Funciones equivalentes en un punto Sustitución por funciones

Funciones equivalentes en un punto
Sean f, g ∈ F(D, R) de igual lı́mite, finito o infinito en a (a ∈ R ó a = ±∞). Decimos
que f y g son equivalentes en a si verifican la siguiente condición:
f (x)
=1
x→a g(x)
f ∼ g en a ⇐⇒ lı́m
Por los mismos razonamientos que se hicieron para sucesiones se cumple:
- Si f ∼ g en a, tienen el mismo lı́mite en a.
- Si f y g tienen en a el mismo lı́mite, finito y no nulo, f ∼ g en a.
- Si f ∼ g en a, f − g es despreciable frente a ambas en a.
Sustitución por funciones equivalentes
a) Producto y cociente. Al sustituir en productos o cocientes una función por otra
equivalente, la expresión que resulta es equivalente a la primera. Si f1 ∼ f2 y
g1 ∼ g2 en a,
³
´
si ∃ lı́m f2 · g2
f1 · g1 ∼ f2 · g2 en a
x→a
³
´
f1 /g1 ∼ f2 /g2 en a
si ∃ lı́m f2 /g2
x→a
b) Logaritmo. Al sustituir el argumento de un logaritmo por una función equivalente, la expresión que resulta es equivalente a la primera. Si f1 ∼ f2 en a, se
cumple
(
≥ 0 (ϕ 6= 1)
lı́m f1 (x) = ϕ
=⇒ ln f1 ∼ ln f2 en a
x→a
+∞
c) Potencial-exponencial. Si f1 ∼ f2 y g1 ∼ g2 en a, se cumple
(
≥ 0 (ϕ 6= 1)
lı́m f1 (x) = ϕ
=⇒ lı́m (f1 (x))g1 (x) = lı́m (f2 (x))g2 (x)
x→a
x→a
x→a
+∞
pero, en general, (f1 )g1 6∼ (f2 )g2 .
d) Suma y diferencia. En una suma (diferencia) no se puede, en general, sustituir
por funciones equivalentes, si la suma (diferencia) de lı́mites es nula, por ejemplo
si se trata de infinitésimos. En una diferencia de infinitos tampoco, pues tenemos
una indeterminación del tipo ∞ − ∞.
Regla práctica (Granero, pg. 153): sea un producto o cociente, uno de cuyos
factores está formado por sumas y diferencias de infinitésimos (infinitos) y sea m
el menor (mayor) de sus órdenes. Si al sustituir los infinitésimos (infinitos) por sus
partes principales resulta un infinitésimo (infinito) de orden m, el lı́mite no varı́a.