TEMA 7: MATRICES

MATRICES
MATEMÁTICAS II
TEMA 7: MATRICES
1. Matrices Numéricas
La noción de matriz se introduce como "tabla de números". Sus elementos aparecen dispuestos
en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales).
 100 45 4 


 34 7 9 
Por ejemplo, la expresión: 
es una matriz de 4 filas y 3 columnas. Decimos
− 12 0 67 


 10 45 8 


que es una matriz de dimensión o de orden 4x3.
En general, llamaremos matriz de dimensión mxn a un conjunto de m.n
números reales distribuidos en m filas y n columnas.
Representaremos las matrices con letras mayúsculas: A, B, C,......., y sus elementos con la misma
letra pero minúscula y dos subíndices: aij, bij, cij, ....... Estos subíndices determinan la posición en
que se encuentra el elemento; el primero indica la fila y el segundo la columna:
 a11 a12 ..........

a22 ...........
a
A =  21
....... ....... ...........

a
 m1 am 2 ...........
a1n 

a2n 
= ( aij ) mxn
..... 

amn  mxn
Así, el término a32 es el que está en la fila 3 y en la columna 2. En el ejemplo anterior a32=0,
a41=10.
2. Tipos de matrices
1. Matriz cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas (dimensión nxn).
2. Diagonal principal: En las matrices cuadradas, formada por los elementos de la forma aii (a11,
a22, ...., ann). La otra diagonal se llama diagonal secundaria.
3. Matriz fila o vector fila: Sólo tiene una fila (dimensión 1xn)
4. Matriz columna o vector columna: Sólo tiene una columna (dimensión mx1)
5. Matriz triangular (superior o inferior): Todos los elementos situados por debajo o por encima
(respectivamente) de la diagonal principal son ceros.
 3 −1 0 
 5 0 0




0 1 5 
 0 4 0
 0 0 −7 
 −2 3 3 




triangular superior triangular inferior
6. Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal
principal son ceros.
7. Matriz identidad: Matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son unos.
Se representa con la letra I, acompañada por un subíndice que representa el orden de la
matriz: I2,, I3,.....
8. Matriz nula: Todos sus elementos son ceros.
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9. Matriz traspuesta: (de otra matriz dada A). Es la que resulta de intercambiar filas por
columnas en la matriz A. Se representa como At y si la dimensión de A era mxn, la de At será
nxm.
10. Matriz simétrica: Es simétrica respecto a la diagonal principal (aij=aji). Si una matriz es
simétrica se cumplirá que A=At.
11. Matriz opuesta: (de otra matriz dada A). Si A=(aij) → −A=(-aij), es decir, los elementos de la
misma posición son opuestos.
Ejercicios:
1º) Indica la dimensión de la matriz e identifica los elementos a23 , a12 , a21 , a34
1 −5 10 
 0


3 −1 7 
 2
 −4 1 3 0 8 


2º) Escribe:
a. Una matriz de dimensión 3x3 triangular inferior.
b. Una matriz 4x4 triangular superior
c. Una matriz diagonal 2x2.
d. La matriz nula de dimensión 4x1
3º) ¿Puede ser una matriz simultáneamente triangular superior y triangular inferior?
4º) ¿Puede existir una matriz diagonal de dimensión 2x3?
5º) Escribe la matriz (aij)2x3, con aij=i-j
6º) Halla las traspuestas de las matrices
 −1 1 


 1 − 1
 2 - 1 1
, C = 
 ¿Alguna es simétrica?
A =  2 0 , B = 
−
0
1
1
1
1




 3 2


7º) Si A=(aij)=2i-j y B=(bij)=│i-j│ y ambas son 3x3, se pide:
a) Escribe las matrices A y B.
b) ¿Son simétricas?
c) Escribe las matrices At , Bt, (-A)t.
3. Operaciones con matrices
1) Suma:
Sólo está definida si las matrices tienen la misma dimensión, y se define sumando los términos
que ocupan la misma posición:
A=(aij)mxn B=(bij)mxn → A+B=(aij+bij)mxn
Propiedades:
1. La suma de dos matrices de dimensión mxn es otra matriz mxn (LCI)
2. Asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)
3. Elemento neutro: es la matriz nula de dimensión mxn Omxn, aquella que tiene todos sus
elementos cero: A+O=A
4. Toda matriz tiene una opuesta: Si A=(aij) → −A=(-aij) y se cumple que A+(-A)=O
5. Conmutativa: A+B=B+A
Nota: La existencia de matriz opuesta permite definir la matriz diferencia: A−B=A+(-B)
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2) Producto de una matriz por un nº real
Independientemente de la dimensión de la matriz, se define el producto por un nº real sin más
que multiplicar todos los elementos de la matriz por dicho número.
k∈R y A=(aij)mxn → k.A=(k.aij)mxn
Ejercicios:
 −1 2 
 3 −1 
 3 −1 






8º) Dadas las matrices A =  0 1  , B =  −2 0  y C =  −2 0  , calcula
 3 5
1 2
8 7






4( B − C ) + 2(C + A) − 2 B
9º) Determina el valor de a, b, c, d, e y f en la siguiente operación:
 2 a − 3  − 1 4 c   e

 + 
 = 
 b 5 − 1   3 8 − d  12
 2 −1 0 
3 1



10º) Siendo A=  0 3 − 2 , B =  0 - 2
 1 −1 2 
4 5



3
f
(3 A − 4B )
t
y
8

0 
0

1  e I3 la matriz identidad de orden 3, calcula la
2 
matriz 2A-3B+I3
3) Producto de dos matrices:
Así como las dos operaciones anteriores se definen de forma bastante natural, el producto de
matrices es más extraño.
En primer lugar se debe cumplir que el nº de columnas de la primera matriz sea igual al nº de
filas de la segunda matriz:
se pueden multiplicar: A2x3.B3x5 ; A1x4.B4x3
no se pueden multiplicar: A2x3 y B4x2
En general: Amxn.Bnxp=Cmxp
La matriz producto Amxn.Bnxp se obtiene de la forma siguiente: es otra matriz Cmxp, cuyos
elementos cij se obtienen multiplicando la fila "i" de la primera matriz (A) por la columna "j" de
la segunda (B) y sumando los resultados.
Propiedades:
1) Asociativa: (Amxn.Bnxp).Cpxq=Amxn.(Bnxp.Cpxq)
(mxn).(pxq)
(nxp).(pxq)
(mxq).(pxq)
(mxn)(nxq)
(mxq)
(mxq)
2) No conmutativa: en efecto, de hecho si podemos hacer el producto A.B, puede que no esté
definido el producto B.A. Pero, aún en el caso que podamos hacer A.B y B.A no tienen el
mismo resultado: A ⋅ B ≠ B ⋅ A
Ejemplo:
 3 2   4 − 1  12 3 
 4 − 1  3 2   7 7 

.
 = 
 y 
.
 = 

5
1
0
3
20
−
2
0
3
5
1
15
3


 



 

3) Elemento neutro: es la matriz identidad In, pero sólo en el caso de matrices cuadradas. Se
debe cumplir:
Anxn.In=Anxn y también
In.Anxn=Anxn
4) Distributiva respecto a la suma: (A+B).C=A.C+B.C
y
D.(A+B)=D.A+D.B
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Ejercicios:
 2 −4 
1 0
 −1 −2 
11º) Dadas las matrices A = 
, B = 
 y C =
 calcula 2( A + B ⋅ C ) .
3 2 
9 5
5 3
 2 − 12 


 38 − 2 
 3
 
12º) A=(2 1 5) y B =  2  , calcula las matrices: A.B y B.A
 4
 
1 0 4 
 0 −1 3 




13º) Considera las matrices siguientes M =  2 4 −3  N =  −2 3 0  calcula:
2 1 6 




 −5 −3 2 
a)
A = M + N − (2 M − 3 N )
14º)
15º)
16º)
17º)

 −1 −4 8 
 2 1 1 





b)
B = M ⋅ N − ( M + I ) ⋅ ( N − I )  A =  −10 8 3  , B =  4 2 −3  
 −22 −13 2 
 7 4 5 





¿Es posible que 2 matrices no cuadradas se puedan multiplicar por los dos lados? ¿Qué
condición deben cumplir?
¿Cómo debe ser una matriz para que se pueda calcular A2?
Di si es verdadera o falsa la siguiente proposición, justificando la respuesta: "Si A y B son
matrices cuadradas se verifica: (A+B)2 =A2 +2AB+B2 "
 1 0 n 
1 0 1






Sea A la matriz  0 1 0  . Halla An.
0
1
0







 0 0 1 
0 0 1
1
1
1 1

B = 1 1

1 1
18º) Probar que An=2n-1.A , siendo A = 
19º) Halla la matriz Bn, siendo
1

1
1

1

1
 2 n -1 0 2 n -1
 1 0 1 



n 
n
20º) Calcula A : A =  0 1 0  . Solución. A =
0 1
0



 2 n -1 0 2 n -1
 1 0 1 

 1 −1  x   1 x   3
 .  = 
 . 
 3 2   y  y −1  2
21º) Resuelve la ecuación matricial: 
3 0 
0 6 
, B = 
 , calcula la matriz X: 3X-2A=5B,
 5 − 1
 1 - 3
22º) A = 
4/5


.



[x=-5/4 y=-7/4]
 2
10

 5 − 17


3 
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8
0 
 0 − 4
1
 halla una matriz X que cumpla la ecuación: 4 X − A = B .
3 
2
 y B = 
23º) Siendo A = 
 6 − 2
9
 1 − 1 


 3 1 2 
 − 1 3   10
− 11
 3 − 1
 + 
 = 2

24º) Resuelve la ecuación X ⋅ 
 1 0  − 1 7  1 5 
25º) Calcula las matrices X e Y que son soluciones del siguiente sistema:
− 11
 1
 0 7 
 1 3  
 2 -1 

 , Y = 
  X = 
3X + 2Y = 
 2X +Y = 
 5 4 
 -9 -4 
 -2 0  
17 − 1 8 
26º) Obtén las matrices A y B que verifiquen el sistema:
 1 2 2
 -4 -3 -2 

2⋅X + Y = 

X - 3⋅Y = 
 -2 1 0 
 -1 0 -1 
4 
 1 3
 9 8 6 


 
7 
 7 7
 7 7 7 
Solución. X = 
, Y = 
.
 -1 3
 0 1 2 
1 
- 



7
7 
7 7 


 0 − 1 − 2


27º) A =  − 1 0 − 2  , I matriz identidad de orden 3. Determina si es posible un valor de β para


1
3 
1
que la matriz (A- βI) 2 sea la matriz nula. [ β=1]
28º) a) Calcular las matrices reales cuadradas de orden 3, X e Y, que satisfacen las siguientes
 1 0 1
 1 − 1 0




2 X + Y = B
, donde B =  0 1 1 y C =  − 1 1 1 
ecuaciones: 
 X − 2Y = C




 0 0 1
 1

1
1




b) Si X e Y son las matrices anteriores, calcular la matriz (2X+Y)X−(2X+Y)(2Y) (Jun-03)

 3 5 −1 5 2 5 
 −1 5 2 5 1 5 
 2 0 1 







 X =  −1 5 3 5 3 5  , Y =  2 5 −1 5 −1 5  ; b) = BC =  0 2 2  
 1 5 1 5 3 5







 −2 5 −2 5 −1 5 
 1 1 1  
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