Modulaciones angulares

T EMA 4
M ODULACIONES N O L INEALES :
M ODULACIONES DE FASE Y DE FRECUENCIA
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
1 / 51
Índice
Modulaciones de fase (lineales)
I
I
I
I
Modulación por desplazamiento de fase (PSK)
Modulación PSK en cuadratura (QPSK)
Modulación QPSK con desplazamiento temporal (OQPSK)
Modulaciones PSK diferenciales (DPSK)
Modulaciones no lineales
I
I
I
Modulación por desplazamiento de frecuencia (FSK)
Modulaciones MSK
Modulaciones de fase continua (CPM)
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
2 / 51
Modulaciones de fase
Modulación PSK (Phase Shift Keying)
I Modulación lineal
I
Constelaciones de módulo constante - Información en la fase de los sı́mbolos
F Sı́mbolos
p
A[n] = Es · ej'[n]
F
Señal compleja banda base
X
s(t) =
A[n] · g(t
nT) =
p
Es
n
F
n
Señal modulada paso banda
x(t) =
p
=
p
j!c t
2Re s(t) · e
2Es
|
X
g(t
n
X
p
=
2Es Re
(
X
ej'[n] · g(t
g(t
nT) · e
n
nT)
j(!c t+'[n])
)
nT) · cos(!c t + '[n])
{z
envolvente
}
Modulación de envolvente constante se puede conseguir usando
1
g(t) = p · wT (t),
T
wT (t) =
(
1,
0,
0t<T
resto
Inconveniente: ancho de banda elevado (saltos de fase en t = nT)
2
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Ss (j!) = Es · sinc
✓
!T
◆
2⇡
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
3 / 51
Modulaciones angulares
4 / 51
Modulación QPSK - M = 4 - Constelación
Im{A[n]}
s
s
135o
45o
s
s
225o
Re{A[n]}
315o
[n] = 45o : A[n] = +1 + j
[n] = 135o : A[n] = 1 + j
[n] = 225o : A[n] = 1 j
[n] = 315o : A[n] = +1 j
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Saltos de fase en señal QPSK
Señal PSK
p
p
x(t) = 2sI (t) · cos(!c t)
2sQ (t) · sen(!c t)
X
p
= 2Es
g(t nT) cos(!c t + '[n]).
n
siendo
sI (t) =
X
n
sQ (t) =
X
n
Re{A[n]}g(t
nT)
Im{A[n]}g(t
nT)
Saltos de fase
I
I
±90o : cambia sI (t) o sQ (t)
180o : cambian sI (t) y sQ (t) simultáneamente
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
5 / 51
Modulación QPSK
sI (t)
1 .....................................
.......................................
......................................
...
...
...
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..
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...
.
...
...
...
...
.
...
...
...
....................................
..........................................................................
0
sQ (t)
-1
0
1
1 ......................................
0
-1
0
2.
2
3
1
2
3
1
2
3
t/T
4
5
6
4
5
6
4
5
6
...........................................................................
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.........................................................................
....................................
t/T
x(t)
..
..
..
.. ..
..
..
.. ..
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.. ..
... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .
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0 .... .... .... .... ........ .... .... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... ....
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-2
0
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
t/T
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
6 / 51
Modulación QPSK con desplazamiento temporal (OQPSK)
Se eliminan los saltos de 180o
I
Evitar que coincidan las transiciones de sI (t) y sQ (t)
Señal OQPSK
I
I
I
Se retarda la componente en cuadratura T/2
Saltos sólo de ±90o
Saltos más frecuentes (cada T/2)
p
p
x(t) = 2 · sI (t) · cos(!c t)
2 · sQ (t) · sen(!c t)
X
sI (t) =
Re{A[n]} · g(t nT)
sQ (t) =
X
n
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
n
Im{A[n]} · g(t
nT
Comunicaciones Digitales
T/2)
Modulaciones angulares
7 / 51
Modulación QPSK
sI (t)
1 .....................................
.......................................
......................................
...
...
...
...
...
...
...
...
..
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...
.
...
...
...
...
.
...
...
...
....................................
..........................................................................
0
sQ (t)
-1
0
1
1 ......................................
0
-1
0
2.
2
3
1
2
3
1
2
3
t/T
4
5
6
4
5
6
4
5
6
...........................................................................
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.........................................................................
....................................
t/T
x(t)
..
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.. ..
..
..
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... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .
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0 .... .... .... .... ........ .... .... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... ....
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-2
0
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
t/T
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
8 / 51
Modulación OQPSK - Retardo de sQ (t)
sI (t)
1 ......................................
.......................................
......................................
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.
.
.
......................................
...........................................................................
0
sQ (t)
-1
0
1
1 ........................................................
0
-1
0
2.
1
2
3
2
3
2
3
t/T
4
5
6
4
5
6
4
5
6
...........................................................................
...
...
...
...
...
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
....................
.......................................................................
t/T
x(t)
..
..
.. .. .. ..
...... ........ ........ . ............
........
.
... .... ..... .... .... .... ..... .... ..... .... ..... .... .....
.
.
.
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.
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0 .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ............ .... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... ....
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-2
0
1
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
t/T
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
9 / 51
Modulación QPSK vs OQPSK
..
.. .. . .. ..
..
...
...
... .. .. ..
... ...
......... ......... .................. ......... ......... .........
............... ........ ........ ........ ......... .................
... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. ... .. ...
... .. .. .... ...
... ... ... ... .. ... ...... ... ... ... ... ... ... ... . .... ....... ..... .... ..... .... ..... .... ..... ..... ..... .... .... ..... .
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... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......... ... ... ... ... ...
0 ... ... ... ... ...... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ...
... .. ... .. ..... .. ... ... .. .. .. ... .. ... ....... .. ... ... .. ... .. ... .. ..... ... ... .. .. ... ..
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... ... ... ... .... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...... ... ... ...
... ... .. ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... .. ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ...
............ ......
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .......... ..... .....
.
.
-2
............... QPSK
............... OQPSK
5
0
3
6
1
2
4
t/T
x(t)
2
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
10 / 51
Espectro de la señal OQPSK
Definición
xI (t) =
p
2sI (t) cos(!c t), xQ (t) =
p
2sQ (t) sen(!c t)
Espectro de cada componente (sk , k 2 {I, Q})
Sxk (j!) =
SsI (j!) =
1⇥
Ss (j!
2 k
j!c ) + Ss⇤k ( j!
j!c )
⇤
E{Re{A[n]}}
E{Im{A[n]}}
|G(j!)|2 , SsQ (j!) =
|G(j!)|2
T
T
Espectro OQPSK
Es h
Sx (j!) =
|G(j!
2T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
2
j!c )| + |G( j!
Comunicaciones Digitales
j!c )|
2
i
Modulaciones angulares
11 / 51
Receptores para modulaciones de fase PSK
y(t)
v(t)
- @n 6
e j!c t
q R
2 (n+1)T
T
nT
•dt
q[n]
-
Â[n]
-
Decisor
cos(!c t)
y(t)
?
- @n - @n 6
sen(!c t)
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
q R
2 (n+1)T
•dt
q R
2 (n+1)T
•dt
T
T
nT
nT
Re{q[n]}
q[n]
Comunicaciones Digitales
- Decisor
Im{q[n]}
-
Modulaciones angulares
12 / 51
Â[n]-
Receptores para modulaciones OQPSK
Hay que tener en cuenta el retardo de T/2 en la componente en
cuadratura: retardo en el correlador
cos(!c t)
y(t)
?
- @n -
q R
2 (n+1)T
T
- @n 6
sen(!c t)
nT
•dt
q R
2 (n+1)T+T/2
T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
nT+T/2
Re{q[n]}
q[n]
•dt
- Decisor
Im{q[n]}
-
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
13 / 51
Efecto de un receptor no coherente en modulaciones PSK
En un receptor no coherente, las fases de las portadoras
usadas para demodular es distinta de la fase de las
portadoras utilizadas en el transmisor para modular
I
Diferencia de ✓ radianes
El efecto de esta diferencia de fase es que la constelación
recibida está rotada ✓ radianes
a...1............................................................. a
.....s 0
..
..
....s
....
....
...
..
...
..
...
...
..
..
..
..
..
..
..
.
...
...
...
.
..
...
...
....
.
.
.
.....
.....
.......
.......
.........
...........................................
s
a2
I
I
Rs
a3
a...1.............s................................................... a
.....c 0
...
......
....
....c
...
...
.... .........✓
..... ....
...s
.. .
..... ..
..
...
..... ..
..
.
..... ..
..
.......
..
...
R ........
..
.
s
...
.
...
..
..
...
.. .
...
.
....
...
......
......
........
.......
.
.
.
............
.
.
.
.
.
...........................
c
a2
c
s a3
Este efecto puede afectar seriamente al rendimiento
Sin embargo, receptores no coherentes tienen menor coste
F
Modulaciones PSK diferenciales (DPSK) permiten usar
receptores no coherentes
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14 / 51
Â[n]-
Moduladores de fase diferencial
No requieren un receptor coherente
Modulación PSK con codificación diferencial
1] +
[n] = [n
Bb [`]
-
Codificador
- m
[n]
A[n]
[n] - p
- g(t)
Es · ej(·)
[n]
6
z
x(t)
..
- .........h
..
6
s(t)
p
1
2 · ej!c t
Codificador para modulación M-ária (M sı́mbolos)
⇢
2⇡
2⇡(M 1)
[n] 2 0,
,··· ,
M
M
Asignación binaria se realiza sobre
⇡
[n]
0
2
Ejemplo: 4-PSK
Bits
00 10
[n]
⇡
11
3⇡
2
01
(Codificación Gray)
Initialización: selección de un valor arbitrario (conocido) para [ 1]
I
No hay propagación de errores debido a la inicialización
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Modulaciones angulares
15 / 51
Demodulador PSK (Diferencial)
y(t) ✏ v(t) p
-@
2f (t)
@
6
e j!c t
q(t)
q[n]
?
t = nT
q[n] ✏ q0 [n] Decisor Â[n] Cálculo
-@
@
PSK
Fase
6
-z
ˆ
e j✓
Receptor Coherente
q[n]
-z
1
- (·)
-
✏ ˆ [n]
-
6
1
✏
- @ - Cálculo - Decisor
@
Fase
6⇤
q [n 1]
⇤
ˆ [n]
-
Receptor DPSK
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16 / 51
Receptor DPSK
Observación
I
p j(
q[n] = Es e
+ z[n]
[n]+✓)
Observación anterior conjugada
⇤
q [n
Multiplicador
⇤
q[n] ⇥ q [n
Decisión
p
1] = Es · e
j( [n]
1] =Es · e
p
+ Es e
j( [n 1]+✓)
[n 1])
p
+ Es · ej(
j( [n 1]+✓)
1]
[n]+✓)
· z⇤ [n
· z[n] + z[n] · z⇤ [n
ˆ [n] = \{q[n] ⇥ q⇤ [n
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+ z⇤ [n
Comunicaciones Digitales
1]
1].
1]}
Modulaciones angulares
17 / 51
Probabilidad de error para DPSK
Probabilidad de error usando receptores coherentes
Pe ⇡ 2 · PPSK
e
Un error en un sı́mbolo decidido Â[n] afecta a dos incrementos de fase
[n] y
[n + 1]
Probabilidad de error con receptores no-coherentes
I
Estadı́stico para la decisión
q[n] ⇥ q⇤ [n 1] p
p
= Es · e|j( [n] {z [n 1])}
Es
Fase [n]
+ ej(
[n]+✓)
· z⇤ [n
z[n] · z⇤ [n
p
+
Es
I
j( [n 1]+✓)
1]
· z[n]
Términos de ruido (tres)
F
F
I
1] + e
El último es despreciable para Es / z2 alto
Los otros dos: independientes, circularmente simétricos
Relación señal a ruido: pérdida de 3 dB
F
F
Señal: Es
Ruido: 2 z2
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18 / 51
Modulación por desplazamiento de frecuencia (FSK)
Información: pulsos de frecuencia discreta de una portadora
M pulsos (para mapear M sı́mbolos)
gi (t) = sen(!i t) · wT (t),
i = 0, 1, · · · , M
1
Codificador: define el ı́ndice del pulso transmitido en el instante n
A[n] 2 {i = 0, 1, · · · , M
Señal FSK en el dominio del tiempo
X
x(t) = K ·
gA[n] (t
1}
nT)
n
FSK de fase continua (CPFSK)
I
Continuidad de fase: pulsos con un número entero de perı́odos en T segundos
Frecuencias: !i =
I
2⇡
⇥ Ni ,
T
Ni 2 Z,
i = 0, · · · , M
1
Ancho de banda mı́nimo: Ni consecutivos (espectro de gi (t) está en torno a !i )
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Modulaciones angulares
19 / 51
Formas de onda CPFSK - Ejemplo para M = 4
Pulsos CPFSK para M = 4 (un posible ejemplo)
g0 (t) - !0 = 2⇡
T
6 ...
... ....
T
.. .. .......
.... ...-t
.........
g1 (t) - !1 = 4⇡
T
6.
.....
......
... .... .... .... .T... .. ... ..
.....
..... t
g2 (t) - !2 = 6⇡
T
6
.
.... .... .....
... ..... ..... .... .... .... T.... ... .... .. ... .. t
.. ... ....
g3 (t) - !3 = 8⇡
T
6
.
.... .... .... ....
... ..... .... ..... .... ..... .... ..... T.... .. ... .. ... .. ... .. t
... ... ... ...
Forma de onda para secuencia de datos
n
A[n]
x(t)
6
...........
.
..b . ......
.
0
0
0
1
3
2
1
3
2
4
1
5
3
... ... ... ... .....
.....
..... ... ... ... ...
.... .... ..... .....
....b. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...b.. ..... ..... ..... ....b. ..... ..... ..... .... ..... ...b.. ..... ..... ..... ....b. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... ... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ....b
......... ... ... ... ... .....
..... ... ... ...
.....
..... ... ... ... ...
T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
2T
3T
Comunicaciones Digitales
4T
5T
Modulaciones angulares
6T
20 / 51
Ortogonalidad de los pulsos CPFSK
Producto escalar entre dos pulsos
Z T
hgi (t), g` (t)i =
sen(!i t) sen(!` t) dt
0
Z
1 T
=
cos((!i !` ) · t) dt
| {z }
2 0
(Ni N` ) 2⇡
T
1
2
Z
Pulsos CPFSK son ortogonales
T
0
cos((!i + !` ) · t) dt = 0
| {z }
(Ni +N` ) 2⇡
T
Funciones base ortonormales (dimensión M)
r
2
sen(!i t) · wT (t) i = 0, 1, · · · , M
i (t) =
T
1
Señal CPFSK como expansión en la base ortonormal
X
p
x(t) = Es ·
nT)
A[n] (t
n
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
21 / 51
Espectro de la señal FSK
La media de la señal es periódica
Espectro discreto (espectro de la media periódica)
2
M
X1
X ✓
2Es 1
Sxd (j!) =
Gi (j!)
!
T (MT)2
i=0
k
2⇡k
t
◆
Espectro continuo
8
M 1
2Es 1 < X
Sxc (j!) =
|Gi (j!)|2
T MT :
i=0
1
M
M
X1
FSK - Densidad espectral de potencia
i=0
2
Gi (j!)
9
=
;
Sx (j!) = Sxc (j!) + Sxd (j!)
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
22 / 51
Receptores para FSK
Receptor coherente con filtros adaptados o correladores
✓r ◆
Es
Pe = Q
N0
Efecto de los errores de fase - Ejemplo: n = 0, A[n] = i, error de fase ✓
r
2Es
y(t) =
· sen(!i t + ✓) · wT (t)
T
Salida del demodulador de ı́ndice ` (producto escalar de y(t) con ` (t))
r
Z T
Z Tr
2Es
2
q` [0] =
y(t) · i (t) dt =
· sen(!i t + ✓) ·
· sen(!` t) dt
T
T
0
0
p Z T
Es
=
[cos((!i !` )t + ✓) cos(!i + !` )t + ✓)] dt
T 0
p
= Es · cos(✓) · [i `].
I
I
I
p
Valor ideal: Es
Término de atenuación: cos(✓)
Necesidad de receptores coherentes
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
23 / 51
Receptor coherente FSK binaria
-
q0 [n]
0 ( t)
-
y(t)
-
1(
t)
q1 [n]
Máximo
B̂[n]
-
-
?
t = nT
Receptor Coherente
- h0 (t)
y(t)
- h1 (t)
q0 [n]
- Detector
Envolvente
- Detector
Envolvente
q1 [n]
Máximo
B̂[n]
-
-
?
t = nT
Receptor Incoherente
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
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Modulaciones angulares
24 / 51
Receptor incoherente para FSK (ley cuadrática)
cos(!0 t)
-
y(t)
-
?
✏
-@
@
- R (n+1)T · dt - (·)2
nT
? r0 [n]
✏
-
✏
-@
- R (n+1)T · dt - (·)2
@
nT
6
sen(!0 t)
6
cos(!1 t)
-
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
?
✏
-@
@
- R (n+1)T · dt - (·)2
nT
? r1 [n]
✏
-
✏
-@
- R (n+1)T · dt - (·)2
@
nT
6
sen(!1 t)
Comunicaciones Digitales
6
Modulaciones angulares
25 / 51
FSK como desplazamiento en frecuencia
Definición de frecuencia central
!0 + !M 1
⇡
!c =
= · C, C 2 Z, C impar
2
T
I
I
⇡
T
Frecuencia del pulso del sı́mbolo en el instante discreto n
⇡
!c + I[n] ·
T
Valor de la frecuencia central !c : múltiplo impar de
Codificador
I[n] 2 {±1, ±3, · · · , ±(M
1)}
Expresión FSK como desplazamientos desde !c
r
⇣
2Es X
⇡ ⌘
x(t) =
·
sen !c t + I[n] ⇥ · t wT (t
T
T
n
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
nT)
Modulaciones angulares
26 / 51
Modulación MSK (Minimum shift keying)
Información: cambios de frecuencia en la frecuencia de una portadora
Mı́nima separación de frecuencia entre portadoras ortogonales
Producto escalar de pulsos gi (t)
hgi , g` i =
Z
T
0
sen(!i t) · sen(!` t) dt
Z
1 T
1
=
cos[(!i !` )t] dt
cos[(!i + !` )t] dt
2 0
2
T sen[!i !` )T] T sen[!i + !` )T]
=
2 (!i !` )T
2 (!i + !` )T
Separación mı́nima (sistemas de banda estrecha)
I
!i
Asunción:
!` =
sin[(!i +!` )·T]
(!i +!` )
se puede despreciar (denominador elevado)
⇡
⇥ Ni,` , con Ni,` 2 Z,
T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
i, ` = 0, 1, · · · , M
Comunicaciones Digitales
1,
i 6= `
Modulaciones angulares
27 / 51
Modulación MSK (II)
Diferencias clave con la modulación CPFSK
I
Separación entre frecuencias consecutivas es la mitad para MSK
F
F
I
MSK: ! = !i !i 1 = ⇡T
CPFSK: ! = !i !i 1 =
2⇡
T
Valores para !i no restrigidos a múltiplos enteros de
CPFSK (ni tampoco a ser múltiplos de ⇡T )
F
F
2⇡
T
como en
Selección de frecuencias no garantiza automáticamente continuidad de fase
Es preciso introducir memoria para tener continuidad de fase
Señal MSK en notación con frecuencia central
x(t) =
I
I
r
⇣
⌘
2Es X
⇡
·
sin !c t + I[n] ⇥
t + ✓[n] · wT (t
T
2T
n
nT)
Codificador: I[n] 2 {±1, ±3, · · · , ±(M 1)}
Continuidad de fase: se introduce el término de memoria ✓[n]
⇡n
✓[n] = ✓[n 1] +
· (I[n 1] I[n]) ,
mod 2⇡
2
Estimación recursiva de la fase acumulada al final de cada intervalo de sı́mbolo
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
28 / 51
Formas de onda MSK - Ejemplo para M = 4
Pulsos para M = 4 (un posible ejemplo)
g0 (t) - !0 = 2⇡
T
6 ...
.... .....
T
.. . ......
.... ....-t
..........
g1 (t) - !1 = 3⇡
T
g2 (t) - !2 = 4⇡
T
6..
........
... ....
... .... .... ...T.... ..
t
......
n
0
1
T
0
... ...
...
2T
3T
6
.
...... ...... ......
... .... .... ..... .... ...T... .. .. ..
t
.... ....
.....
......
.... ..... .... .... T.... ... ... ... t
.....
....
2
Forma de onda para A[n] 0 3 1
x(t).
... ... ... ......
...... ....
........
6
.
..b .. ....... ...b.. ..... .... ..... .... .....b.. ..... ..... ....b.. ....
. .
.
.
..... .... ... .. ... ..
.....
.. ..
g3 (t) - !3 = 5⇡
T
6.
3
2
4
1
5
3
.... ......
...... ... ... .....
..... .... ...b.. ..... ..... ....b.. ..... .... ..... .... . .. ... ..b
... .. ... .. ... ...
.
.
.
.
... ...
...
...
..
5T
4T
6T
Sin memoria, saltos de fase pueden darse en nT (cuando cambia el sı́mbolo)
6
.........
..b... ......
.
... ... ...
.... .... ......
..... ... ...
......
....b. ..... ..... ..... ..... .....b ..... ..... ...b.. ..... ..... ..... ...b. ..... ..... .....b ..... ..... ..... ..... ..... .... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ... ... .. ... .. ... ....b
....
....
......
.. .. ..
..
..
.. .. ....
x(t)
0
T
3T
2T
5T
4T
6T
Identificación de la fase al final de cada intervalo de sı́mbolo (✓[n]) permite la continuidad
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
29 / 51
Formas de onda MSK - Ejemplo para M = 4 (II)
Otro ejemplo con frecuencias que no son múltiplos enteros de
g0 (t) - !0 = 2,3 ⇡
T
6..
.. ...
...T.. .. ......
.
... ...
..........
t
g2 (t) - !2 = 4,3 ⇡
T
g1 (t) - !1 = 3,3 ⇡
T
6..
n
0
1
g3 (t) - !3 = 5,3 ⇡
T
6
.
....
....
.... .... ..... ..... T... .. ...
.......
. t
6
.
.... .
...
.... ..... ..... .... ....T... .. ... ..
..... ...... t
2
3
4
⇡
T
... ... ...
.... .... .... .... ..... .....T... ... ... .. ..
...... ..... .. t
5
Forma de onda para A[n] 0 3 1 2 1 3
x(t)
..
... ..
...
... .. . ..
....
.. . .. ...
6
..b... ....... .......bb. ..... .......... .... ..... .b... ..... ..... ..... ..b... ..... ..... ..... .....bb... ..... ..... ..... ..b. ..... .......... .... ...... .. ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. .. ... .. ... ... .. ... .. .....b
.........
.b ... ... b
.b .... .....
......
... ... b ......
T
0
2T
3T
4T
5T
6T
..
..
...
...
....
... ... ..
...b ... ...
... ....b.... .... .... ..... .... ..... ..... ..... .....b ..... ..... ..... ..... .... ..... .... ..... .... .... .... .... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ...b .. ... .. ... .. ... .. ... .b
.........
.... ... ....b
......
...... ... .... ...
.... .... ......
Sin memoria, saltos de fase pueden darse en nT (cuando cambia el sı́mbolo)
....
6
.... .....
x(t)
..
0
T
2T
3T
4T
5T
6T
Identificación de la fase al final de cada intervalo de sı́mbolo (✓[n]) permite la continuidad
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Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
30 / 51
Espectro MSK
Expresión alternativa para MSK
X
p
x(t) = 2Es cos(!c t)
I[n] cos(✓[n])( 1)n/2 g(t
+
p
nT)
n par
2Es sen(!c t)
X
cos(✓[n])( 1)n/2 g(t
nT + T)
n par
Similar a OQPSK
I
I
Nuevos sı́mbolos
q
⇡t
Pulso: g(t) = T1 sen 2T
w2T (t),
⇣
⌘2
cos(!T)
2
2
|G(j!)| = 16T⇡ ⇡2 4!2 T 2
Espectro MSK
✓
Sx (j!) = 8Es ⇡ 2
cos[(! !c )T]
⇡ 2 4(! !c )2 T 2
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
◆2
+ 8Es ⇡ 2
Comunicaciones Digitales
✓
cos[(! + !c )T]
⇡ 2 4(! + !c )2 T 2
Modulaciones angulares
◆2
31 / 51
Receptores para MSK
Demodulador basado en el receptor ML para FSK
Demodulador basado en el ML para OQPSK
Probabilidad de error
✓r ◆
Es
Pe = 2Q
N0
I
I
No se tiene en cuenta la memoria del sistema
Demodulador óptimo más complejo
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
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Modulaciones angulares
32 / 51
Receptor MSK binario
Receptor MSK sub-óptimo basado en receptor para FSK
donde la evaluación del valor absoluto para cada posible
frecuencia se introduce para considerar diferentes fases
iniciales
-
q0 [n]
0 ( t)
- abs(·)
y(t)
-
1(
q1 [n]
t)
?
Maximum
B̂[n]
-
- abs(·)
t = nT
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
33 / 51
Modulaciones de fase continua (CPM)
Familia que incluye a la CPFSK y MSK
Caracterı́sticas básicas
I
I
I
Envolvente constante
Continuidad de fase
Reducción del ancho de banda: suavizando la evolución de
la fase instantánea
Señal CPM: expresión analı́tica en el dominio temporal
r
2Es
x(t) =
sen [!c t + ✓0 + ✓(t, I)]
T
I
I
I
I
I: Secuencia de sı́mbolos transmitidos
!c : frecuencia nominal de la portadora
✓0 : fase inicial de la portadora
Es : energı́a transmitida durante un perı́odo de sı́mbolo
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
34 / 51
Generación de la señal CPM
Codificador: I[n] 2 {±1, ±3, · · · , ±(M
Señal PAM en banda base
s(t) =
X
n
1)}
I[n] · g(t
nT)
Pulso g(t) rectangular de duración T y normalizado
Normalización:
Z
1
g(t) dt =
1
1
2
Señal CPM: frecuencia instantánea !c + 2 · !d · T · s(t)
Fase instantánea para esa frecuencia (integral de la frecuencia)
Z t
✓(t, I) = 2 · !d · T ·
s(⌧ ) d⌧
1
I
!d : desviación de frecuencia de pico
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
Expresión CPM en el2 dominio temporal
x(t) =
r
z
6
Z
6
2Es
6
· sen 6!c t + ✓0 + 2 · !d · T ·
6
T
4
✓(t,I)
t
1
}|
X
I[n] · g(⌧
|
n
{z
s(⌧ )
35 / 51
3
{7
7
7
nT) d⌧ 7
7
5
}
Fase ✓(t, I) en el intervalo [nT, (n + 1)T] (intervalo asociado a I[n])
Z t
✓(t, I) = 2 · !d · T ·
s(⌧ ) d⌧ = ✓[n] + ✓(t, n)
1
I
✓[n]: fase acumulada hasta t = nT:
F
Debida a los sı́mbolos transmitidos anteriormente (hasta I[n
✓[n] = !d · T ·
I
n 1
X
1])
I[m]
m= 1
✓(t, n): fase incremental desde nT hasta t:
F
Debida al sı́mbolo actual I[n]
✓(t, n) = 2 · !d · T · I[n] · qg (t
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
nT), siendo qg (t) =
Comunicaciones Digitales
Z
t
g(⌧ ) d⌧
1
Modulaciones angulares
36 / 51
Expresión CPM en el dominio temporal - Índice de
modulación
Expresión alternativa introduciendo un parámetro diferente
(que reemplaza a la desviación de frecuencia de pico)
Definición del ı́ndice de modulación h:
T
h = !d ·
⇡
Valor de fase asociado al intervalo para I[n]:
I
✓[n]: fase acumulada hasta t = nT:
✓[n] = ⇡ · h ·
I
n 1
X
I[m]
m= 1
✓(t, n): incremento de fase desde nT hasta t:
✓(t, n) = 2 · ⇡ · h · I[n] · qg (t
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
nT)
Modulaciones angulares
37 / 51
Identificación de CPFSK binaria como CPM
Expresión analı́tica para una CPFSK binaria
r
⇣
2Es X
⇡t ⌘
x(t) =
sen !c t + I[n]
wT (t
T n
T
CPFSK binaria como CPM: !d =
⇡
T,
nT).
h=1
Considerando ✓[0] = 0
✓(t, I) = ⇡
n 1
X
I[m] + 2⇡I[n]
m=0
I
n 1
X
nT)
=⇡
I[m]
2T
n⇡I[n] +
m=0
⇡t
I[n]
T
Considerando que la expresión
⇡
n 1
X
m=0
I
(t
I[m]
n⇡I[n] = K · 2⇡, K 2 Z
La fase ✓(t, I) es, en módulo 2⇡
⇡t
⇡t
✓(t, I) = I[n] = ±
T
T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
38 / 51
Identificación de la MSK como una CPM
Señal MSK
x(t) =
r
⇣
⌘
2Es X
⇡t
sen !c t + I[n]
+ ✓[n] wT (t
T n
2T
nT).
Identificación como CPM
!d =
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
⇡
,
2T
h=
1
2
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
39 / 51
Árboles de fase en modulaciones CPM
Representan la posible evolución temporal de la fase desde un punto
inicial
Transición en el intervalo de sı́mbolo
I
Encremento de fase en cada intervalo
✓((n + 1)T)
I
✓(nT) = ✓[n + 1]
✓[n] = ⇡ · h · I[n]
Forma para moverse desde el valor de fase en el inicio del
intervalo hata el valor de fase al final del intervalo
F Proporcional a la integral del pulso g(t), i.e., q (t)
g
✓(t, n) = 2 · ⇡ · h · I[n] · qg (t
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
nT)
Modulaciones angulares
40 / 51
Ejemplo de árbol de fase - pulso rectangular
Ejemplo: pulso rectangular
g(t) =
(
1
2T ,
0,
0t<T
, qg (t) =
en otro caso
0.25
0
0
0.5
1.5
g(t) dt =
1
t<0
0t<T
t T
t
,
2T
>
:
1/2,
..........................................
.....
.
....
.
....
.
0.25
....
.
....
..
....
.
..
.
0
0.5
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.........................................
1t
t
qg (t)
g(t) · T
0.5...........................................
Z
8
>
<0,
0
2
0.5
T
1t
1.5
2
T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
41 / 51
Ejemplo de árbol de fase - pulso rectangular - binario
Secuencia resaltada: I[0] = +1, I[1] =
1, I[2] = +1, I[3] = +1
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3⇡h
...................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..............
.
.............
..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2⇡h
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
...........
.
..............
.
.
.
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............
............
.
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⇡h
............. ........................
......... . ........................
.
.
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.
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.
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.
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.
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.
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.
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.
.
..............
..............
......................................
.............
..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 ...............
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
........
.
.
.
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.
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.
.
.
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.
..............
.............. .................
....................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
..............
⇡h
........... ..........................
.
.
..............
.
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..............
.............
.
...........
.
.
.
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.
...............
2⇡h
.......
.
.
.
.
.
.
.
..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............. ..............
....................
3⇡h
..............
..............
...............
...
4⇡h
✓(t)
4⇡h
0
0.5
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
1
1.5
2
t
T
2.5
Comunicaciones Digitales
3
3.5
4
Modulaciones angulares
42 / 51
Ejemplo de árbol de fase - pulso rectangular - cuaternario
Modulaciones
CPMI[0]
- Árbol
4-ario
Secuencia resaltada:
= +3, de
I[1] fases
= +1, -I[2]
= 1
10⇡h
✓(t)
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8⇡h
.............. .....................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
6⇡h
.
.
.
.
.
.
.
................... ... ................................
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........................................................................................
.
.
.
.
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.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
4⇡h
............................................................................. ...............................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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. ..
..
.............. .. ......................................................................................................................................................................................................................................................... ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2⇡h
.
.
. .
.
.... . ................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....................................................................................................
.
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.
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.
.
.
0 . ...................................................
...................................................................................................
.......................................................................................................................................................
...............
...............
............................................................................................................................................................................................ .
.
..
.
.
.
...............
2⇡h
.......................................................................................................................... ....................................................................................................................................
............................................................................. ................................................................................
...............
... ............................................... ..............
4⇡h
.
...............
.
............... ...........................................................................................................................
.
.
.
.
.
............................................ ...............
6⇡h
............... ................................................
...............
...............
8⇡h
...............
...
10⇡h
0
0.5
1.5
1
Grados en Ingenierı́a
(UC3M)
IT (UC3M)
2.5
2
t
T
Comunicaciones Digitales
3
Modulaciones
Modulacionesangulares
no lineales
Comunicaciones Digitales
43
39/ /51
47
Árbol de fase - Ejemplo - Pulso triangular
Ejemplo: pulso triangular
g(t) =
(
t
,
T2
0,
0t<T
, qg (t) =
en otro caso
.
.........
.. .
.... ....
.. ..
.... ....
...
.
.
.
...
.
0.5
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
.........................................
.
0 .
1t
1.5
,
2T 2
>
:
1/2,
t<0
0t<T
t T
.........................................
.....
..
....
.
.....
.
0.25
.....
.
.....
..
.
.
..
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0 .......
2
0
T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
g(t) dt =
1
t2
qg (t)
g(t) · T
0.5
t
0.5
1
0
Z
8
>
<0,
0.5
1t
1.5
2
T
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
44 / 51
Árbol de fase - Ejemplo - Pulso triangular - binario
Secuencia resaltada: I[0] = +1, I[1] =
1, I[2] = +1, I[3] = +1
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3⇡h
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2⇡h
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⇡h
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.............................................
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0 ..
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⇡h
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2⇡h
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..................
3⇡h
...........
.......
...
4⇡h
✓(t)
4⇡h
0
0.5
1.5
1
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
2.5
2
t
T
3
Comunicaciones Digitales
3.5
4
Modulaciones angulares
45 / 51
Árbol de fases - Ejemplo - Pulsos más suaves
Ejemplo: pulso en coseno alzado (L = 1)

1
g(t) =
1
2T
cos
✓
2⇡t
T
◆
.....
.... ....
. ..
.... .....
. ...
...
....
...
...
...
0.5 ...
...
....
...
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...
....
...
...
...
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...
....
...........................................
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0
1t
1.5
⇤
t<0
0t<T
t T
..............................................
.....
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0.25
....
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0
2
0
T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
sin
2⇡t
T
qg (t)
g(t) · T
0.5
T
2⇡
0.5
1
0
8
>
<0, ⇥
1
wT (t), qg (t) = 2T
t
>
:
1/2,
0.5
1t
1.5
2
T
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
46 / 51
Árbol de fases - Ejemplo - Pulsos más suaves - binario
Secuencia resaltada: I[0] = +1, I[1] =
1, I[2] = +1, I[3] = +1
.......................
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3⇡h
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2⇡h
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⇡h
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0 ..
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⇡h
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.......
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..... .........
2⇡h
...... ......
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.....
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..........................................
3⇡h
.......
.......
........................
4⇡h
✓(t)
4⇡h
0
0.5
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
1
1.5
2.5
2
t
T
3
Comunicaciones Digitales
3.5
4
Modulaciones angulares
47 / 51
CPM de respuesta parcial
El pulso g(t) dura L perı́odos de sı́mbolo (L > 1)
La fase ✓(t, I) en el intervalo [nT, (n + 1)T]
✓(t, I) =2⇡h
n
X
m= 1
I[m] · qg (t
mT)
=✓[n] + ✓(t, n)
I
✓[n]: fase acumulada hasta nT debida a los pulsos que han
finalizado
n L
X
✓[n] = ⇡h
I[m]
m= 1
I
✓(t, n): contribución de los pulsos que no han finalizado
✓(t, n) = 2⇡h
n
X
m=n L+1
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
I[m] · qg (t
mT)
Modulaciones angulares
48 / 51
Pulsos para CPM de fase parcial
Pulsos en coseno alzado

1
g(t) =
1
2LT
I
cos
✓
2⇡t
LT
I
wLT (t)
Suavizan las transiciones de fase
Gaussian MSK (GMSK)
 ✓
◆
1
2⇡ (t T/2)
p
g(t) =
Q
2T
ln 2
I
◆
Q
✓
2⇡ (t + T/2)
p
ln 2
◆
Empleado en GSM ( = 0,3) y DECT ( = 0,2)
Pulso rectangular filtrado con respuesta gaussiana
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
49 / 51
Árbol de fases - CPM de fase parcial - Ejemplo
Ejemplo: pulso en coseno alzado (L = 2)

1
g(t) =
1
4T
cos
✓
2⇡t
2T
◆
............
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...
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...
.....
...
.
...
....
...
...
.....
...
0.25
..
...
...
...
...
...
...
.....
...
.
.
...
.
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.......
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0 ...
0
0.5
1t
1.5
sin
2⇡t
2T
⇤
t<0
0t<T
t T
...............
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0.25
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...
0 ..............
qg (t)
2
0
T
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
2T
2⇡
0.5
g(t) · T
0.5
8
>
<0, ⇥
1
w2T (t), qg (t) = 4T
t
>
:
1/2,
0.5
1t
1.5
2
T
Comunicaciones Digitales
Modulaciones angulares
50 / 51
Árbol de fases - CPM de fase parcial - Ejemplo - binario
Secuencia resaltada: I[0] = +1, I[1] =
1, I[2] = +1, I[3] = +1
4⇡h
✓(t)
.........
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3⇡h
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2⇡h
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⇡h
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..................................................
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0 ..
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⇡h
..................................................
...............
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.............. .... ......................
.......................
...............
2⇡h
...............
......................................................
...............
3⇡h
..............
...
4⇡h
0
0.5
Grados en Ingenierı́a (UC3M)
1
1.5
2
t
T
2.5
Comunicaciones Digitales
3
3.5
4
Modulaciones angulares
51 / 51