Infinitésimos equivalentes

Infinitésimos equivalentes
an
= 1, y
n→∞ bn
Definición. Dos sucesiones {an } y {bn } se denominan equivalentes si lı́m
se escribe an ∼ bn .
Por ejemplo, la sucesión n! es equivalente a la sucesión
√
2πne−n nn .
Definición. Una sucesión {an } se denomina infinitesimal si lı́m an = 0. Dos sucesiones
n→∞
{an } y {bn } se denominan infinitésimos equivalentes y se escribe an ∼ bn si lı́m an = 0,
n→∞
an
lı́m bn = 0 y lı́m
= 1.
n→∞
n→∞ bn
Teorema. Si {an } es una sucesión infinitesimal, entonces:
1. sen an ∼ an .
2. tan an ∼ an .
3. arc sen an ∼ an .
4. arctan an ∼ an .
5. 1 − cos an ∼
a2n
.
2
6. (1 + an )α − 1 ∼ α an .
7. ean − 1 ∼ an ,
8. ln(1 + an ) ∼ an ,
ban − 1 ∼ an ln b .
logb (1 + an ) ∼ an logb e .
Definición. Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan equivalentes en
f (x)
x = a si lı́m
= 1, y se escribe f (x) ∼ g(x) cuando x tiende a a.
x→a g(x)
Definición. Una función f : A 7→ R se denomina infinitesimal en x = a si lı́m f (x) = 0.
x→a
Por ejemplo, f (x) = x2 es infinitesimal en x = 0 y f (x) = sen(x−2) es infinitesimal
en x = 2.
Definición. Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan infinitésimos
f (x)
equivalentes en x = a si lı́m f (x) = 0, lı́m g(x) = 0 y lı́m
= 1 y se escribe
x→a
x→a
x→a g(x)
f (x) ∼ g(x) cuando x tiende a a.
Definición (o pequeña). Dados dos funciones f y g infinitesimales en cierto x = a,
g(x)
diremos que g(x) es un infinitésimo de orden mayor que f (x) en x = a si lı́m
=0
x→a f (x)
y se escribe g(x) = o(f (x)) cuando x tiende a a.
Por ejemplo, la función x2 es un infinitésimo de mayor orden que x en x = 0, es
decir x2 = o(x), y la función x3 es un infinitésimo de mayor orden que x3/2 en x = 0,
o sea, x3 = o(x3/2 ). Además se tiene que:
1. Para todo m ∈ R, m · o(x) = o(x),
2. La suma de un número finito infinitésimos equivalentes es un infinitésimo,
3. El producto de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo de orden
superior.
Teorema. Si x tiende a 0, entonces:
1. sen x ∼ x.
2. tan x ∼ x.
3. arc sen x ∼ x.
4. arctan x ∼ x.
5. 1 − cos x ∼
x2
.
2
6. (1 + x)α − 1 ∼ α x.
7. ex − 1 ∼ x,
bx − 1 ∼ x ln b .
8. ln(1 + x) ∼ x,
logb (1 + x) ∼ x logb e .
Utilizando esta notación los infinitésimos del teorema anterior se podrán reescribir de
la forma:
1. sen x = x + o(x).
2. tan x = x + o(x).
3. arc sen x = x + o(x).
4. arctan x = x + o(x).
x2
5. 1 − cos x =
+ o(x2 ).
2
6. (1 + x)α − 1 = α x + o(x).
7. bx − 1 = x ln b + o(x) .
8. logb (1 + x) = x logb e + o(x) .
Definición (O grande). Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan compaf (x)
rable o del mismo orden en x = a si lı́m
= l, donde l 6= 0, |l| < ∞ y se escribe
x→a g(x)
f (x) = O(g(x)) o g(x) = O(f (x)) cuando x tiende a a.