Densidad espectral de potencia

Espectro de PAM banda base
Señal PAM banda base
s(t) =
X
n
Sea {A[n]}1
n=
aleatorio)
I
I
I
I
1
A[n] · g(t
nT)
una secuencia de variables aleatorias (proceso
E[A[n]] = m
E[|A[n]|2 ] = Es
E[A[k] · A⇤ [j]] = RA [k j] = RA [j k]
La densidad espectral de potencia es
j!
SA (e ) =
1
X
n= 1
RA [n] · e
j!n
Sea g(t) cualquier señal determinista con transformada de
Fourier G(jw)
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Teorema de Wiener-Khinchin
Densidad espectral de potencia

|XT (j!)|2
E[|XT (j!)|2 ]
def
SX (j!) = E lı́m
= lı́m
.
T!1
T!1
T
T
Teorema de Wiener-Khinchin
Si para cualquier valor finito ⌧ y cualquier intervalo A, de longitud
|⌧ |, la autocorrelación del proceso aleatorio cumple
Z
RX (t + ⌧, t)dt < 1,
A
la densidad espectral de potencia de X(t) es la transformada de
Fourier de
Z
1 T/2
def
< RX (t + ⌧, t) > = lı́m
RX (t + ⌧, t) · dt.
T!1 T
T/2
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Corolarios Teorema de Wiener-Khinchin
Corolario 1: Si X(t) es un proceso estacionario y ⌧ RX (⌧ ) < 1
para todo ⌧ < 1, entonces
SX (j!) = TF[RX (⌧ )].
Corolario 2: Si X(t) es ciclostacionario y se cumple que
Z
entonces
To
0
RX (t + ⌧, t)dt < 1,
eX (⌧ )],
SX (j!) = TF[R
donde
eX (⌧ ) = 1
R
To
Z
To /2
To /2
RX (t + ⌧, t) · dt,
y To es el perı́odo del proceso cicloestacionario.
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Espectro de una PAM banda base
X(t) =
1
X
A[n]g(t
nT)
n= 1
mX (t) = E
"
X
#
A[n]g(t
nT) =
n
k
=
k
=
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nT) = m
g(t
nT)
n
!0
kT) @
E[A[k]A⇤ [j]]g(t
X
X
A⇤ [j]g⇤ (t + ⌧
j
kT)g⇤ (t + ⌧
jT)
13
jT)A5
j
XX
k
E[A[n]]g(t
n
RX (t, t + ⌧ ) = E[X(t)X ⇤ (t + ⌧ )]
2
X
4
=E
A[k]g(t
XX
X
RA [k
j]g(t
kT)g⇤ (t + ⌧
jT)
j
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Cicloestacionariedad
mX (t + T) = m
X
g(t + T
nT) = m
g(t
(n
kT)g⇤ (t + T + ⌧
jT)
n
=m
X
X
1)T)
n
g(t
jT) = mX (t)
j
RX (t + T, t + ⌧ + T) =
XX
=
RA [k j]g(t + T
k
=
k
=
j]g(t
1)T)g⇤ (t
(k
(j
1)T + ⌧ )
RA [m + 1
(n + 1)]g(t
mT)g⇤ (t
nT + ⌧ )
n
XX
m
RA [k
j
XX
m
=
j
XX
RA [m
mT)g⇤ (t
n]g(t
nT + ⌧ ) = RX (t, t + ⌧ )
n
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Promedio temporal de la autocorrelación
1
R̃X (⌧ ) =
T
1
=
T
1
=
T
1
=
T
1
=
T
=
1
T
Z
Z
T
RX (t, t + ⌧ )dt
0
T
0
XX
k
1
X
RA [k
j
1
X
RA [ m]
k= 1 m= 1
1
X
RA [m]
m= 1
1
X
m= 1
1
X
j]g(t
RA [m]
1 Z
X
k= 1
Z
1
Z
kT)g⇤ (t + ⌧
T
0
g(t
(k 1)T
kT
jT)dt
kT)g⇤ (t + ⌧
g(u)g⇤ (u + ⌧
g(u)g⇤ (u + ⌧
(k + m)T)dt
mT)du
mT)du
1
RA [n]rg (nT
⌧ ),
n= 1
rg (t) = g(t) ⇤ g⇤ ( t),
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Densidad Espectral de Potencia
1
1 X
R̃X (⌧ ) =
RA [n] · rg (nT
T n= 1
⌧)
1
X
1
= rg (⌧ ) ⇤
RA [n] · (⌧
T
n= 1
nT)
1
X
1
⇤
= g(⌧ ) ⇤ g ( ⌧ ) ⇤
RA [n] · (⌧
T
n= 1
1
X
1
⇤
SX (j!) = · G(j!) · G (j!)
RA [n] · e
T
n= 1
nT)
j!nT
|G(j!)|2
=
· SA (ej!T )
T
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