ESTOS SON LOS TALLERES QUE LOS MONITORES HAN

ESTOS SON LOS TALLERES QUE LOS
MONITORES HAN REALIZADO DURANTE
ESTAS SEMANAS. NO SE ENCUENTRAN
RESUELTOS
PUES
SE
CONSIDERA
INDISPENSABLE QUE EL ALUMNO ASISTA
AL MENOS, A UN TALLER POR SEMANA.
TALLER Nº5
1. Considerar el P.V.I
y′( x) = ln( x + y )
y (2) = 3
Determinar valores de a, b, c y d tales que un teorema de existencia y unicidad, aplicado al
rectángulo R = {( x, y ) ∈ R 2 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } , garantice existencia y unicidad de la
solución. Justificar.
2.
Considerar el P.V.I
x′(t ) = x(t ) + 2tet
x(0) = 0
(0.1)
Se pide:
a. Dar la fórmula de avance de t a t+h para un método de Taylor que utilice los cinco
primeros términos de la expansión en serie de Taylor de x(t) alrededor de t.
b. Calcular x”(t),x”´(t), x(4)(t).
c. Calcular x”(0),x”´(0), x(4)(0).
d. Calcular una aproximación de x(0.1) usando la fórmula en a).
e. Calcular una aproximación para x”(0.1),x”´(0.1), x(4)(0.1).
f. Calcular una aproximación de x(0.2), usando la fórmula en a). (PARA LOS
ESTUDIANTES)
3.
Resolver el siguiente P.V.I utilizando los métodos vistos en clase.
(cos x) y′ + ( senx) y = cos3 x
y (0) = 1
para calcular y(0.1), y(0.2) tomando h=0.1
Ejercicio PARA LOS ESTUDIANTES: Calcular el segundo paso de cada método para
hallar y(0.2)
TALLER Nº6
1. Resolver el siguiente P.V.I
Hallar el desplazamiento que sufre una columna en voladizo, cuando está sometida a una
fuerza de compresión excéntrica.
La función de la variación del momento con respecto al centroide (deformado)
M x = P (δ − y )
Por ecuaciones de la elasticidad, se tiene la siguiente ED
d2y Mx
=
dx 2
EI
Remplazando el valor de M x
d 2 y P (δ − y )
=
dx 2
EI
Con todas las expresiones anteriores, y recordando que en un apoyo empotrado el valor de
la deformación y del ángulo de la deformación son iguales a cero (0), podemos expresar el
siguiente P.V.I
y ′′ + K 2 y = K 2δ
y (0) = 0, y ′(0) = 0
Donde :
P
K2 =
EI
Supongamos valores para K y δ así: K=1 y δ=0.03
Por lo tanto el P.V.I que debemos resolver es el siguiente:
 y ′′ + y = 0.03

 y (0) = 0, y ′(0) = 0
Este es un P.V.I de orden superior; la manera que utilizaremos para resolverlo será
Ejercicio
Calcular la segunda iteración.
PARA LOS ESTUDIANTES: Resolver el mismo ejercicio pero usando el método de
Taylor tres términos vectorial y RK-4
2. Demostrar que el PVF tiene una única solución
x" - (t3 + 5)x - sen t = 0
x(0) = 0; x(1) = 0
3. Aproximar la solución del PVF
y" - x y' + 3y = 11x
y(1) = 3/2; y(2) = 15
con el método del disparo. Usar tamaño de paso h=1/3, y con el método de Euler
TALLER 07
1. Resolver los dos PVF del taller anterior, usando diferencias finitas centradas de
orden 2, de tal manera que se obtengan 3 nodos interiores. En el caso del
último ejercicio del taller anterior, comparar con lo que se obtuvo por el método
del disparo.
2. Considere el PVF parcial:
∂ 2u ∂ 2u
∀( x, y ) ∈ int( R )
 2 + 2 = x2 + y2
 ∂x
∂y

u ( x, y ) = xy
∀( x, y ) ∈ ∂ ( R )
donde R = {( x, y ) / 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3}
Calcular valores aproximados de u(x,y) en los nodos interiores de la malla,
usando diferencias finitas centradas de orden dos.
TALLER DE REPASO PARCIAL #2 (PVI, PVF, POISSON)
1. Muestre que el PVI:
x' (t ) = x(t )cos t + et
x(1) = 2
tiene solución única en algún intervalo alrededor de t=1.
EJERCICIO: Hallar x(1.2), x(1.4) por los métodos de Taylor de orden dos y
RK-2, tomando un tamaño de paso h = 0.2
2. Resolver el PVI:
y '−2 y 1 / 2 = 0
y (1) = 4
Usando el método de R-K-4 vectorial autónomo, con h=1 y dos pasos.
Exprese claramente el cambio de variable realizado y muestre tanto el sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden autónomo, con C.I, equivalente al PVI
dado, como su representación vectorial autónoma.
3. Resolver el PVF:
y'' + y' - y + x^2 - 2 = 0
y(1)=5; y(3)=17
(a) Muestre que el PVF tiene solución única.
(b) Use el método del disparo, junto con el método de Euler, con tamaño de
paso h=1.
(c) Use diferencias finitas, con h=1.
(d) Compare.
4. Resuelva el PVF parcial:
u xx ( x, y ) + u yy ( x, y ) = x + y para todo ( x, y ) ∈ int (R )
u ( x, y ) = x 2 − y 2 para todo ( x, y ) ∈ ∂R
Donde R es el rectángulo: [0,1] x [1,4].
Tome un tamaño de paso h=1/2, en el eje X , y k=1 en el eje Y.
Construya claramente la malla y clasifique los nodos interiores y los nodos de
frontera.