Preguntas tipo M - Departamento de Química

Departamento de Química del Cinvestav
Preguntas tipo examen de admisión de Matemáticas
En el examen se permite consultar un formulario básico
1.- La siguiente ecuación cúbica y = x3 – 4x2 – 7x + 10 se intercepta con el
eje x en los puntos (-2, 0), (1, 0) y (5, 0). ¿Determine el valor de la pendiente
máxima que se puede alcanzar en el intervalo ⟨ -2, 5⟩⟩? (justificar la respuesta)
2.- Determine los siguientes límites si es que existen:
x3 + 8
a) lim 3
x → −2 x + x 2 + 4
e x − cos x
x →0
xsenx
b) lim
ln( x + e x )
x →∞
3x
c) lim
3.- Sea un rombo cuyos lados son A y B, tal que A=B. Demuestre que las
diagonales del rombo son perpendiculares.
4.- Dados los vectores w = i + 2j + 3k y v = 3i + 2j + k, a) encuentre los
vectores unitarios ortogonales al plano formado por w y v, b) encuentre la
distancia entre los puntos definidos por w y v, c) determine los ángulos que
forma el vector v con cada uno de los ejes x, y, z
5.- Resolver las siguientes integrales
∫
a) tan 3 / 2 x sec 4 xdx
d)
x 2 − 3x − 1
∫x
3
+ x2 − 2x
b)
∫
+∞
dx
e)
∫e
0
x
dx
a + bx
x
∫ xe
− x2
dx
−∞
1
dx
x
+∞
c)
f) ∫ x ln xdx
0
6.- Si un envase cerrado de volumen constante tiene la forma de cilindro
circular recto, determine la razón de la altura al radio de la base, de tal forma
que se utilice la cantidad mínima de material. El área de la parte cilíndrica es:
A=2πrh.
7.- Aplicar el teorema de Moivre: (cosθ
θ + isenθ
θ)n = cos(nθ
θ) + isen(nθ
θ), para
deducir las siguientes identidades:
cos 3θ = cos 3 θ − 3 cos θsen 2θ
sen3θ = 3 cos 2 θsenθ − sen 3θ
8.- De las siguientes ecuaciones diferenciales, seleccione la que es exacta y
resolverla (justificar la selección).
a)
xydx − 2 y 2 dx − x 2 dy = 0
b)
( x 2 + y 2 )dx + xydy = 0
c)
dx − 4 − x 2 dy = 0
d)
( x + y cos x)dx + senxdy = 0
9.- Empleando sus conocimientos sobre simplificación de fracciones,
encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación.
3x − 1
1
7
=
+
x + 7 x + 12 2 x + 6 6 x + 24
2
10.- Realizar la siguiente división
(m2a-2 - m2a-1 – 4m2a + 2m2a+1 + 2m2a+2 – m2a+3 ) / (ma-3 – ma-1 + ma-2 )
11.- Desarrolle los siguientes productos y cocientes notables
(x3 – x2 – x)(x3 + x2 + x) =
(ax+1 – 6)(ax+1 – 5) =
(n3 – m3x3) / (n – mx) =
12.- Factorizar las siguientes expresiones
x4 – x2y2 + y4/4 =
x2 + 4a2 – 4ax – y2 –9b2 + 6by =
x4y4 + 21x2y2 + 121 =
13.- Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
tan x − senx
sec x
=
3
1 + cos x
sen x
14.- Sean A y B dos vectores en el espacio, demostrar que: A×
×B
2 + A⋅⋅B
2
= A
2B
2
15.- Dadas las siguientes matrices;
0
S x = 
1
1
,
0 
Sy =
1
2
0

i
− i
,
0 
Sz =
1
2
1

0
0 

− 1 
donde i es el numero complejo tal que i 2 = -1, determine:
a) SxSx + SySy + SzSz =,
b) SxSy + SySx =,
c) Sx + iSy =
16.- Determine la derivada dy/dx de las siguientes funciones:


x2 + 2

a) y = ln 3
senx 
 ( x − 1)(e ) 
b) 3 xy +
x
= ln( xy ) − senx
y2
17.- Si un envase cerrado de volumen constante tiene la forma de cilindro
circular recto, determine la razón de la altura al radio de la base, de tal forma
que se utilice la cantidad mínima de material.
18.- Verifique que la función u(x, y) = ln(x2 + y2) satisface la ecuación:
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
19.- Utilice la ecuación de estado del gas ideal para demostrar que:
∂V ∂T ∂P
= −1
∂T ∂P ∂V
20.- Demostrar que A = (2i – 2j + k)/3, B=(i + 2j + 2k)/3 y C = (2i + j – 2k)/3 son
vectores unitarios mutuamente perpendiculares.
21.- Un trozo de alambre de 10 mt de longitud se corta en dos partes. Con
una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de
cuadrado. Como debe cortarse el alambre de modo que el área total de las
dos figuras sea la mínima posible.
22.- Cierto número de personas alquiló un autobús para una excursión. Si
hubieran ido 10 personas más, cada una habría pagado 5 $ menos, y si
hubieran ido 6 personas menos, cada una habría pagado 5 $ más.
¿Determine cuantas personas iban en el autobús y cuanto pagó cada una?
23.- De las siguientes ecuaciones diferenciales, seleccione y resuelva la que
es homogénea.
a) xydx − 2 y 3dx − x 5dy = 0
b) ( x 2 + y 2 )dx + dy = 0
c) ( x 3 + y 3 )dx + 3 xy 2 dy = 0
d) ( x + y cos x)dx + senxdy = 0
24.- Encuentre E, tal que A + 2B – 3C + E es la matriz cero de 3×2
 1 3 


A= 2 5 
 −1 2


 − 2 0


B =  1 4
 − 7 5


 −1 1


C =  4 6
 − 7 3


 a11

E =  a 21
a
 31
a12 

a 22 
a 32 