante ha vendido 600 pantalones, por los que ha obtenido a cambio 37440 €. La venta se ha
realizado de la siguiente forma:
• Al principio vendió los pantalones a 72 € la unidad.
• En las rebajas vendió algunos de ellos con un 20 % de descuento.
• El resto lo vendió en la liquidación con un descuento del 40 % sobre el precio inicial.
a) Sabiendo que en la temporada de rebajas vendió la mitad de pantalones que en los otros dos períodos
juntos, calcula cuántos pantalones vendió durante la liquidación. [300,200,100]
b) Si en la liquidación gana 5 € por pantalón vendido, ¿cuánto dinero ha ganado entre todos los
períodos?
30º) Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2.000€. Vendiéndolos, espera obtener
unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio total sería de 600€.
Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo
que le da un beneficio total de 1.700 €. ¿Cuánto le costó cada objeto?[500, 500, 1000]
31º) Un joyero tiene tres clases de monedas: A, B y C. Las monedas del tipo A tienen 2 gramos de oro, 8
gramos de plata y 14 gramos de cobre; las del tipo B tienen 6 gramos de oro, 8 gramos de plata y 10 gramos
de cobre, y las del tipo C tienen 8 gramos de oro, 7 gramos de plata y 6 de cobre. Fundiendo la cantidad
adecuada de cada tipo de monedas pretende obtener 44 gramos de oro, 60 gramos de plata y 112 gramos de
cobre. Explica razonadamente si puede conseguir o no su objetivo.
32º) Dos hermanos deciden invertir 10.000 € cada uno en distintos productos financieros. El mayor invirtió
una cantidad A en un producto que ha proporcionado un beneficio del 6%, una cantidad B en otro que ha
dado una rentabilidad del 5% y el resto en un plazo fijo al 2% de interés. El hermano menor invirtió esas
mismas cantidades en otros productos que le han proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3 y
7 %. Determinar las cantidades A, B y C invertidas si las ganancias del hermano mayor han sido 415 € y las
del pequeño 460 €. [2000,4500,3500]
33º) Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio
millón de euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La
segunda, invirtió 125.000, 250.000 y 125.000 € en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la
tercera, 100.000, 100.000 y 200.000 € en estos mismos terrenos respectivamente. Transcurrido un año,
venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primera constructora es del 13,75%, la de la
segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la rentabilidad de cada uno de los
terrenos por separado. [20%, 10%, 5%]
34º) Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las
ganancias obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 €, 4.000 € por una
en la urbanización B y 6.000 € por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de
plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en
cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la urbanización C es igual a la
suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B. [30,15,20]
10/10
IBR – IES LA NÍA