Teor´ıa de la Capa L´ımite Laminar

Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar
por
Miguel Hermanns y Francisco Higuera
1.
Introducción
Muchos movimientos de fluidos alrededor de cuerpos se caracterizan por el hecho de
que el número de Reynolds basado en la longitud caracterı́stica del cuerpo L, la velocidad
de la corriente incidente U y la viscosidad cinemática del fluido ν es grande frente a la
unidad:
UL
1.
(1)
Re =
ν
Esto indica que en dichos flujos las fuerzas de viscosidad son mucho menos importantes
que las fuerzas de presión y las aceleraciones del fluido, con lo que cabrı́a esperar que las
ecuaciones de Euler, que se obtienen de despreciar los términos viscosos en las ecuaciones
de Navier-Stokes, describan de forma aproximada el flujo en estas condiciones. Aunque
existen casos en los que esto es cierto, y las ecuaciones de Euler son capaces de describir
con suficiente precisión el campo fluido resultante, existen muchos otros casos en los cuales
no es ası́. La disparidad entre las predicciones de las ecuaciones de Euler y lo que se observa
en la realidad se debe a los siguientes dos motivos.
En primer lugar, las soluciones de las ecuaciones de Euler, que únicamente contienen
derivadas primeras de las magnitudes fluidas, no pueden satisfacer la condición de no
deslizamiento sobre la superficie sólida de un cuerpo. Considérese por ejemplo el flujo
estacionario alrededor de un cuerpo romo. El movimiento del fluido, que por simplicidad
se considera de densidad constante en esta lección, viene descrito por las ecuaciones de
Euler para fluidos incompresibles:
∇ · v = 0,
ρv · ∇v = −∇p,
(2)
que habrán de ser resueltas conjuntamente con la condición de contorno de impermeabilidad en la superficie Σ del cuerpo y las condiciones de contorno lejos del cuerpo:
x ∈ Σ : v · n = 0,
|x| → ∞ : v → U , p → p∞ ,
(3)
donde n es el vector normal a la superficie del cuerpo. Una primera consecuencia de
haber despreciado los términos viscosos en las ecuaciones del movimiento es que resulta
imposible imponer que la velocidad de deslizamiento del fluido sobre la superficie del
cuerpo, ue (x) = v · t (donde t es un vector unitario tangente al cuerpo y x es la distancia
sobre la superficie), sea nula. Esta velocidad debe determinarse como parte de la solución
1
D=0
D=0
D 6= 0
Figura 1: Diversas soluciones válidas de las ecuaciones de Euler para el flujo alrededor de un
cuerpo romo tridimensional, donde las dos primeras predicen una fuerza nula sobre el cuerpo
(paradoja de d’Alembert) y la última una fuerza no nula.
no viscosa. Por otra parte, la ecuación de Bernouilli, que, como se ha visto en una lección
anterior, resulta de integrar la ecuación de conservación de cantidad de movimiento a lo
largo de una lı́nea de corriente, proporciona una relación entre la velocidad de deslizamiento
ue a lo largo de la superficie del cuerpo y la presión pe sobre el cuerpo:
1
1
pe + ρu2e = p∞ + ρU 2 .
2
2
(4)
En segundo lugar, las ecuaciones de Euler (2) admiten infinitas soluciones (débiles)
para un conjunto de condiciones de contorno (3) dadas cuando se admite la posibilidad
de superficies de discontinuidad tangencial en el seno del fluido, y no es posible saber
a priori cuál de estas soluciones es la que se corresponde con la realidad. La Figura 1
muestra varios ejemplos de soluciones válidas para el flujo alrededor de un cuerpo romo
tridimensional. Algunas de estas soluciones predicen una fuerza nula del fluido sobre el
cuerpo (paradoja de d’Alembert), y otras en cambio no. En definitiva, las ecuaciones de
Euler con las correspondientes condiciones de contorno no son capaces de proporcionar de
manera automática la solución correspondiente al lı́mite de Re → ∞ de las ecuaciones de
Navier-Stokes.
Para resolver este dilema es necesario ver, como hizo Prandtl en 1904, que aunque
los fenómenos de transporte debidos a la difusión sean despreciables en la mayor parte
del campo fluido, cerca del cuerpo no lo son, y por tanto aparece una zona próxima al
cuerpo, llamada capa lı́mite, en la cual la viscosidad juega un papel importante. Dicha capa
lı́mite es la responsable de seleccionar la solución fı́sicamente correcta entre las infinitas
soluciones de las ecuaciones de Euler, y por ello su análisis es esencial para el estudio de
los flujos a altos números de Reynolds.
2.
Deducción de las ecuaciones de capa lı́mite
En lo que queda de lección se va a considerar por simplicidad que el flujo es bidimensional e incompresible. Anticipando que la capa lı́mite es una región delgada en torno a
la superficie del cuerpo, conviene introducir para su análisis un sistema de coordenadas
curvilı́neas ortogonales, llamadas coordenadas de capa lı́mite, basadas en una familia de
curvas paralelas al contorno del cuerpo y sus trayectorias ortogonales. En estas coordenadas, x es la distancia medida sobre la superficie del cuerpo desde su borde de ataque, o
desde el punto de remanso anterior, e y es la distancia normal al cuerpo. Las coordenadas
(x, y) no son cartesianas excepto si la superficie del cuerpo es plana, pero se comportan
2
como tales a casi todos los efectos (excepto en la ecuación (9) más abajo) si y es pequeña
frente al radio de curvatura R de la superficie, que se supondrá del orden de la longitud
caracterı́stica del cuerpo: R ∼ L.
En lo que sigue, u y v son las componentes x e y de la velocidad del fluido, L es la
longitud caracterı́stica del cuerpo, y δ, vc y ∆y p denotan valores caracterı́sticos del espesor
de la capa lı́mite, la velocidad transversal y las variaciones transversales de presión, que
deben determinarse a partir de los balances entre los órdenes de magnitud de los términos
dominantes de las ecuaciones del movimiento. La velocidad longitudinal debe variar a
través de la capa lı́mite desde cero en la superficie del cuerpo a la velocidad de deslizamiento
ue (x) proporcionada por la solución exterior no viscosa. La velocidad de deslizamiento es
del orden de la velocidad U de la corriente libre, y se admite por tanto que u ∼ U en la
capa lı́mite. Las variaciones longitudinales de presión son ∆x p ∼ ρU 2 , impuestas por la
solución exterior.
2.1.
Análisis de los órdenes de magnitud
Se comienza el análisis de los órdenes de magnitud del problema de la capa lı́mite mediante la ecuación de conservación de la masa. Esta ecuación proporciona una estimación
de la velocidad transversal caracterı́stica, vc , que resulta ser mucho menor que la velocidad
exterior U :
∂v
∂u
+
=0
∂x
∂y
U
vc
∼
L
δ
(5)
⇒
vc ∼ U
δ
U.
L
(6)
El siguiente paso consiste en analizar la importancia relativa de los distintos términos
de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según x, que permitirá obtener
una estimación del espesor δ de la capa lı́mite:
2
∂u
∂u
1 ∂p
∂2u
∂ u
u
+v
=−
+ν
+
(7)
∂x
∂y
ρ ∂x
∂x2
∂y 2
U2
U vc
∆x p
U
U
∼
ν 2 ν 2.
L
δ
ρL
L
δ
A partir de la recién estimada velocidad caracterı́stica transversal vc se concluye que ambos
términos convectivos en el miembro izquierdo de la ecuación son del mismo orden. Por otro
lado, la difusión de cantidad de movimiento por efecto de la viscosidad a lo largo de la
capa lı́mite resulta ser despreciable frente a la difusión transversal a la misma. Dado que
en la capa lı́mite los efectos viscosos no deben ser despreciados, el orden de magnitud
del espesor de la capa lı́mite δ debe ser tal que el término de difusión transversal a la
capa lı́mite sea importante y del mismo orden que los demás términos de la ecuación.
Igualando su estimación a la de los términos convectivos se obtiene finalmente el espesor
caracterı́stico de la capa lı́mite,
r
δ∼
νL
L
=
L,
U
Re1/2
3
(8)
que teniendo que cuenta que el número de Reynolds de la corriente es grande, resulta ser
muy pequeño frente al tamaño caracterı́stico L del cuerpo.
Otro resultado que pone de manifiesto la ecuación de la cantidad de movimiento según
x es que las variaciones longitudinales de la presión ∆x p ∼ ρU 2 impuestas sobre la capa
∂p
sea tan importante
lı́mite por la solución exterior no viscosa hacen que el término − ρ1 ∂x
como los términos convectivos. Por tanto, las fuerzas de presión juegan un papel importante
en el movimiento del fluido tanto en la capa lı́mite como fuera de ella.
Para determinar el orden de magnitud de las variaciones de presión transversales a la
capa lı́mite se analiza la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según y.
Dado que los efectos métricos debidos a la curvatura de la superficie del cuerpo pueden
llegar a ser importantes en esta ecuación, incluso en el caso de curvaturas moderadas
R ∼ L, se incluyen estos en la estimación de los órdenes de magnitud:
2
2
u
1 ∂p
∂v
∂ v
∂2v
∂v
+O
=−
+v
+ν
+
(9)
u
∂x
∂y
R
ρ ∂y
∂x2
∂y 2
∆y p
U vc
vc2
U2
vc
vc
∼
ν 2 ν 2.
L
δ
L
ρδ
L
δ
Nuevamente los dos primeros términos del miembro izquierdo de la ecuación son del mismo
orden y la difusión longitudinal de cantidad de movimiento es despreciable frente a la
difusión transversal. Pero ahora además la difusión transversal a la capa lı́mite resulta
ser despreciable frente al término de curvatura de orden U 2 /L, con lo que finalmente la
comparación del término de presiones con el término de curvatura proporciona el orden
de magnitud de las variaciones transversales de la presión:
δ
ρU 2 ∼ ∆x p.
(10)
L
Este resultado indica que en primera aproximación la presión en la capa lı́mite no varı́a a
través de la misma y es por tanto igual a la presión impuesta por la corriente exterior:
∆y p ∼ ρU 2
p(x, y) = pe (x).
(11)
Este hecho simplifica considerablemente el problema a resolver, pues la presión deja de ser
una incógnita para convertirse en un dato en el estudio de la evolución de la capa lı́mite.
Resumiendo el análisis de los órdenes de magnitud se ha visto que el espesor caracterı́stico de la capa lı́mite y la velocidad caracterı́stica transversal resultan ser mucho
menores que las correspondientes magnitudes a lo largo de la capa lı́mite, y que la presión,
que ahora resulta ser dato del problema, varı́a únicamente a lo largo de la capa lı́mite, y
no a través de ella.
2.2.
Ecuaciones de capa lı́mite
Atendiendo a las estimaciones de los órdenes de magnitud realizadas en el apartado
anterior se está en disposición de simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes para obtener
el sistema de ecuaciones que describe el movimiento del fluido en la capa lı́mite:
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
∂u
∂u
1 dpe
∂2u
u
+v
=−
+ν 2.
∂x
∂y
ρ dx
∂y
4
(12)
(13)
Este sistema de ecuaciones es parabólico. Contiene derivadas segundas de u respecto a
la coordenada transversal y, lo que permite imponer tanto la condición de no deslizamiento
u = 0 sobre la pared como la condición de acoplamiento con la solución exterior no viscosa.
En cambio las ecuaciones de capa lı́mite únicamente presentan derivadas primeras de la
velocidad transversal v, por lo que únicamente se puede imponer sobre ella la condición
de contorno de impermeabilidad v = 0 sobre la pared. Por tanto es de esperar que lejos
de la pared, ya en la región exterior a la capa lı́mite, la velocidad transversal v no tienda
al valor de la corriente exterior: v(x, y δ) 6= 0. En resumen, se tiene que
y = 0 : u = v = 0,
y → ∞ : u = ue (x).
(14)
Además de las condiciones de contorno anteriores es necesario imponer una condición
inicial en el origen de la capa lı́mite, que proporcione el perfil inicial de velocidades:
x = 0 : u = u0 (y).
(15)
Por último, la presión exterior pe (x) que actúa sobre la capa lı́mite, está relacionada,
como ya se ha visto antes, con la velocidad de deslizamiento ue (x) de la solución exterior
a través de la ecuación de Bernouilli (o de la ecuación de conservación de la cantidad de
movimiento según la pared):
1
1
pe + ρu2e = p∞ + ρU 2
2
2
⇔
ue
due
1 dpe
=
.
dx
ρ dx
(16)
En el caso bidimensional que se analiza aquı́ es posible reducir el problema planteado a
una única ecuación empleando la función de corriente ψ(x, y) como incógnita del problema,
con lo que la ecuación de continuidad se satisface automáticamente. Sustituyendo las
expresiones que vinculan las componentes de la velocidad con la función de corriente
u=
∂ψ
,
∂y
v=−
∂ψ
∂x
(17)
en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según x se obtiene la siguiente
ecuación diferencial de tercer orden para la función de corriente:
∂ψ ∂ 2 ψ
1 dpe
∂3ψ
∂ψ ∂ 2 ψ
−
=
−
+
ν
,
∂y ∂x∂y
∂x ∂y 2
ρ dx
∂y 3
(18)
que deberá resolverse conjuntamente con las siguientes condiciones de contorno:
y = 0 : ψ = ψy = 0,
y → ∞ : ψy = ue (x),
(19)
x = 0 : ψy = u0 (y).
2.3.
Propiedades de las ecuaciones de capa lı́mite
El problema compuesto por las ecuaciones en derivadas parciales (12) y (13) y las
condiciones de contorno (14) y (15) es parabólico, como ya se ha dicho, a diferencia de
las ecuaciones de Navier-Stokes originales, que son elı́pticas. Este cambio se debe a que la
5
presión ha dejado de ser una incógnita y la difusión de cantidad de movimiento a lo largo
de la capa lı́mite ha sido despreciada, con lo que ahora la coordenada longitudinal x juega
el papel de un pseudotiempo según el cual la información únicamente se puede propagar
hacia valores crecientes de x.
Desde el punto de vista de su resolución numérica, el hecho de que las ecuaciones de
capa lı́mite sean parabólicas presenta una enorme ventaja, pues el problema puede ser
resuelto como si de un problema unidimensional de evolución se tratara. Por otro lado
conviene indicar aquı́, que existen situaciones de interés en las que la evolución de la capa
lı́mite da lugar a perturbaciones de presión que se transmiten a través de la corriente no
viscosa exterior y vuelven a influir sobre el flujo en la capa lı́mite aguas arriba del punto
donde tales pertrubaciones se originaron. Dichos casos no pueden ser estudiados mediante
las ecuaciones de capa lı́mite presentadas en la sección anterior, y se hace necesario emplear
teorı́as más avanzadas tales como la teorı́a de capa lı́mite interactiva.
Una propiedad de gran interés de las ecuaciones de capa lı́mite es que sus soluciones
no dependen del número de Reynolds del problema. Para ver esto es necesario adimensionalizar las ecuaciones empleando las siguientes magnitudes de referencia:
ũ =
u
,
U
v̄ =
v
,
vc
x̃ =
x
,
L
ȳ =
y
,
δ
p̃ =
p
,
ρU 2
(20)
donde recuérdese que
U
vc = √ ,
Re
L
δ=√ .
Re
(21)
Las ecuaciones (12) y (13) adimensionalizadas son por tanto
∂ ũ ∂v̄
+
= 0,
∂ x̃ ∂ ȳ
∂ ũ
dp̃e ∂ 2 ū
∂ ũ
ũ
+ v̄
=−
+ 2,
∂ x̃
∂ ȳ
dx̃
∂ ȳ
(22)
(23)
con las condiciones de contorno siguientes:
ȳ = 0 : ũ = v̄ = 0,
ȳ → ∞ : ũ = ũe (x̃),
(24)
x̃ = 0 : ũ = ũ0 (ȳ).
Se puede ver que este problema no depende de la viscosidad del fluido, sino únicamente
de la forma del cuerpo en torno al cual se forma la capa lı́mite, que se manifiesta indirectamente a través de la velocidad de deslizamiento ũe (x̃).
3.
Resultados de interés de las ecuaciones de capa lı́mite
Además de para conocer la distribución de velocidades en el interior de la capa lı́mite,
las soluciones a las ecuaciones de capa lı́mite permiten determinar tres caracterı́sticas de
la capa lı́mite de suma importancia, que son el punto de separación de la capa lı́mite, el
esfuerzo de fricción que genera sobre la pared y su espesor a lo largo de la superficie del
cuerpo.
6
(a)
(b)
Figura 2: Visualización experimental del fenómeno de separación de la capa lı́mite debido a la
presencia de gradientes de presión adversos. (a) Flujo alrededor de un cilindro circular a Re = 2000.
(b) Flujo alrededor de un perfil NACA64A015 con un ángulo de ataque de 5◦ .
3.1.
Punto de separación de la capa lı́mite
La solución del problema (12)-(15) determina la distribución de velocidad en la capa
lı́mite. Como se verá más adelante, esta solución puede desarrollar una singularidad y
dejar de existir aguas abajo de un cierto punto, cuando el gradiente de presión que actúa
sobre la capa lı́mite es adverso (dpe /dx > 0). Esta singularidad se puede identificar con la
separación de la capa lı́mite y, cuando ocurre, es esencial determinar su posición, pues de
ella depende la estructura del flujo exterior y la distribución de presión sobre el cuerpo. La
Figura 2 muestra dos casos en los que la capa lı́mite, incapaz de afrontar el gradiente de
presiones adverso impuesto por la corriente exterior, se separa de la superficie del cuerpo
y modifica sustancialmente la solución exterior no viscosa. El resultado, a primera vista
paradójico, es que el cálculo del fallo de la aproximación de capa lı́mite es el elemento más
importante de la solución del problema obtenido con esta aproximación.
Conviene resaltar que la posición del punto de separación es independiente del número
de Reynolds (en tanto en cuanto la capa lı́mite se mantenga laminar), y únicamente
depende de la forma del cuerpo. Esto es consecuencia de la propiedad de las ecuaciones
de capa lı́mite demostrada al final de la sección anterior.
7
3.2.
Esfuerzo de fricción en la pared
Como se ha visto en el apartado anterior, la determinación del punto de separación,
resultado de tener en cuenta los efectos viscosos en la proximidad del cuerpo, resulta
ser esencial para poder conocer la distribución de presiones sobre el cuerpo y con ello la
fuerza de presión que el fluido ejerce sobre el mismo (la llamada resistencia de forma). Pero
los efectos viscosos también tienen su contribución directa a la fuerza que experimenta el
cuerpo. Puesto que en la capa lı́mite los esfuerzos viscosos son importantes, estos ejercerán
un esfuerzo de fricción sobre la pared y por tanto proporcionan también una contribución
a la fuerza que ejerce el fluido sobre el cuerpo. A partir de las estimaciones obtenidas
para la velocidad u y para el espesor de la capa lı́mite δ, es inmediato estimar el orden de
magnitud de estos esfuerzos viscosos:
U
ρU 2
∂u ∼
µ
∼
.
τw = µ
∂y y=0
δ
Re1/2
(25)
Esta estimación muestra que la contribución directa de la viscosidad a la fuerza ejercida
por el fluido sobre un cuerpo romo es mucho menor que la proveniente de la presión, que es
de orden ρU 2 . A pesar de ello, y como ya se ha recalcado anteriormente, la viscosidad juega
un papel esencial en la determinación de las fuerzas aerodinámicas debido al fenómeno de
separación de la capa lı́mite y su influencia sobre la distribución de presiones.
En el caso particular importante de un cuerpo aerodinámico alineado con la corriente,
la capa lı́mite puede permanecer adherida hasta muy cerca del borde de salida. En este caso
las variaciones de presión son mucho menores que ρU 2 sobre la mayor parte del cuerpo,
y las contribuciones de la presión y de los esfuerzos viscosos a la fuerza sobre el cuerpo
pueden ser del mismo orden.
3.3.
Espesor de la capa lı́mite
Otro resultado importante del estudio de la capa lı́mite es su espesor y cómo éste varı́a
a lo largo de la pared. El conocimiento del espesor de la capa lı́mite permite calcular la
corrección que la presencia de la capa lı́mite adherida introduce en la corriente exterior.
Hasta ahora sólo se ha obtenido una estimación del orden de magnitud del espesor, que
indica que éste es muy pequeño comparado con la longitud caracterı́stica L del cuerpo:
δ∼
L
Re1/2
.
(26)
Pero serı́a conveniente disponer de una defición más precisa del mismo. Una posible definición consiste en tomar como espesor δ de la capa lı́mite aquella distancia de la pared para
la cual el perfil de velocidades u(x) alcanza el 99 % de la velocidad ue (x) de la corriente
exterior:
u(x, y = δ(x)) = 0.99ue (x).
(27)
Esta definición no deja de ser un tanto arbitraria, puesto que el porcentaje elegido podrı́a
ser también cualquier otro, por ejemplo el 95 %, el 98 % o el 99.99 %. Por ese motivo
conviene buscar una definición con un trasfondo más fı́sico. La definición más conocida y
8
y = Y + δ∗
y=H
y=Y
ue (x)
U
x
Figura 3: Esquema de la evolución de una lı́nea de corriente en ausencia (lı́nea a trazos) y presencia
(lı́nea continua) de la capa lı́mite (lı́nea a puntos).
útil de las existentes es la del llamado espesor de desplazamiento δ ∗ que tiene la siguiente
expresión:
Z ∞
u
∗
δ =
1−
dy.
(28)
ue
0
El espesor de desplazamiento mide el desplazamiento que sufre una lı́nea de corriente
próxima al cuerpo, pero fuera de la capa lı́mite, debido a la presencia de la capa lı́mite. Para
comprobarlo basta considerar la evolución con x de una lı́nea de corriente que inicialmente
(en x = 0) pase a una distancia H de la superficie, con δ H L. En ausencia de capa
lı́mite (para un fluido estrictamente ideal), la velocidad entre esta lı́nea de corriente y
la superficie del cuerpo será ue (x), y la evolución con x de la lı́nea de corriente serı́a la
indicada por la curva a trazos en la Figura 3. Cuando la viscosidad del fluido no es nula,
la presencia de la capa lı́mite modifica esta velocidad y con ello la posición de la lı́nea de
corriente, que pasa a ser la curva continua de la figura. Como el flujo que pasa entre la
lı́nea de corriente y la pared es el mismo en ambos casos, se tiene que
Z Y
Z Y +δ∗ (x)
UH =
ue (x) dy =
u dy,
(29)
0
0
donde δ ∗ (x) es el desplazamiento sufrido por la lı́nea de corriente (distancia vertical entre
la curva de trazos y la continua en la figura). Como Y es muy grande en comparación con
el espesor de la capa lı́mite, el último término de esta ecuación puede escribirse como
Z Y +δ∗ (x)
Z Y
Z Y +δ∗ (x)
Z Y
u dy =
u dy +
u dy =
u dy + ue (x)δ ∗ (x),
(30)
0
0
Y
0
y por tanto
ue (x)δ ∗ (x) =
Z
Y
Z
(ue − u) dy =
0
∞
(ue − u) dy,
(31)
0
donde la última igualdad refleja que el resultado es independiente del valor de Y porque
u tiende exponencialmente a ue antes de alcanzar el lı́mite superior de la integral.
Otra definición más del espesor de la capa lı́mite que es de interés en ciertas aplicaciones, es el espesor de cantidad de movimiento δ ∗∗ dado por
δ
∗∗
Z
=
0
∞
u
ue
9
u
1−
ue
dy.
(32)
y
x
≈
U
p∞
Figura 4: Esquema del flujo incompresible alrededor de una placa plana, infinitamente delgada
y de longitud semiinfinita, que se encuentra a ángulo de ataque nulo en el seno de una corriente
uniforme.
Puede demostrarse siguiendo pasos similares a los empleados para el espesor de desplazamiento, que δ ∗ + δ ∗∗ es la cantidad que hay que desplazar la superficie del cuerpo hacia el
interior del fluido para que, suponiendo que todo el fluido se mueve a la velocidad exterior
ue , pase el mismo flujo de cantidad de movimiento que pasa por la capa lı́mite real.
4.
Capa lı́mite sobre una placa plana
Conviene, desde el punto de vista didáctico, comenzar viendo y analizando el caso
más sencillo posible de capa lı́mite laminar, que resulta ser la que se forma sobre una
placa plana semiinfinita de espesor nulo alineada con una corriente uniforme. La Figura 4
muestra el esquema del problema a estudiar. Al igual que se ha venido haciendo en todos
los apartados anteriores, se va a suponer que la densidad y la viscosidad del fluido son
constantes.
Dado que la viscosidad del fluido es pequeña, sus efectos pueden despreciarse en la
mayor parte del campo fluido, con lo que el flujo alrededor de la placa plana viene descrito
en primera aproximación por las ecuaciones de Euler incompresibles
∇ · v = 0,
ρv · ∇v = −∇p,
(33)
que deben ser completadas con las siguientes condiciones de contorno en el infinito y sobre
la placa plana:
y → ∞ : u = U, v = 0, p = p∞ ,
x > 0, y = 0 : v = 0.
(34)
Puesto que la placa plana se encuentra alineada con la corriente incidente y sobre ésta
sólo se puede imponer que la velocidad normal a ella sea nula, la solución al problema es
inmediata de obtener:
u = U, v = 0, p = p∞ .
(35)
En definitiva esta solución muestra que la corriente incidente no es afectada por la presencia
de la placa plana en ausencia de efectos viscosos. Este resultado concuerda bastante bien
con lo que se observa en la realidad. La Figura 5 muestra el flujo alrededor de una placa
plana de longitud finita y a un número de Reynolds elevado. Las lı́neas de corriente, visibles
gracias a diminutas burbujas de aire, casi no se deflectan a su paso por la placa plana. Tan
sólo muy cerca de la placa plana aparece una zona afectada que resulta ser muy delgada
10
Figura 5: Visualización experimental del flujo incompresible alrededor de una placa plana a ángulo
de ataque nulo y a un número de Reynolds de 104 .
en comparación con la longitud de la placa plana: son las capas lı́mite que se forman sobre
ambas caras de la placa.
El movimiento dentro de estas capas lı́mite viene descrito por las ecuaciones de capa
lı́mite deducidas anteriormente. Puesto que la corriente exterior a la capa lı́mite presenta
una presión constante, pe = p∞ , el término de presiones es idénticamente nulo, con lo que
las ecuaciones a resolver se reducen a
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
∂u
∂2u
∂u
+v
= ν 2,
u
∂x
∂y
∂y
(36)
(37)
con las siguientes condiciones de contorno sobre la placa plana y lejos de ella:
x = 0 : u = U,
x > 0, y = 0 : u = v = 0,
(38)
y → ∞ : u = U.
Análogamente, si se prefiere utilizar la función de corriente ψ(x, y) como incógnita del
problema, la ecuación diferencial correspondiente también se simplifica en el caso particular
del flujo alrededor de una placa plana, quedando finalmente de la manera siguiente:
∂ψ ∂ 2 ψ
∂ψ ∂ 2 ψ
∂3ψ
−
=
ν
,
∂y ∂x∂y
∂x ∂y 2
∂y 3
(39)
que deberá resolverse conjuntamente con las siguientes condiciones de contorno:
x = 0 : ψy = U,
x > 0, y = 0 : ψ = ψy = 0,
(40)
y → ∞ : ψy = U.
4.1.
Solución de Blasius
El problema planteado en el apartado anterior no admite solución analı́tica y por ello
debe ser resuelto de forma numérica. A pesar de ello es posible simplificar considerablemente el problema viendo que las ecuaciones de capa lı́mite a resolver admiten una solución
11
de semejanza (Blasius 1908). La naturaleza parabólica de las ecuaciones combinada con
la ausencia de una dimensión espacial caracterı́stica (debida a la infinita delgadez de la
placa y a su semiinfinita longitud) hacen que la posición x sobre la placa plana juegue el
papel de longitud caracterı́stica del problema.
La condición de que los términos convectivos y viscosos sean del mismo orden dentro
de la capa lı́mite propociona el orden de magnitud del espesor δ(x) de la capa lı́mite y
cómo éste evoluciona a lo largo de la placa plana:
u
∂u
∂2u
∂u
+v
=ν 2
∂x
∂y
∂y
2
U
U vc
U
∼
∼ ν 2
x
δ
δ
r
⇒
δ∼
νx
.
U
(41)
Es interesante ver que la capa lı́mite va creciendo a medida que avanza sobre la placa
plana, y que lo hace a un ritmo proporcional a la raı́z cuadrada de x. Por tanto para
cada sección x se tendrá un espesor caracterı́stico δ distinto. Análogamente, la función de
corriente, que va a ser la incógnita del problema, también tendrá un valor caracterı́stico
distinto en cada sección:
√
(42)
ψc ∼ U δ ∼ νU x.
Atendiendo a estas estimaciones de los órdenes de magnitud para δ y ψ se van a buscar
soluciones de semejanza al problema de la capa lı́mite sobre una placa plana de la forma
r
√
U
η=y
, ψ = 2νU xf (η).
(43)
2νx
donde los factores 2 se introducen por conveniencia. Sustituyendo estas expresiones para
la coordenada y y la función de corriente ψ en la ecuación (39) y en las correspondientes
condiciones de contorno (40) se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria, llamada
ecuación de Blasius, con las correspondientes condiciones de contorno:
f 000 + f f 00 = 0,
f (0) = f 0 (0) = 0,
f 0 (∞) = 1.
(44)
La solución a este problema diferencial no-lineal, que forzosamente ha de obtenerse numéricamente, resulta ser universal dado que ni en la ecuación ni en las condiciones de contorno
aparece parámetro alguno. La Figura 6(a) muestra dicha solución y sus derivadas primera
y segunda en función de la variable de semejanza η. Dado que las componentes de la
velocidad vienen dadas en función de f (η) por las expresiones siguientes
r
νU
0
u = U f (η), v =
ηf 0 − f ,
(45)
2x
la Figura 6(a) muestra, entre otras cosas, el perfil de velocidades longitudinales u. Resulta
conveniente comparar dicho perfil de velocidades con mediciones obtenidas experimentalmente con el fin de evaluar cómo de bien aproximan las ecuaciones de capa lı́mite la
realidad y como de buena es la solución de semejanza obtenida por Blasius. La Figura 6(b)
muestra dicha comparación, en la cual queda de manifiesto la validez de las ecuaciones de
capa lı́mite.
A partir del perfil de velocidades longitudinales u es posible calcular diversas magnitudes adicionales relacionadas con la capa lı́mite, su evolución a lo largo de la placa
12
(a)
(b)
Figura 6: (a) Solución de semejanza de Blasius para la capa lı́mite que se forma sobre una
placa plana semiinfinita alineada con una corriente uniforme. (b) Comparación de la solución de
semejanza de Blasius con medidas experimentales.
13
plana y su impacto sobre la corriente exterior. Primeramente interesa obtener el espesor
de desplazamiento δ ∗ , para lo cual se sustituyen las expresiones (45) en su definición (28),
obteniéndose finalmente:
r
Z
Z ∞
u
2νx ∞
∗
dy =
1 − f 0 dη
δ (x) =
1−
U
U 0
r0
r
2νx
νx
x
(46)
[η − f (η)]η→∞ = 1.721
= 1.721 1/2 ,
=
U
U
Rex
donde por conveniencia se ha introducido el número de Reynolds basado en la distancia x
de desarrollo de la capa lı́mite sobre la placa plana:
Rex =
Ux
.
ν
(47)
Además del espesor de desplazamiento interesa conocer el esfuerzo de fricción local que
ejerce el fluido sobre la placa plana, que en este caso es el único responsable de la fuerza
sobre el cuerpo. Nuevamente, sustitutiendo las expresiones (45) en la expresión para el
esfuerzo de pared se obtiene:
r
r
ρU 2
U 00
U
∂u = µU
f (0) = 0.332µU
= 0.332 1/2 .
(48)
τw = µ
∂y y=0
2νx
νx
Rex
Una manera conveniente de expresar este esfuerzo de fricción es adimensionalizándolo con
la presión dinámica de la corriente 21 ρU 2 , obteniéndose entonces el llamado coeficiente de
fricción local :
0.664
τw
cf = 1 2 =
.
(49)
1/2
Rex
2 ρU
En el caso de que la placa plana sea de longitud finita L, los resultados aquı́ obtenidos
siguen siendo válidos siempre que la coordenada x < L.
5.
Efecto del gradiente de presiones
En la sección anterior se ha estudiado el caso particular de capa lı́mite en el cual la
corriente exterior no impone gradiente de presiones alguno sobre ella. Pero en general
la forma del cuerpo da lugar a distribuciones de presiones exteriores pe (x) que no son
constantes a lo largo de su superficie. En ese caso es necesario resolver las ecuaciones de
capa lı́mite completas, tal como aparecen en (12) y (13):
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
∂u
∂u
1 dpe
∂2u
u
+v
=−
+ν 2.
∂x
∂y
ρ dx
∂y
(50)
(51)
El flujo en la capa lı́mite ve el gradiente de presiones como una fuerza uniforme que,
o bien acelera la corriente (gradiente de presiones favorable: dpe /dx < 0), o bien la frena
(gradiente de presiones adverso: dpe /dx > 0). La Figura 7 muestra los diferentes escenarios
14
Figura 7: Efecto del gradiente de presiones sobre la evolución de la capa lı́mite.
que se pueden dar. Para entender mejor esta figura conviene particularizar la ecuación de
conservación de la cantidad de movimiento según x justo en la pared:
∂ 2 u 1 dpe
=
.
(52)
2
∂y y=0 µ dx
Si el gradiente de presiones es nulo, como sucede en el caso de la placa plana estudiado
en la sección anterior, entonces el perfil de velocidades presenta un punto de inflexión
situado justo en la pared: Figura 7(b). Dicho punto de inflexión desaparece si el gradiente
de presiones es favorable, como se muestra en la Figura 7(a). Si en cambio la capa lı́mite se
2
encuentra con gradientes de presiones adversos, entonces el signo de ∂∂yu2 debe cambiar entre
la pared y el exterior de la capa lı́mite, por lo que habrá al menos un punto de inflexión
en el interior del fluido. Esto hace a la capa lı́mite más susceptible de volverse inestable,
porque un punto de inflexión de la velocidad dentro del fluido equivale a un extremo de
la vorticidad (ω ∼ − ∂u
∂y en la aproximación de capa lı́mite) a una cierta distancia de la
pared. Si el gradiente de presiones adverso actúa durante suficiente tiempo, entonces se
alcanza un punto en el cual el esfuerzo de fricción en la pared se anula, tal como muestra
la Figura 7(d):
∂u = 0.
(53)
τw = µ
∂y y=0
El punto sobre la superficie del cuerpo en el cual se alcanza esta condición recibe el nombre
de punto de separación de la capa lı́mite, y es de gran relevancia para el estudio de flujos
a altos números de Reynolds, como ya se ha mencionado anteriormente.
Pasado el punto de separación de la capa lı́mite aparece un flujo inverso, mostrado en
la Figura 7(e), que no puede ser descrito mediante las ecuaciones de capa lı́mite, puesto
que éstas son parabólicas y no admiten que información viaje aguas arriba de la capa
15
πβ
U
Figura 8: Flujo potencial alrededor de una cuña de ángulo πβ.
lı́mite. Por tanto las ecuaciones de capa lı́mite describen correctamente la evolución de
la capa lı́mite hasta que ésta llega al punto de separación, a partir del cual dejan de ser
válidas.
El estudio de la singularidad de la solución de las ecuaciones (50) y (51) en el punto
de separación se debe a Goldstein (1948). Un estudio más reciente de la capa lı́mite en
torno al punto de separación, incluyendo el comienzo de la región de flujo inverso, ha sido
llevado a cabo por Smith (1977) usando la teorı́a de la capa lı́mite interactiva mencionada
anteriormente.
5.1.
Soluciones de Falkner-Skan
Para determinadas distribuciones de velocidades de deslizamiento ue (x), y por tanto
de presiones exteriores pe (x), es posible seguir encontrando soluciones de semejanza de las
ecuaciones de capa lı́mite. Estas soluciones, descubiertas por Falkner y Skan en 1931, y
posteriormente calculadas numéricamente por Hartree en 1937, representan, entre otras,
las capas lı́mite que se forman sobre cuñas tales como la representada en la Figura 8.
El flujo potencial alrededor de una cuña de ángulo πβ da lugar a una distribución de
velocidades de deslizamiento ue (x) a lo largo de la pared de la forma
ue (x) = Axm ,
(54)
donde el exponente m y el ángulo πβ de la cuña están relacionados entre sı́ a través de la
expresión siguiente:
2m
.
(55)
β=
m+1
Mediante el análisis dimensional es posible ver que el problema de la capa lı́mite sobre
una cuña admite una solución de semejanza en términos de las variables
r
r
m + 1 ue (x)
2
η=y
, ψ=
νxue (x)f (η).
(56)
2
νx
m+1
Sustituyendo estas variables en la ecuación (18) para la función de corriente se obtiene el
siguiente problema para la función f (η):
f 000 + f f 00 + β(1 − f 02 ) = 0,
f (0) = f 0 (0) = 0,
f 0 (∞) = 1.
(57)
Este problema es muy similar al obtenido por Blasius para el caso de la capa lı́mite sobre
una placa plana, y de hecho se reduce a él en el caso particular de β = 0. Al igual que sucede
con la ecuación de Blasius, la solución a la ecuación (57) ha de obtenerse numéricamente,
16
Figura 9: Soluciones de semejanza de Falkner-Skan para la capa lı́mite que se forma sobre una
cuña de ángulo πβ para diferentes valores del parámetro β.
aunque en este caso habrá que calcular toda una familia de soluciones en función del
parámetro β.
La Figura 9 recoge varias de dichas soluciones para diferentes valores de β. Tal como
se anticipaba en la discusión general del efecto del gradiente de presiones sobre el comportamiento de la capa lı́mite, valores positivos de β, que se corresponden con gradientes de
presión favorables, hacen que la capa lı́mite se vuelva más delgada y dan lugar a perfiles
de velocidades carentes de punto de inflexión. En cambio, valores negativos de β, que se
corresponden con gradientes de presión adversos, hacen que el perfil de velocidades longitudinales u presente un punto de inflexión, lo cual hace a la capa lı́mite más susceptible
a volverse inestable, como ya se ha comentado en la sección anterior. Finalmente, para el
valor especial de β = −0.199 el esfuerzo de fricción es nulo en cualquier punto de la pared.
6.
Efecto de la succión/soplado
Se ha visto en las secciones anteriores que cuando el gradiente de presiones es adverso,
la capa lı́mite se puede separar de la superficie del cuerpo, alterando significantivamente la
solución exterior y con ello la distribución de presiones sobre el cuerpo. Una manera muy
eficaz de evitar, o al menos retrasar, el fenómeno de separación de la capa lı́mite consiste
en succionar a través de la pared la parte de la capa lı́mite más próxima a ella, en la cual
las velocidades son bajas y por tanto es más sensible a los gradiente de presión adversos. La
Figura 10 muestra una foto experimental tomada por Ludwig Prandtl en 1904 del efecto
que tiene la succión sobre el flujo alrededor de un cilindro. En la parte inferior del cilindro,
donde no se aplica succión alguna, se observa que la capa lı́mite se separa poco después de
pasar por el punto extremo del cilindro, dando lugar a una elevada resistencia de forma.
En cambio la capa lı́mite sobre la parte superior del cilindro permanece adherida hasta
bien pasado el punto extremo gracias a la succión que se realiza a través de una delgada
rendija visible en la foto experimental.
Este resultado tan espectacular hizo que ya durante la Segunda Guerra Mundial se
investigara la posibilidad de emplear la succión con el fin de controlar la separación de la
capa lı́mite en las alas de los aviones militares. Por ejemplo, la Figura 11 muestra experi17
Figura 10: Foto experimental del flujo alrededor de un cilindro circular con succión de la capa
lı́mite a través de una delgada rendija situada en la parte superior del cilindro.
(a)
(b)
Figura 11: Efecto de la succión en el desprendimiento de la capa lı́mite sobre el ala de un avión
en configuración de aterrizaje (con los dispositivos hipersustentadores desplegados). (a) La capa
lı́mite se deprende masivamente justo delante del flap. (b) La capa lı́mite permanece adherida al
ala gracias a la succión realizada justo antes del dispositivo hipersustentador.
mentos realizados en vuelo por los ingenieros alemanes en el año 1940. Mediante el pegado
de hilos o cintas a la superficie del ala puede visualizarse el estado adherido/separado de
la capa lı́mite. En ausencia de succión la Figura 11(a) muestra cómo la capa lı́mite se
desprende del ala al no ser capaz de seguir a los dispositivos hipersustentadores que se
encuentran desplegados. Por otro lado la succión justo antes de dichos dispositivos hace
que la capa lı́mite no se desprenda, tal como se ve en la Figura 11(b).
En general el estudio del efecto que tiene la succión o el soplado sobre la evolución de
la capa lı́mite requiere resolver numéricamente las ecuaciones (12) y (13) con las siguientes
condiciones de contorno:
y = 0 : u = 0, v = vw (x),
x = 0 : u = u0 (y),
(58)
y → ∞ : u = ue (x),
en las cuales la condición de impermeabilidad de la pared ha sido sustituida por una
distribución de soplado vw (x) (succión si vw (x) < 0). La influencia del soplado o la succión
se manifiesta pues a través de la condición de contorno en y = 0.
Para distribuciones generales de succión/soplado será necesario resolver el sistema de
ecuaciones en derivadas parciales correspondiente, pero si se considera el caso particular
de una placa plana a ángulo de ataque nulo con una distribución de succión/soplado vw (x)
18
de la forma
∗
vw (x) = vw
U
1/2
,
(59)
Rex
∗ es una constante arbitraria, entonces es posible volver a encontrar soluciones
en la cual vw
de semejanza de las ecuaciones de la capa lı́mite, y por tanto reducir el problema a una
ecuación diferencial ordinaria, cuya resolución numérica resulta ser mucho más sencilla
que la del problema general.
Empleando las mismas variables de semejanza que para la solución de Blasius de la
sección 4,
r
√
U
, ψ = 2νU xf (η)
(60)
η=y
2νx
se obtiene el siguiente problema diferencial, que salvo por el cambio de una de las condiciones de contorno sobre la placa, es idéntico al planteado por Blasius:
f 000 + f f 00 = 0,
√ ∗
f (0) = − 2vw
,
f 0 (0) = 0,
f 0 (∞) = 1.
∗ ha de calcularse
Nuevamente la familia de soluciones función del parámetro libre vw
numéricamente. La Figura 12 muestra varias soluciones obtenidas para diferentes valo∗ . Para valores negativos de v ∗ , que corresponden a succión, se puede ver que la
res de vw
w
capa lı́mite se vuelve más delgada. Aparte de hacer que ésta se vuelva más robusta frente
al fenómeno de separación, el estrechamiento también tiene el efecto, a veces no deseado, de aumentar
los esfuerzos de fricción en la pared, dado que el gradiente de velocidad
∂u ∗ , que
(τw = µ ∂y ) será mayor. En el extremo opuesto, para valores positivos de vw
y=0
corresponden a soplado, se puede ver en la Figura 12 que la capa lı́mite se vuelve más
gruesa y aparece un punto de inflexión en el perfil de velocidades longitudinales u, lo cual
hace que la capa lı́mite laminar sea menos robusta frente a la transición a la turbulencia.
Por otro lado, al reducirse los gradientes de velocidades, los esfuerzos de fricción en la
pared disminuyen. Si se sopla lo suficientemente fuerte, es incluso posible llegar a anular
el valor de τw , lo que provoca la separación de la capa lı́mite. Esto sucede para el valor
∗ = 0.619.
crı́tico vw
19
Figura 12: Soluciones de semejanza de las ecuaciones que describen la capa lı́mite que se forma
sobre una placa plana a través de la cual se aplica una succión/soplado de la forma vw (x) =
∗
vw
(U/Rex1/2 ).
20