9. Sustitución por sucesiones equivalentes

9. Sustitución por sucesiones equivalentes
9.1. Producto y cociente (A.1 y A.2 de la tabla)
Sean an ∼ a0n , bn ∼ b0n . Se verifica que
a) Si ∃ lı́m a0n b0n =⇒ an bn ∼ a0n b0n
n→∞
Para probarlo veamos que: 1) ambos productos tienen igual lı́mite y 2) el lı́mite
del cociente de ambos es 1.
an b n 0 0
an
bn
1) lı́m an bn = lı́m 0 0 an bn = lı́m
(a0n b0n ) = lı́m a0n b0n .
0
n→∞
n→∞ an bn
n→∞
n→∞
an
b0n
| {z } | {z }
→1
→1
an b n
an
bn
= lı́m 0 lı́m 0 = 1.
0
0
n→∞ an bn
n→∞ an n→∞ bn
2) lı́m
an
a0n
a0n
∼ 0
b) Si ∃ lı́m 0 =⇒
n→∞ bn
bn
bn
La demostración –en dos pasos– es análoga a la del caso a).
Ası́ pues, al sustituir, en productos o cocientes, alguno de los términos por
una sucesión equivalente, resulta una expresión equivalente a la primera.
9.2. Logaritmo (A.3 de la tabla)
Sea {an } una sucesion de términos positivos a partir de uno dado, tal que su lı́mite es
a ≥ 0, a 6= 1 (a puede ser +∞). Se cumple
an ∼ a0n =⇒ log an ∼ log a0n
Es decir, al sustituir en un logaritmo su argumento por una sucesión equivalente, resulta una expresión equivalente a la primera. Para demostrarlo, veamos
que:
a) log an y log a0n tienen el mismo lı́mite.
an
an 0
0
a = lı́m log
+ log an = lı́m log a0n .
lı́m log an = lı́m log
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
a0n n
a0n
Este último lı́mite existe siempre pues log a0n → log a (si a ∈ R+ ) ó ±∞.
b) El lı́mite del cociente de log an y log a0n es 1, pues
log an − log a0n = log
an
= εn =⇒ log an = log a0n + εn .
a0n
|{z}
→1
log an
= lı́m
n→∞ log a0n
n→∞
Entonces: lı́m
log a0n
+ εn
εn =
lı́m
1
+
= 1.
n→∞
log a0n
log a0n
| {z }
→log a6=0
9.3.- Potencial-exponencial
0
Dados an ∼ a0n , bn ∼ b0n , en general no se cumple abnn ∼ a0n bn .
1
1
Por ejemplo, n + 1 + ∼ n. Pero en+1+ n 6∼ en (su cociente tiene lı́mite e 6= 1).
n
Las indeterminaciones de este tipo se resuelven generalmente haciendo abnn = ebn ln an ,
siempre que an > 0, ∀n ∈ N.
9.4. Suma o diferencia
Dados an ∼ a0n , bn ∼ b0n , en general no se cumple an ± bn ∼ a0n ± b0n .
Por ejemplo, los infinitos de segundo orden: n2 + n + 1 y n2 − n + 1 son equivalentes
entre sı́ y a su parte principal n2 . Pero, al restarlos, no podemos sustituirlos por n2
n2 + n + 1 − (n2 − n + 1) 6∼ (n2 − n2 ) = 0,
sino que su diferencia –al desaparecer las partes principales– es el infinito de primer
orden 2n.
1
1
1
1
Asimismo, los infinitésimos de primer orden + 2 y − 2 son equivalentes entre
n
n
n
n
1
1
sı́ y a su parte principal . Pero, al restarlos, no podemos sustituirlos por
n
n
1
1
1
1
1
1
+ 2−
− 2 6∼ − = 0,
n n
n n
n n
2
.
n2
En ambos casos se trata de dos infinitésimos (infinitos) equivalentes, por lo que poseen
la misma parte principal. Al restarlos se simplifican dichas partes principales y pasan a
tener importancia infinitésimos de mayor orden (infinitos de menor orden), que no son
tenidos en cuenta si se realiza la sustitución, con lo que cambia el resultado.
sino que su diferencia es el infinitésimo de segundo orden
F. Granero (pg. 153) enuncia una regla práctica para funciones que puede aplicarse
a sucesiones. Permite aplicar a sumas y diferencias las equivalencias de infinitésimos e
infinitos, en los casos en que no desaparecen sus partes principales:
“Sea un lı́mite en que aparece un factor o divisor formado por sumas y/o diferencias
de infinitésimos (infinitos). Sea m el menor (mayor) de sus órdenes. Si al sustituir los
infinitésimos (infinitos) por sus partes principales resulta un infinitésimo (infinito) de
orden m, la sustitución es correcta y el lı́mite no varı́a”.