INET -
Profesorado de Ciencias de la Computación
Ejercicios de ecuaciones en diferencias finitas no homogeneas
Vamos a resolver la ecuación en diferencias no homogenea
condiciones iniciales, llamadas condiciones de frontera:
junio 2009
Prof. Saúl Tenenbaum
an+ 2 + 6an+1 + 12an = 2n con las
a0 = 1 y a1 = 2
Las soluciones de una ecuación en diferencias no homogenea está formada por la suma de la solución
general de la homogenea más una solución particular.
n
Busquemos una solución particular. Lo intentamos con una solución "parecida", con an = K .2 .
Sustituyendo en la ecuación original, la no homogenea, para n=0, nos queda:
a2 + 6a1 + 12a0 = 20
K .22 + 6.K .21 + 12.K .20 = 20
1
y luego de simplificar, queda: K =
28
⇒
⇒ 4K + 12 K + 12 K = 1
Entonces la solución general es la suma de las soluciones de la homogenea y de la no homogenea:
5nπ
6
an = k1. ( 12 ) . cos
+ k2
( )
5nπ
6
1 n
+ .2 . Falta ahora calcular k1 y k2 .
28
Para calcular k1 y k2 , usamos otra vez las condiciones iniciales a0 = 1, a1 = 2 .
0
0
1
1
27
a0 = k1. 12 . cos(0) + k2 12 .sen(0) + .20 = 1 ⇒ k1 +
= 1 ⇒ k1 =
28
28
28
n
( )
a1 =
−
27
.
28
(
k2 =
n
.sen
( )
)
1
12 .cos(
27 36
+ k2
.
28 2
12
(
5π
) + k2
6
(
)
1
12 .sen(
5π
1
27
) + .21 =
.
6
28
28
)
1 2
= 2 ⇒ k2
12 . +
2 28
(
(
1
3
12 . −
+ k2
2
)
)
81 2
1
−
⇒ k2
12 . = 2 +
28 28
2
(
(
)
1 1
2
=2
12 . +
2 28
)
1 135
12 . =
2 28
135 2
135
135. 12
135. 12
45. 4 3
45. 3
.
⇒ k2 =
⇒ k2 =
⇒ k2 =
⇒ k2 =
⇒ k2 =
28 12
168
56
28
14. 12
14. 12. 12
an =
27
.
28
( )
12
n
5nπ
6
. cos
45. 3
.
+
28
( )
12
n
5nπ
6
.sen
1 n
+ .2 ,
28
n∈`
Ejercicio: buscar los primeros términos de esta sucesión, sustituyendo los primeros valores de n.
"Verificación": vamos a obtener los valores de la sucesión directamente de la fórmula original,
sustituyendo los valores iniciales.
an+ 2 + 6an+1 + 12an = 2n
a0 = 1 y a1 = 2
Sucesión
an+ 2 = 2n − 6an+1 − 12an
Para n = 0,
a0+ 2 = 20 − 6a0+1 − 12a0 = 1 − 6.2 − 12.1 = −23
Entonces a2 = −23
Para n = 1,
a1+ 2 = 21 − 6a1+1 − 12a1 = 2 − 6.(−23) − 12.2 = 116
Entonces a3 = 116
Para n = 2,
a2+ 2 = 22 − 6a2+1 − 12a2 = 4 − 6.116 − 12.(−23) = −416
Entonces a4 = −416
Haskell:
pato:: Integer->Integer
pato n |n==0 =1
|n==1 =2
|otherwise = (-6)*pato(n-1) +(-12)*pato (n-2) + 2^(n-2)
n
Prestar atención al índice de 2 en la implementación en Haskell. ¿Porqué es 2 elevado a la (n-2)?
Y así es como lo vemos cuando lo aplicamos en Haskell:
Main>
1
Main>
2
Main>
-23
Main>
116
Main>
-416
Main>
pato 0
pato 1
pato 2
pato 3
pato 4
0
