File

Ejercicios típicos del tercer parcial
El tercer parcial, al igual que el parcial 1 y el parcial 2, consta de tres ejercicios, los tres primeros de
carácter “práctico” y los dos últimos de carácter “teórico”, aunque la división siempre es algo
difusa.
Para aprobar el examen se deben tener bien dos de las ejercicios “prácticos” y uno de los “teóricos”
Ecuaciónes diferenciales de primer orden a variables separables
1. La ley de enfriamiento de Newton propone que la velocidad con la que varía la temperatura
T de un cuerpo que está en un ambiente de temperatura Ta, diferente e invariable, es
proporcional a la diferencia entre la temperatura del ambiente y la temperatura del cuerpo.
Escribir el modelo matemático adaptado a la situación que se propone a continuación, luego
resolverlo para responder a la pregunta concreta: “ Al sacar un bizcocho del horno su
temperatura es de 300 ºF, a los tres minutos ha disminuido hasta 200 ºF. Sabiendo que la
temperatura del ambiente es de 70 ºF, calcular cuanto tiempo transcurre desde que se sacó el
bizcocho del horno hasta que su temperatura es de 90 ºF ¨
2. Determinar la ecuación de la familia de curvas que son las líneas del campo vectorial
F = 2xyi - x2j
3. Determinar la ecuación de la familia de curvas que son las líneas del campo F = ∇f ( x, y ) ,
donde f(x,y) = x.y + 5
4. Determinar la ecuación de la familia de curvas perpendiculares a las elipses x2 + y2/2 = C
5. Determinar la ecuación de la familia de curvas perpendiculares a las líneas de nivel de la
función z = y2 – x2
6. Resolver dy/dx + 2x(y + 1) = 0
con y(0) = 3
7. Un tanque contiene inicialmente 1000 litros de una solución con 100 Kg de sal disueltos en
agua. Entra agua pura al tanque a razón de 5 litros/seg y la mezcla, que se mantiene
uniforme, se extrae a la misma velocidad. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que queden
solamente 10 Kg de sal en el tanque?
8.
Resolver (x2 + 1).dy/dx = x siendo y(0) = 1
9. La velocidad a la que se desintegra la materia radiactiva de una muestra, en un instante
dado, es proporcional a la cantidad de materia radiactiva presente en la muestra en ese
instante. Escribir la ecuación diferencial (modelo matemático) correspondiente al anterior
enunciado y resolverla para responder a la siguiente cuestión: ¨Un espécimen de carbón
vegetal encontrado en Stonehenge resultó contener el 63% del C14 que contiene una muestra
actual de igual masa. Sabiendo que la vida media del C14 es de 5370 años, calcular la edad
del espécimen¨.
10. Resolver dy/dx = 6.e2x –y para la condición inicial y(0) = 0.
11. Un tanque contiene inicialmente 200 litros de agua en los que están disueltos 30 gramos de
sal. Una salmuera con una concentración de 1 gramo de sal por litro entra al tanque a razón
de 4 litros por minuto y la solución bien mezclada fluye del tanque a la misma velocidad.
Determinar la cantidad de gramos A(t) de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.
12. Resolver 2.x1/2.dy/dx = cos2y para la condición y(4) = π/4
13. La segunda regla de Kirchhoff aplicada a un circuito RL establece que:
L.di/dt + R.i = E(t). Hallar i (t) para el caso en que la fem E(t) es constante e igual a Eo.
14. Resolver dx/dt = 3x – x2
15. La ley de enfriamiento de Newton propone que la velocidad con la que varía la temperatura
T de un cuerpo que está en un ambiente de temperatura Ta, diferente e invariable, es
proporcional a la diferencia entre la temperatura del ambiente y la temperatura del cuerpo.
Escribir el modelo matemático adaptado a la situación que se propone a continuación, luego
resolverlo para responder a la siguiente cuestión: “ Se saca un cuerpo del horno a 300 ºF y se
lo deja enfriar en una habitación a 75 ºF. Si a la media hora su temperatura es de 200 ºF ,
calcular cuál será su temperatura después de una hora y media adicionales.”
16. Resolver y3.y` = (y4 + 1).cosx
17. La velocidad a la que se desintegra la materia radiactiva de una muestra, en un instante
dado, es proporcional a la cantidad de materia radiactiva presente en la muestra en ese
instante. Escribir la ecuación diferencial (modelo matemático) correspondiente al anterior
enunciado y resolverla para responder a la siguiente cuestión: ¨Si una sustancia radiactiva
pierde el 15% de su radiactividad en 3 días ¿cuál es su vida media?”
18. Resolver para la condición inicial dada: L.di/dt + R.i = E con i(0) = Io, donde L, R, E, Io
son constantes
19. Resolver dy/dx + 2x(y - 1) = 0
con y(0) = 2
Ecuación diferencial lineal de primer orden completa
1. Resolver dy/dx – (x2 -2y) /x = 0
2. Resolver x.dy/dx – 4y = x6.ex
3. Resolver x.dy/dx + y = 2x
4. Resolver dy/dx + 3x2y = x2
5. Resolver x2.dy/dx + x.y = 1
6. Resolver dy/dx + y/x = sen(x)
7. Resolver para la condición inicial dada: dy/dt – 3y = e2t
con y(0) = 1
Modelos matemáticos, verificación de soluciones y otros
1. Expresar la ecuación diferencial de la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m que se
desplaza verticalmente en un fluido si las fuerzas que actúan son : el propio peso P, el
empuje hidrostático E constante y de sentido opuesto al peso, y una fuerza resistente
proporcional a la velocidad y de sentido opuesto a la misma.
2. Escribir el modelo matemático correspondiente a la velocidad para el siguiente enunciado:
“La aceleración de un automóvil, en cada instante, es proporcional a la diferencia entre
180 Km/h y su velocidad en ese instante”.
3. Se denomina velocidad de propagación de una enfermedad a la relación dE/dt , donde dE es
la cantidad de personas que contraen la enfermedad en el intervalo dt.
Escribir el modelo matemático correspondiente al siguiente enunciado: “En ciertas
epidemias, la velocidad de propagación de la enfermedad en una población fija de P
personas es proporcional al producto de la cantidad de personas enfermas y que pueden
transmitir la enfermedad, por la cantidad de personas sanas que pueden ser infectadas”.
4. Se denomina velocidad de propagación de un rumor a la relación dN/dt , donde dN es la
cantidad de personas que oyen por primera vez el rumor en el intervalo de tiempo dt.
Escribir el modelo correspondiente al siguiente enunciado: “ En una población fija de P
personas, la velocidad de propagación de un rumor es proporcional al número de personas
que aún no lo escuchó”.
5. Escribir el modelo matemático correspondiente al siguiente enunciado: “ En la gráfica de
y = f(x) la rapidez de cambio, respecto de x, de la pendiente en cada punto P, es
proporcional y de signo contrario a la pendiente en ese punto”.
6. Compruebe que la función y = xex es solución de la ecuación diferencial y`` - 2y´ + y = 0
7. Compruebe que para cualquier elección de las constantes A y B, la familia de funciones
y(x) = A.e-x + B.e2x es solución de la ecuación diferencial y`` - y` - 2y = 0
8. Compruebe que y(x) = C.e-x + x – 1 es solución de la ecuación diferencial y` = x – y.
Determine la solución particular que verifica la condición inicial y(0) = 10
9. Compruebe que y(x) = x5/4 + C.x-3 es solución de la ecuación diferencial x.y` + 3y = 2x5.
Determine la solución particular que cumple la condición y(2) = 1.
10. Compruebe que la función y(x) = x2 + 1/x es solución de la ecuación diferencial
y`` - 2y/x2 = 0
11. Compruebe que la familia de funciones y(x) = ln(x + C) es solución de la ecuación
diferencial y`.ey = 1 .
Determine la solución particular que satisface la condición inicial y(0) = 0
12. Verificar cuales de las funciones enumeradas son solución de la ecuación diferencial
x.y’’ + 2y’ = 6x
a) y = x b) y = x2 + 1 c) y = x2 + 1/x d) y = x3
13. En una carrera sobre un tramo de longitud total L, la velocidad de un corredor está en todo
momento dirigida hacia la meta y es proporcional a la distancia que lo separa de la misma.
Escribir el modelo matemático que corresponde a la posición del corredor respecto de la
línea de largada.
Ecuaciones diferenciales de orden superior
1. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
y`` - 3y` + 2y = 4e2t
con
y(0) = -3; y`(0) = 5
2. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
y`` - 3y` + 2y = e-4t
con
y(0) = 1;
y`(0) = 5
3. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
x`` + 16x = cos(4t)
con
x(0) = 0;
x`(0) = 1
4. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
y`` + 16y = 0
con
y(0) = 2;
y`(0) = -2
5. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
x`` + x = cos(3t)
con
x(0) = 1;
x`(0) = 0
6. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
y`` + 4y = 9t
con
y(0) = 0;
y`(0) = 7
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
1. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
┌ x`+ y = 1
┤
con x(0) = 1; y(0) = 2
└ 4x + y` = 0
2. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
┌ x` = 3x -2y
┤
con x(0) = 1; y(0) = 1
└ y` = 3y -2x
3.
Resolver para las condiciones iniciales dadas:
┌ dx/dt = -x + y
┤
con x(0) = 0; y(0) = 1
└ dy/dt = 2x