Infinitos, infinitésimos y sucesiones equivalentes

7. Infinitos e infinitésimos (07.11.13)
7.1. Definiciones.
Infinito: es toda sucesión de lı́mite infinito: {an } / lı́m an = ±∞
n→∞
Infinitésimo: es toda sucesión nula (de lı́mite 0): {an } / lı́m an = 0
n→∞
7.2. Comparación. Sean {an } y {bn } infinitos (infinitésimos):
n o
• Si an es un infinito (infinitésimo), {an } es de mayor orden que {bn }.
bn
• Si lı́m an = k ∈ R, k 6= 0, {an } y {bn } son del mismo orden.
n→∞ bn
- Si {an } es un infinito y lı́m anp = k ∈ R, k 6= 0, entonces
n→∞ n
infinito de orden p. Llamamos a knp su parte principal.
an
p
n→∞ (1/n)
- Si {an } es un infinitésimo y lı́m
{an }
es un
= k ∈ R, k 6= 0, entonces {an } es
un infinitésimo de orden p. Llamamos a k/np su parte principal.
• Si lı́m an = 0, se dice que {an } es “despreciable” frente a {bn } : an bn
n→∞ bn
7.3. Órdenes de infinitud (Burgos, 50-51).
logp n
a
p>1, a>0
nb cn ndn
b>0
c>1
d>0
8. Sucesiones equivalentes
• Dadas {an } y {a0n } con igual lı́mite, finito o infinito, se dice que son equivalentes
an
=1
n→∞ a0n
an ∼ a0n ⇐⇒ lı́m
Entonces dos sucesiones equivalentes tienen el mismo lı́mite. Y si dos sucesiones
tienen igual lı́mite a, finito y no nulo, son equivalentes pues: lı́m an0 = a
a = 1.
n→∞ an
• Si an ∼
a0n
an − a0n
an − a0n
=0
=⇒ lı́m
= lı́m
n→∞
n→∞
an
a0n
an − a0n
= lı́m an0 − 1 = 0 (igual resultado con an en el denominador).
a0n
n→∞
n→∞ an
Entonces:
D: lı́m
- La diferencia entre dos infinitésimos equivalentes es un infinitésimo de orden
superior a ambos.
- La diferencia entre dos infinitos equivalentes es despreciable frente a ambos.