Dr. Eduardo Mancera

Se puede hablar con rigor lógico sin
preocuparse del significado de los
términos empleados.
Se deben enseñar reglas, sin importar los
significados … en la abstracción y precisión
radica su fuerza y belleza
Enseñanza orientada a técnicas
Las matemáticas,
pueden definirse como
una materia en la que
nunca sabremos de qué
estamos hablando
ni si estamos diciendo la
verdad.
¡La matemática es conocimiento
acabado, no puede más que repetirse!
• Enseñanza directiva, anula la participación
de los estudiantes.
• Nada se debe preguntar o poner en duda
"las cosas son como son" , los alumnos
sólo tienen que aprenderlas.
• El deber del
maestro consiste
en repetir lo que
ya está hecho y
se encuentra en
cualquier libro.
• El problema, en el mejor de los casos, sólo
es accesorio y la atención central la tienen
los contenidos y los procedimientos.
• Resolver un problema implica encontrar la
respuesta, no interesa el proceso.
• Un dominio de los procedimientos
operativos permitirá encontrar la respuesta
correcta sin dificultades, mientras que
deficiencias en la operatividad
desencadenará necesariamente respuestas
incorrectas.
¡La matemática es una serie de reglas
o instrucciones que conducen a
resultados por medio de secuencias
lógicas!
• Admite parcialmente a la creatividad
siempre y cuando ésta esté supeditada
a los procedimientos "lógicos". La
matemática es la lógica disfrazada de
diversas maneras.
• Aprender matemáticas es aprender la
lógica simbólica.
• El papel del maestro es enseñar las reglas
de la lógica y aplicarlas de manera rigurosa
en cada momento del curso.
• Las prácticas docentes están relacionadas
al esquema pregunta-respuesta. La
pregunta la plantea el maestro y la
responde el estudiante elegido por el
maestro.
• Los alumnos se tienen que adiestrar para
contestar lógicamente, como la respuesta
es única no importa quien la dé, por ello el
maestro puede elegir a quien responda.
• El problema es un ejercicio que desafía
la mente.
• La solución se circunscribe al
razonamiento lógico.
• Una respuesta incorrecta está
inevitablemente asociada a un
razonamiento lógico mal
desarrollado, quien es capaz de razonar
de manera lógica y sin errores puede
afrontar cualquier problema.
Años cincuentas
Resuelve el siguiente problema:
Un maderero vende una carga de
madera en $100.
Su costo de producción es 4/5 del precio
¿Cuál es su ganancia?
Años sesentas
Poner a consideración del alumno la
siguiente situación:
Un maderero vende una carga de madera
en $100.
Su costo de producción es 4/5 del precio,
esto es, $80
¿Cuál es su ganancia?
Años setentas
Actividad (Utilizando conjuntos)
Un maderero cambia un conjunto “L” de madera
por un conjunto “M” de dinero. El cardinal del
conjunto “m” es 100. Cada Elemento vale un
peso.
Haga 100 puntos que representen los elementos
del conjunto “M”.
El conjunto “C”, el costo de producción, contiene
20 elementos menos que el conjunto “M”.
Represente el conjunto “C”
Conteste la siguiente pregunta: ¿Cuál es el
cardinal del conjunto “P” de ganancias?
Años ochentas
Impulse al estudiante a realizar la
siguiente actividad:
Un maderero vende una carga de
madera por $100.
Su costo de la producción es $80 y su
ganancia es $20.
Actividad: Subraye el número 20
Años noventas
Actividad:
Cortando árboles hermosos del bosque, el
maderero gana $20 ¿Qué piensa usted de
este asunto como afectación de la vida?
¡Organice a los alumnos en equipos para
contestar la siguiente pregunta!
¿Qué piensas que sintieron las ardillas y los
pájaros del bosque cuando el maderero
derribó los árboles?
¡IMPORTANTE! No hay
respuestas equivocadas
Alrededor de 1996
Aplique sus conocimientos en situaciones reales
como los procesos de apertura comercial:
Para colocar fuera 402 de sus empresas
madereras, una compañía mejora sus
existencias.
Valúe la función de ganancia para que vaya de
$80 a $100
¿Cuánta ganancia e incremento de capital se
logra por la acción de vender las existencias a
$80?
Considere que las ganancias no se gravan,
porque esto no fomenta la inversión.
Finales de 1997
Incorpore la matemática a problemáticas cotidianas
y fomente los derechos humanos:
Una compañía transnacional administra varias
empresas madereras.
Ahorran para el pago de prestaciones cuando
la demanda baja.
Un empleado maderero ganó en promedio
$50,000, tuvo tres semanas de vacaciones,
recibió un bono de jubilación y seguro médico.
Si se sabe que se le paga $50 por hora de
trabajo ¿Es buena la política de la
transnacional?
Inicios de 1999
¡Hay que respetar el nivel de avance del estudiante
y aceptar sus limitaciones!
Una compañía esporta madera para travajos que se
hacen em Indonesia en una filial y dezpide la mitad
de sus travajadores, tala 95% de los vosques y deja
el rezto para una espesie de lechusa apresiada por
la comunida´.
Culpa a la lechuza por la ausesia de arvóles y
cabildea con diputados del Congreso para la
estinción de dicha espesie.
El Congreso ecsenta de impuestos a la empresa
¿Cuál es rendimiento de la inbersión echa en el
cabildeo?
Inicios del milenio
¡El uso de medios!
Ve a ver al Director, a ver si nos presta el salón de
computación
Pregunta si hay luz
Enciende la computadora … ¿dónde se enciende?
Formen un grupo de 30 y otro de 30 para usar las dos
computadoras de la escuela.
¡NO SE COPIEN!
Busquen en internet algo, cualquier cosa, sobre
producción de madera y el precio de venta.
Si quieren busquen otra cosa…el currículo es flexible.
Grafica de distintas maneras, con diferentes colores y
con tipos de letras diversos para observar lo bonito
que se pueden presentar las gráficas.
La primera década
¡Las competencias!
El estudiante debe: poseer habilidad para
comprender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en
una variedad de contextos intra y extra matemáticos
y situaciones en las que las matemáticas juegan o
pueden tener un protagonismo (Niss
(Niss,, M.)
… combinación de destrezas, habilidades prácticas,
conocimientos, motivación, valores éticos,
actitudes, emociones y otros componentes sociales
y de comportamiento adecuadas al contexto y que
se movilizan conjuntamente para lograr una acción
eficaz
Un maderero vende una carga de madera
en $100. Su costo de producción es 4/5
del precio ¿Cuál es su ganancia?
Pensar y razonar
Piénsale como resolverlo
Argumentar
Si no puedes inventa alguna excusa
Comunicar
Conversa con tus compañeros para ver si saben como entrarle al
problema, pero platica con varios … alguno sabrá, pero no me
preguntes porque solamente soy “facilitador”
Modelizar
Busca alguna manera de resolverlo, con ecuaciones se ve más
impactante.
Plantear y resolver problemas
Si de plano no puedes resolver el problema, plantéaselo a otro de
tus compañeros, pero que sea de los inteligentes.
Representar y simbolizar
Usa gráficas, expresiones algebraicas y tablas para mostrar
algunas relaciones aunque no sean correctas, pues si no haces28
algo evidenciarás que eres incompetente.
¡Pero la educación cambió!
(?)
2
2
= 123
17
375
1=1
2
1+ 3 = 2
2
1+ 3+ 5 = 3
2
1+ 3+ 5 + 7 = 4
2
1+ 3+ 5 + 7 + 9 = 5
2
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6
1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n − 1) = n
2
2
94 = ?
9
94
94
= 10.444...
9
9 + 10.444
= 9.722
2
94
= 9.669...
9.722
9.722 + 9.669
= 9.695
2
94
= 9.695
9.695
94 = 9.899494937
1 =1
2 =?
Con dos fichas ¿puede construirse un cuadrado?
4=2
9 =3
No … pero si puede completarse un cuadrado
Así se obtiene una aproximaxión de:
2
1
2 ≈ 1 + ≈ 1.333...
3
3 =?
Se intenta construir un cuadrado
con tres fichas
5 =?
Se trata de construir un cuadrado
con cinco fichas
Se completa el cuadrado
Se completa el cuadrado
Una aproximaxión de3 es:
2
3 ≈ 1 + ≈ 1.666...
3
3 ≈ 1.732050808...
Una aproximaxión de5 es:
1
5 ≈ 2+
5
≈ 2.2
5 ≈ 2.236067978...
159 = ?
Se intenta construir un cuadrado de área 159, el lado de ese cuadrado será:
159
Se puede cubrir casi todo con un cuadrado de lado 12, pues:
(12 ) = 144
2
Falta rellenar 159-144= 14
Parte de lo cual se puede rellenar con dos rectángulos que tienen un lado igual a 12
y el otro lado es desconocido
Así que lo que resta de área (14) entre dos veces el lado del rectángulo (12X2=24)
Debe dar una aproximación del otro lado del rectángulo
14
= 0.5833333333
24
Queda sin rellenar un cuadrado pequeño
que podemos considerar una parte de área despreciable
y no tomarla en cuenta
El lado del cuadrado que tiene área igual a 159
Será alrrededor de: 12+0.5833333333= 12.5833333333
159 ≈ 12.58333...
159 = 12.60952021
159
144
159 = ?
Se intenta construir un cuadrado de área 159
Se puede cubrir casi todo con un cuadrado de lado 12
Parte de lo cual se puede rellenar con dos rectángulos que tienen un lado igual a 12
y el otro lado es desconocido, digamos x. Además de un cuadrado de lado x,
el cual puede no considerarse en la aproximación.
122 + 2 × 12 × x + x 2 = 159
144 + 24 x + x 2 = 159
144 + 24 x ≈ 159
159 − 144
x≈
= 0.5833...
24
El lado del cuadrado que tiene área igual a 159
Será aproximadamente: 12+0.5833333333= 12.5833333333
159 ≈ 12.58333...
159
144
a
c
El mediant de y
b
d
a
+
c
es:
b+d
El mediant “M” siempre está entre las fracciones
Para aproximar 2
Se buscan dos fracciones que multiplicadas den 2
1 2 1× 2
1 2
× =
=2
y
1 2 1×1
1 1
1
+
2
3
Luego se calcula el mediant
=
1+1 2
La raíz cuadrada siempre está entre “M” y “2/M”
3
M=
2
4
3
< 2<
3
2
1.3 < 1.4142... < 1.5
7
M=
5
7
10
< 2<
5
7
1.4 < 1.4142... < 1.428571429
17
M=
12
17
24
< 2<
12
17
1.4 < 1.4142... < 1.428571429
41
M=
29
41
58
< 2<
29
41
1.413793103 < 1.4142... < 1.414634146
( AC )( CB )
3 × 2 = 6 = 2.449489743
58363690
-49
936
-876
06036
- 4569
146790
-137421
09369
7639
146
1523
15269
¿Cómo enseñar vía resolución
de problemas?
• Situaciones comprensibles para los
estudiantes.
• No sirve el esquema:
“Teoría” – “Ejercitación” – “Problema”
• Currículo: contenidos VS resolución de
problemas.
• Resolución de problemas ¿habilidad?,
¿fin?, ¿medio?, ¿eje de la actividad? …
Polya (1950)
• El trabajo del matemático tiene varias
etapas:
• Comprensión del problema
• Concepción de un plan
• Ejecución de un plan
• Visión retrospectiva
Dewey (1959 – 1952) :
• Consideración de alguna experiencia
actual y real del niño.
• Identificación de algún problema o
dificultad suscitados a partir de esa
experiencia.
• Inspección de datos disponibles, así
como búsqueda de soluciones viables.
• Formulación de la hipótesis de solución.
• Comprobación de la hipótesis por la
acción.
Troutman y Lichtenberg (1977)
•Hacer los primeros contactos
•Entrar en materia
•Fermentar
•.Seguir avanzando
•Intuir
•Mostrarse escéptico
•Contemplar
Noddings (1980)
• Iniciar el proceso con la creación de
una representación del problema.
• En lo esencial, consideró las mismas
etapas de Polya.
Schoenfeld (1980)
Describe y analiza algunos factores
• Los recursos
• La heurística
• El control
• El sistema de creencias
Majmutov (1983)
• Enseñanza problémica: cinco fases
• Organización de la situación problémica
• Determinación y formulación del problema
• Búsqueda de las vías de solución
• Establecimiento de hipótesis y su
comprobación
• Constatación de la solución hallada
• Se adjudica la primera fase al maestro y las
demás a los estudiantes.
Danilov (1985)
• La enseñanza por resolución de problemas
consiste en que los alumnos, guiados por el
profesor, se introducen en el proceso de
búsqueda de solución de problemas nuevos.
• Los estudiantes aprenden a adquirir
independientemente los conocimientos, a
emplear los antes asimilados, y a dominar la
experiencia de la actividad creadora.
Labarrere (1987)
• Cuatro etapas en la resolución de
problemas:
• Análisis del problema
• Determinación de la vía de solución
• Realización de la vía de solución
• Control del resultado
"Un tinaco tiene dos llaves para lograr una cierta
mezcla de dos componentes, una de ellas puede
llenarlo en diez minutos, si trabaja sola y a toda
su capacidad; la otra, trabajando también sola,
a toda su capacidad, puede llenarlo en veinte
minutos.
Si
ambas
llaves
trabajan
simultáneamente a toda su capacidad ¿Cuánto
tiempo tardarán en llenar el tinaco?”
A
B
10´
20'
Paso 1: Entender el Problema.
1.- ¿Entiendes todo lo que dice?
2.- ¿Puedes replantear el problema en tus
propias palabras?
3.- ¿Distingues cuáles son los datos?
4.- ¿Sabes a qué quieres llegar?
5.- ¿Hay suficiente información?
6.- ¿Hay información extraña?
7.- ¿Es este problema similar a algún otro
que hayas resuelto antes?
Estimaciones
•
•
•
•
20 minutos ... ¡se derrama!
10 minutos ... ¡se derrama!
Ni tu ni yo ... 15 minutos ... ¡se derrama!
5 minutos ... Una llena la mitad y la otra un cuarto ...
¡faltaría un poco!
• En 5 minutos se llenan tres cuartos, lo restante se
llenará a lo más en la mitad, es decir 2.5 minutos, así
que serán alrededor de 7 minutos y medio
• 7 minutos y medio sería mucho, mejor seis minutos
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como
un artificio ingenioso que conduce a un final).
1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2.- Usar una variable.
3.- Buscar un Patrón
4.- Hacer una lista.
5.- Resolver un problema similar más simple.
6.- Hacer una figura.
7.- Hacer un diagrama
8.- Usar razonamiento directo.
9.- Usar razonamiento indirecto.
10.- Usar las propiedades de los Números.
11.- Resover un problema equivalente.
12.- Trabajar hacia atrás.
13.- Usar casos
14.- Resolver una ecuación
15.- Buscar una fórmula.
16.- Usar un modelo.
17.- Usar análisis dimensional.
18.- Identificar sub-metas.
19.- Usar coordenadas.
20.- Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
1.- Implementar la o las estrategias que escogiste
hasta solucionar completamente el problema o
hasta que la misma acción te sugiera tomar un
nuevo curso.
2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el
problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia
o haz el problema a un lado por un momento
(¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo
esperes!).
3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele
suceder que un comienzo fresco o una nueva
estrategia conducen al éxito.
Soluciones diversas
Es como llenar con dos lápices una línea
Mientras uno pinta de un color dos pedazos, otro sólo pinta
uno:
El que avanza más rápido es el de 10 y pinta 2/3, la
solución es 10 veces 2/3 o sea 20/3
Pero el que pinta más lento es el de 20 y sólo pinta 1/3, en
este caso la solución es 20 veces 1/3, es lo mismo 20/3
Imaginemos que se cubre el piso con cuadrados,
yo pongo 2 y tu pones 1, por que yo soy más
rápido y eres más lento.
Como soy más rápido tardo 10 minutos, lleno 2/3,
me tardo 10(2/3)=20/3
Pero como tu eres más lento, te tardas más, 20
minutos, pero sólo si te ayudo te tardas 20(1/3)
por que sólo llenas un tercera parte y la
respuesta es la misma
Si con la llave más rápida, la de 10 minutos, se hacen dos
llaves …
20´
A
B
A
20´
20'
Se tendrían tres llaves de 20 minutos, cada una de 20 llena
la tercera parte, todas terminan al mismo tiempo: 20/3
• Con la llave A lleno dos tinacos, mientras con la B lleno
uno.
A
A
B
• En 20 minutos lleno tres tinacos, en 20/3 lleno uno
• En 10 minutos con la A lleno 1 tanque y con la B, medio
A
B
• Juntas en 10 minutos llenan tanque y medio y como me
paso tengo que ver como 3/2 se reparten 10 minutos en
3/2, esto es 10/(3/2)=6.666...
Paso 4: Mirar hacia atrás.
1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu
respuesta satisface lo establecido
en el problema?
2.- ¿Adviertes una solución más
sencilla?
3.- ¿Puedes ver cómo extender tu
solución a un caso general?
A
B
10´
20'
Incorporando nuevos
contenidos
• ¿Qué métodos me sirvieron nuevamente?
• ¿Cuáles no fue posible aplicar?
• ¿Con qué tipos de problemas sirven los
métodos anteriores?
• ¿Qué nuevas formas de abordar los
problemas planteados se pueden
desarrollar?
• ¿Cuándo los métodos fallan?
• ¿Qué los hace fallar?
Soluciones diversas que dan
paso a nuevos contenidos
En 1 minuto la llave A llena un décimo, llave B
un vigésimo, de tal manera que juntas habrán
llenado:
1 1
17
13
30
+
=
+
=
13 17 221 221 221
En 2 minutos se habrán llenado ... En seis
minutos se tendrá cubierto …
Se hacen aproximaciones ….
En 1 minuto las dos llaves habrán llenado:
1 1 17 13
30
+ =
+
=
13 17 221 221 221
Con una “regla de tres” se obtiene en x minutos
se llena una unidad como en un minuto se
llenan tres vigésimos
30
x
1
x : 1 :: 1 :
o mejor
=
221
1 30
221
Despejando x se obtiene …
En x minutos se tiene
x
x
+
=1
17
13
Despejando x se obtiene:
x
x
+
= 1
17
13
13 x
17 x
+
= 1
221
221
30 x
= 1
221
30 x = 221
221
30
x = 7 . 36
x =
Generalización
• Una secretaria hace un trabajo en 13 minutos y otra en
17 minutos. Trabajando juntas ¿Cuánto se tardarán?
• Un albañil levanta una barda en 15 días y otro en 24.
Trabajando juntos ¿Cuánto se tardarán?
• Por las escaleras fijas subo en 22 segundos y por las
eléctricas en 14. Caminando por las eléctricas ¿Cuánto
tardaré?
• En una vía recorre una distancia en 12 hr, otro la recorre
en 23 hr. Si parten de puntos opuestos y recorren esa
distancia ¿En que momento chocarán?
Propiciando la reconstrucción
• Una secretaria hace un trabajo en 13
minutos y otra en no sabemos.
Trabajando juntas ¿Cuánto deberá
tardarse la segunda secretaria para que el
trabajo se realice en 19 minutos?
• Un albañil levanta una barda en cierto
número de días días y otro se tarda
algunos días más. Trabajando juntos
¿Cuánto deben tardar cada uno para que
la barda se logre levantar en 30 días?
Choquet y los Métodos de
descubrimiento en
matemáticas:
• Relajamiento de axiomas
• Refuerzo de axiomas
• Estudio de estructuras próximas
• Creación
de
estructuras
sometidas a exigencias previas
• Relajamiento de
axiomas
• Refuerzo de axiomas
• Estudio de
estructuras próximas
• Creación de
estructuras sometidas
a exigencias previas
• Relajamiento de los
datos y/o condiciones
de un problema
• Refuerzo de datos y/o
condiciones de un
problema
• Estudio de problemas
similares
• Creación de problemas
sometidos a exigencias
previas
Considerar a la matemática como un
conocimiento que se crea y recrea
constantemente.
• Los contenidos se pueden relacionar de
manera libre, lo que importa es cómo
sirve el conocimiento para abordar
diversas problemáticas, no importa
cómo se establezcan relaciones entre
ellos, lo importante es que se
desarrollen estrategias para afrontar los
problemas.
• Aprender matemáticas es redescubrir y
transformar lo que está hecho, es
aprender conceptos, no para
acumularlos si no para encontrar
nuevas relaciones y utilizarlos en
nuevas situaciones.
• El papel del maestro es propiciar la
indagación y el descubrimiento de
relaciones, debe motivar al estudiante
para realizar esfuerzos en la dirección
que se pretende.
• El alumno puede y debe preguntar
libremente, sus errores son plataforma
para desarrollar concepciones correctas
• El problema es el dispositivo de
arranque de la exploración matemática
para enfrentar situaciones que inducen
nuevos conocimientos.
• Su solución importa poco en relación a
las estrategias que se ponen en juego.
Se busca la respuesta correcta
necesariamente, pero de una manera
creativa, sin imitar procedimientos.
Diez Mandamientos para los Profesores de
Matemáticas ( Polya, 1950):
1.- Interésese en su materia.
2.- Conozca su materia.
3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate
de ver sus expectativas y dificultades; póngase
usted mismo en el lugar de ellos.
4.- Dése cuenta que la mejor manera de aprender
algo es descubriéndolo por uno mismo.
5.- Dé a sus estudiantes no sólo información, sino
el conocimiento de cómo hacerlo, promueva
actitudes mentales y el hábito del trabajo
metódico.
6.- Permítales aprender a conjeturar.
7.- Permítales aprender a comprobar.
8.- Advierta que los rasgos del problema que tiene
a la mano pueden ser útiles en la solución de
problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón
general que yace bajo la presente situación
concreta.
9.- No muestre todo el secreto a la primera: deje
que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes;
déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea
posible.
10.- Sugiérales; no haga que se lo traguen a la
fuerza.
http://www.eduardomancera.org/
http://www.anpm.org/
http://www.mathunion.org/
http://www.mathunion.org/icmi/home
http://www.ciaem-iacme.org/
http://www.ciaem-iacme.org/
¡Gracias!