Circunferencia

CIRCUNFERENCIA
Definición
Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado
centro. La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de
radio.
Ecuación de la circunferencia
A partir de la definición deduciremos la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el
origen de coordenadas y radio R.
Si P(x, y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es:
d ( P, O) = x 2 + y 2 = R
Elevando al cuadrado se obtiene
x 2 + y2 = R 2
que es la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio R.
Te proponemos que deduzcas la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el punto de
coordenadas C(a, b) y radio R.
Elementos distintivos de la circunferencia
Los elementos que distinguen a las circunferencias son su centro y su radio.
Gráfica de la circunferencia
Ejemplo 1:
Encuentra la ecuación de la circunferencia centrada en el punto C(2, – 3) y radio 5. Grafica.
Todo punto que pertenezca a la circunferencia debe estar a distancia 5 del punto C(2, – 3), por lo
tanto debe verificarse que:
d(P, C) = ( x − 2) 2 + ( y − (−3)) 2 = ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 5
Elevando al cuadrado se tiene:
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Ejemplo 2:
Encuentra la ecuación de la circunferencia centrada en C(1, – 6), sabiendo que el punto P(2, 3)
pertenece a la gráfica de la circunferencia.
Si el punto P está en la gráfica podemos usar este dato para hallar el radio de la circunferencia pues
R = d(P, C) =
(2 − 1) 2 + (3 − (−6)) 2 = 1 + 81 = 82
Por lo tanto la ecuación queda escrita: ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 = 82
Los elementos de esta circunferencia son el centro C(1, – 6) y el radio r = 82
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
SECANTE
TANGENTE
EXTERIOR
ELIPSE
Si buscamos ejemplos de elipses basta con pensar en las órbitas de planetas como la Tierra donde
un foco corresponde al Sol.
Definición
Una elipse es el conjunto de puntos P del plano tal que la suma de las distancias entre P y dos
puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se
denomina centro.
Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un
trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando
una elipse, como se muestra en la siguiente figura.
P
F’
F
Ecuación de la elipse
Vamos a deducir a partir de la definición, la ecuación de una elipse cuyos focos pertenecen a uno de
los ejes coordenados, digamos por ejemplo que están en el eje x, y centro en el origen de
coordenadas. Así los focos serán los puntos F’(– c, 0) y F(c, 0) y para los puntos P(x, y) que
pertenezcan a la gráfica de la elipse debe verificarse que
d(P, F’) + d(P, F) = k = 2a
o lo que es lo mismo
( x + c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 = 2a ⇔
( x + c) 2 + y 2 = 2a − ( x − c) 2 + y 2
elevamos al cuadrado ambos miembros y simplificamos y obtenemos
( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2
4a ( x − c) 2 + y 2 = 4a 2 + ( x − c) 2 − ( x + c) 2
4a ( x − c) 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 − 2 xc + c 2 − x 2 − 2 xc − c 2
4a ( x − c) 2 + y 2 = 4a 2 − 4 xc
a ( x − c) 2 + y 2 = a 2 − cx
si elevamos nuevamente al cuadrado ambos miembros de la igualdad, tenemos
a 2 ( x − c) 2 + y 2 = a 4 − 2a 2 cx + c 2 x 2
[
]
a 2 ( x − c) 2 + a 2 y 2 = a 4 − 2a 2 cx + c 2 x 2
a 2 x 2 − 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 − c 2 x 2 = a 4 − 2a 2 cx
x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y 2 = a 4 − a 2 c 2
x 2 ( a 2 − c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 )
(*)
mirando en la figura anterior el triángulo F’PF y recordando que la suma de las longitudes de dos
lados es mayor que la medida del tercer lado se tiene
d(P, F’) + d(P, F) = 2a > 2c y por lo tanto a > c > 0 , de donde se deduce que a2 – c2 > 0
teniendo en cuenta esto podemos dividir ambos miembros de la igualdad (*) por a2(a2 – c2) y
obtenemos
x2
y2
+
=1
a 2 a 2 − c2
tomando b = a 2 − c 2 la ecuación anterior queda escrita
x 2 y2
+
= 1 , llamada ecuación canónica
a 2 b2
o normal de la elipse.
Elementos distintivos de una elipse
La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une
los vértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda
perpendicular al eje mayor se denomina eje menor.
Gráfica de la elipse
Hagamos ahora la gráfica en un sistema de ejes coordenados, suponiendo que el centro de la elipse
es el origen de tal sistema.
Queda como tarea para los alumnos deducir la ecuación canónica cuando los focos están sobre el
eje y, y el centro es el origen de coordenadas.
c
.
a
Observa que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vértices, siempre se
tiene que
c
0<c<a⇒ 0<
<1 ⇒ 0<e<1
a
es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a uno.
Se define excentricidad de la elipse como el cociente entre c y a, es decir, e =
Si la excentricidad está más cerca de cero la gráfica es más “circular” y si está más cerca de uno
resulta más “alargada”.
Ejemplo 1:
Halla la ecuación normal, los vértices y los focos de la elipse 4x2 +
25 2
y = 100. Grafica indicando
9
los elementos.
x 2 y2
+
= 1 obteniendo la ecuación
25 36
normal. De ella se deduce que el eje mayor esta contenido en el eje y y tiene por extremos los
puntos (0, –6) y (0, 6) que son dos de los vértices. El eje menor está contenido en el eje x y
determina los otros dos vértices (-5, 0) y (5, 0). Los focos están ubicados en el eje mayor y por lo
Dividiendo ambos miembros de la ecuación por 100 queda
tanto son puntos del eje y. Calculemos sus coordenadas, sabiendo que b = a 2 − c 2 y entonces se
tiene que c2 = a2 – b2 = 36 – 25 = 11, de donde c = ± 11 . Luego F1 0,− 11 y F2 0, 11
(
)
(
)
Ejemplo 2:
Encontrar la ecuación normal de la elipse con focos en los puntos F1 0, − 5 3 y F2 0, 5 3 y
tal que la longitud del eje mayor sea 20. Graficar la elipse indicando sus vértices.
(
)
(
)
El eje mayor mide 20, por lo tanto a = 10. Conociendo el valor de a y el de c2 que es 75, sabemos
que b2 = a2 – c2 = 25, y a partir de esto la ecuación normal de la elipse que buscamos es
x 2 y2
+
=1
25 100
Los vértices son los puntos (0, –10), (0, 10), (–5, 0) y (5, 0).
Queda como tarea para los alumnos deducir la ecuación canónica cuando los focos están sobre la
recta y = k, y el centro en un punto de coordenadas (h, k). Para que tengan en cuenta la gráfica tiene
la forma de la siguiente figura:
Ejemplo 3
Hallar la ecuación canónica de la elipse 4x 2 + y 2 − 8x + 4 y − 8 = 0
Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos y el centro. Calcula la excentricidad.
Para hallar la ecuación canónica debemos completar cuadrados en ambas variables
4( x 2 − 2 x + 1 − 1) + ( y 2 + 4 y + 4 − 4) − 8 = 0
4( x − 1) 2 − 4 + ( y + 2) 2 − 4 − 8 = 0
2
2
4( x − 1) + ( y + 2) = 16
( x − 1) 2 ( y + 2) 2
⇒
+
=1
4
16
De donde obtenemos que el centro es el punto (1, – 2), el valor de a = 4, (a es la longitud del
semieje mayor, esto nos dice que el eje de la elipse es vertical), el valor de b = 2, y el valor de c
está dado por :
c 2 = 4 2 − 2 2 = 12 ⇒ c = 12 = 2 3
Y así, los focos están dados por (1,−2 + 2 3 ) y (1,−2 − 2 3 ) y los vértices por (1, – 6) y (1, 2)
Por último, la excentricidad es
c 2 3
3
e= =
=
a
4
2
La gráfica se muestra en la figura de la derecha
Ejemplo 4
Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en (3, 1) y (3, 9) y eje menor de longitud 4.
Como la longitud del eje menor es de 4 unidades, entonces b = 2. Como los vértices están en (3, 1)
y (3, 9) , entonces el centro está en (3, 5) , el eje mayor de la elipse es vertical y a = 4. Con lo cual
los otros vértices están en (1, 5) y (5, 5).
Los focos se ubican en (3, 5 + c) y (3, 5 – c) siendo
c = 16 − 4 = 2 3
( x − 3) 2 ( y − 5) 2
+
=1
4
16
La gráfica de la elipse se muestra en la siguiente figura.
y la ecuación canónica es
Propiedad interesante de la elipse
Una de las propiedades geométricas más interesante de la elipse afirma que un rayo que emana de
uno de los focos de la elipse y se refleja en ella pasa por el otro foco; esta propiedad se conoce
como la propiedad de reflexión.
EJERCITACIÓN
Ejercicio 1: Completando cuadrados lleva la ecuación a su forma canónica, decide si es una elipse
o una circunferencia, determina sus elementos. Grafica
a) 3x2 + 3y2- 6x + 12y + 12 =0
b) 9x2+ 4y2+ 18x-16y=11
Ejercicio 2: Determina la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en
(1, – 2), eje mayor horizontal 8 y excentricidad 3/4.
Ejercicio 3: Determina la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en
(0, 0), eje mayor horizontal y los puntos (3, 1) y (4, 0) están en la elipse.
Ejercicio 4: Determina la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en (2, 1)
y longitud de eje mayor de 5 y longitud del eje menor 2.
En todos los casos grafica las elipses pedidas
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS IMPARES
1. a) Circunferencia.
Ecuación: (x – 1)2+(y + 3)2 = 4,
C(1,-3),
r=2
b) Elipse.
( x + 1) 2 ( y − 2) 2
+
= 1 , C(-1, 2),
4
9
Focos: F1(-1, 2+ 5 ), F2(-1, 2- 5 )
Ecuación:
3.
Vértices: (-1,5), (-1,-1), (-3, 2), (1,2)
4
4
x2 y2
), (0,)
+
= 1.
Vértices: (-4,0), (4,0), (0,
16 16
7
7
7
Focos: F1(- 96 ,0), F2( 96 ,0)
Ecuación: