HOJA 3

PROBLEMAS DE MECÁNICA ESTADÍSTICA I
(5º de Físicas – Curso 2004/05)
HOJA 3
1. Para un oscilador de masa m y frecuencia angular ω, calcular la función de partición
(a) clásicamente y (b) mecanocuánticamente. (c) Para el caso general (cuántico) encontrar también la
energía interna, la entropía y el calor específico de un sistema compuesto por N de tales osciladores
independientes, en función de la temperatura.
2. Se tiene un sistema formado por 3 partículas que pueden estar en N cajas. Si dos partículas están en
la misma caja la energía diminuye una cantidad , y si son tres disminuye en 2 . (Es decir, el
hamiltoniano será H(r1,r2,r3) = - Σ (ri,rj) - 2 (r1,r2,r3), donde r1 , r2, y r3 indican la localización de
las partículas). Calcular: (a) la función de partición del sistema y (b) la energía media en los límites
T →0 y T →∞.
3. La radiación electromagnética dentro de una cavidad cerrada y en equilibrio a una temperatura T
puede estudiarse considerando que los modos permitidos de las ondas resonantes dentro de la cavidad
tienen energías εn = n·hν (n = 0, 1, 2...), es decir, que el campo de radiación constituye un conjunto de
cuantos de energía hν, o “gas de fotones”. En el lenguaje cuántico, los fotones son bosones cuyo
número no tiene por qué conservarse.
(a) Calcular la función de partición del sistema. (Recordar que las ondas electromagnéticas tienen dos
direcciones de polarización transversales para cada frecuencia).
(b) Hallar la energía total U (ley de Stefan-Boltzmann) y la presión de radiación en una cavidad de
volumen V.
(c) Determinar la ley de Planck para la densidad espectral de radiación del cuerpo negro ρ(ν), es decir,
la energía por unidad de volumen de radiación electromagnética entre ν y ν+dν. Dibujarla
esquemáticamente. Hallar su límite clásico de altas temperaturas (kBT hν) ó ley de Rayleigh-Jeans.
4. En un gas perfecto de electrones, el número medio de partículas que ocupan un estado cuántico de
una partícula de energía Ei es:
Ni =
1
exp[( Ei − µ ) / k B T + 1
(a) Obtener una fórmula que pueda usarse para determinar µ en términos de la densidad de partículas
n, la longitud de onda térmica de de Broglie Λ y de constantes.
(b) Demostrar que esa expresión se reduce a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite
nΛ3 << 1.
(c) Representar gráficamente Ni frente a Ei para T = 0 K y para T = µ [K] / 5.
5. (a) Demostrar que la ecuación de estado de un gas de Fermi ideal puede escribirse como
pV=(2/3)U. (b) Obtener la fórmula para la compresibilidad cuando la degeneración es fuerte y estimar
su valor para un cristal de sodio (densidad=0.97 g/cm3).
6. La primera observación de la condensación de Bose-Einstein en un gas atómico diluido fue
conseguida por M. Anderson et al [Science 269, 198 (1995)]. Se produjo un estado condensado en
vapor de 87Rb, confinado por campos magnéticos y enfriado por evaporación. La primera evidencia de
condensación apareció a una temperatura de aproximadamente 170 nK, con una densidad estimada de
2.5 × 1012 átomos/cm3. Comparar la temperatura de condensación observada en este experimento con
la temperatura crítica para un gas de Bose ideal a la misma densidad. ¿A qué pueden ser debidas
principalmente las diferencias cuantitativas entre ambas magnitudes?
7. Considerar el modelo de Ising de N partículas en un campo magnético H, donde los spines si
pueden tomar los valores ±1, y la energía del sistema para una determinada configuración {si} es:
E ({si }) = − J
si s j − H
i, j
si
i
(a) Determinar la función de partición para un modelo de Ising 1-dimensional en ausencia de campo
magnético, utilizando la identidad exp(K si sj) = cosh K + si sj senh K.
(b) Obtener la función de correlación s j s j + n − s j s j + n .
8. Considerar un cristal de N átomos con números cuánticos de spin si = ± ½. El momento magnético
del átomo i es µi = gµB si, donde g es el factor de Landé y µB es el magnetón de Bohr. Asumamos que
los átomos no interactúan apreciablemente, están en equilibrio a una temperatura T y situados dentro
de un campo magnético externo H = H uz.
(a) Expresar la función de partición en términos de η ≡ gµBH/2kBT.
(b) Encontrar una expresión para la entropía del cristal, y evaluarla tanto en el límite de campo fuerte
(η » 1) como en de campo débil (η « 1).
(c) Un proceso importante para enfriar sustancias por debajo de 1 K es la desimanación adiabática, en
el que el campo magnético de la muestra se incrementa primero de 0 a H0 manteniendo la muestra en
contacto térmico con un baño de temperatura T0, para después aislar térmicamente la muestra y reducir
el campo magnético de ésta a H1< H0. ¿Cuál será la temperatura final de la muestra en este caso?
(d) Hallar la magnetización total M y la susceptibilidad magnética χ del sistema considerado y
evaluarlo en el límite de campo débil.
(e) Suponer ahora que cada átomo interacciona con cada uno de sus n primeros vecinos, asumiendo
N
que éstos generan un “campo medio” Hm en el sitio de cada átomo, con gµ B H m = 2α ( S k ) z siendo
k =1
α un parámetro que caracteriza la fuerza de la interacción. Calcular la susceptibilidad magnética χ en
el límite de campo débil (es decir, a temperaturas altas). ¿A qué temperatura diverge χ ?
9. El hamiltoniano del conocido modelo de Ising es:
Η I = −J
si s j − H
i, j
N
i =1
si
donde J es la energía de interacción, H es la intensidad de campo magnético aplicado, <i,j> denota
pares de primeros vecinos y si = ± 1. En la aproximación de Bragg-Williams de campo medio, se
encuentra que la función de partición del sistema viene dada por
1
1 γJ 2
1+ L 1+ L 1− L 1− L
ln Z ( H , T ) ≈
ln
ln
L + HL −
−
2
2
2
2
N
k BT 2
siendo γ el número de primeros vecinos y L el valor dominante del parámetro de orden a largo
alcance L (es decir, la magnetización media por partícula), y que resulta ser la raíz de la ecuación
ln
1+ L
2
(H + γ J L ) ,
=
1 − L k BT
que es equivalente a:
L = tgh(
H
γJ
+
L) .
k BT k BT
Para H=0, es fácil ver que existe una temperatura crítica Tc (con kBTc = γ J ) por debajo de la cual
existe orden ferromagnético ya que existen raíces L = ± L0 de la ecuación anterior distintas de cero.
(a) Hallar las principales funciones termodinámicas (energía libre, energía interna, calor específico y
magnetización) alrededor de la transición para H=0.
(b) Deducir los cuatro exponentes críticos termodinámicos α, β , γ, δ.
(c) Sabiendo que los valores de los exponentes críticos correspondientes a la longitud de correlación
espacial y a la función de correlación a pares son, respectivamente, ν=1/2 y η=0, para teoría de
campo medio, comprobar y discutir brevemente el cumplimiento de las cuatro desigualdades
independientes que existen entre los distintos exponentes críticos.