Prueba de Hipótesis y Chi Cuadrada

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Ing. Rubén Darío Estrella, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana (2003)
Ingeniero de Sistemas (UNIBE 1993), Administrador (PUCMM 2000), Matemático
(PUCMM 2007), Teólogo (UNEV 2002) y Maestro (Salomé Uneña 1985)
[email protected] / [email protected]
www.atalayadecristo.org
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Las hipótesis indican lo que estamos buscando o tratando
de probar y pueden definirse como explicaciones tentativas
del fenómeno investigado formuladas a manera de
proposiciones.
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Las hipótesis no necesariamente son verdaderas, pueden o
no serlo, pueden o no comprobarse con hechos. Son
explicaciones tentativas, no los hechos en sí.
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Dentro de la investigación científica, las hipótesis son
proposiciones tentativas acerca de las relaciones entre dos
o más variables y se apoyan en conocimientos organizados
y sistematizados.
Sampieri H., Roberto. "Metodología de la Investigación". McGraw Hill:
Segunda Edición. 1998 BEST SELLER INTERNACIONAL.
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Hipótesis nulas son, en cierto modo, el reverso de las
hipótesis de investigación.
También constituyen
proposiciones acerca de la relación entre variables;
que sirven solo para refutar o negar lo que afirma la
hipótesis de investigación.
Hipótesis alternativas, como su nombre lo indica, son
posibilidades "alternas" ante las hipótesis de
investigación y nula:
Ofrece otra descripción o
explicación distintas a las que proporcionan estos
tipos de hipótesis.
Si la hipótesis de investigación establece: "esta silla es
roja", y podrían formularse una o más hipótesis
alternativas: ""esta silla es azul", "esta silla es verde",
"esta silla es amarilla", etcétera.
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Hipótesis estadísticas son las transformaciones de las
hipótesis de investigación, nulas y alternativas en
símbolos estadísticos.
Se pueden formular solo
cuando los datos del estudio que se van a recolectar y
analizar para probar o rechazar las hipótesis son
cuantitativos (números, porcentajes, promedios). Es
decir, el investigador traduce su hipótesis de
investigación y su hipótesis nula (y cuando se
formulan hipótesis alternativas, también estas) en
términos estadísticos.
En estadística, una hipótesis es una afirmación o
declaración que se hace acerca de una propiedad de
una población.
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Componentes de una Prueba de Hipótesis.
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Hipótesis nula (denotada por Ho) es una declaración acerca del
valor de un parámetro de población (como la media) y debe
contener la condición de igualdad escrita con el símbolo =, o . (Al
efectuar realmente la prueba, operaremos bajo el supuesto de
que el parámetro es igual a algún valor especifico.) En el caso de
la media, la hipótesis nula se expresara en una de estas tres
posibles formas:
Ho:  = algún valor
Ho:   algún valor
Ho:   algún valor
Por ejemplo, la hipótesis nula que corresponde a la creencia
común de que la temperatura corporal media es 98.6ºF se
expresa como Ho:=98.6.
Probamos la hipótesis nula
directamente en el sentido de que suponemos que es verdad y
llegamos a una conclusión que puede ser rechazar Ho o bien en
no rechazar Ho.
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Nunca se puede aceptar la hipótesis nula como verdadera. El no
rechazo de la hipótesis nula solamente significa que la evidencia
muestral no es lo suficientemente fuerte como para llegar a su
rechazo.
Antes que se rechace la hipótesis nula, la media muestral debe
diferir significativamente de la media poblacional planteada como
hipótesis. Es decir, que la evidencia debe ser muy convincente y
concluyente. Una conclusión con base en un rechazo de la
hipótesis nula es más significativa que una que termine en una
decisión de no rechazo.
Diferencia estadísticamente insignificante
En la diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la
hipótesis y el valor de la media muestral que es lo
suficientemente pequeña como para atribuirla a un error de
muestreo.
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Hipótesis Alternativa (denotada por Ha) es la
declaración que debe ser verdad si la hipótesis nula es
falsa. En el caso de la media, la hipótesis alternativa
se expresara en una de tres posibles formas:
Ha:   algún valor
Ha:  > algún valor
Ha:  < algún valor
Obsérvese que Ha es lo contrario de Ho. Por ejemplo,
si Ho se da como  =98.6, se sigue que la hipótesis
alternativa esta dada por Ha:   98.6.
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Errores Tipo I y Tipo II.
Al probar una hipótesis nula, llegamos a una conclusión de
rechazarla o no rechazarla. Tales conclusiones a veces son
correctas y a veces equivocadas. Hay dos tipos de errores que
podemos cometer.
Error Tipo I.
El error de rechazar la hipótesis nula, dado que es verdadera.
La probabilidad de cometer un error tipo I es igual al nivel de
significancia, o valor en el que se prueba la hipótesis.
Error Tipo II.
Es no rechazar una hipótesis nula que es falsa. Usamos el
símbolo para representar la probabilidad de error tipo II.
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Como controlar los errores tipo I y tipo II.
practicas que podrían ser pertinentes:
Consideraciones
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1. Para cualquier  fija, un aumento en el tamaño de muestra n
hace que  disminuya. Es decir, una muestra más grande reduce
la posibilidad de cometer el error de no rechazar la hipótesis
nula, dado que en realidad es falsa.
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2. Para cualquier tamaño de muestra fijo n, una disminución de 
causara un incremento en . Por otra parte, un incremento en 
causara una disminución en .
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3. Si queremos reducir tanto  como , deberemos aumentar el
tamaño de muestra.
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Estadística de Prueba.
Una estadística de muestra o un valor basado en los datos de
una muestra. Se utiliza una estadística de prueba para tomar la
decisión de rechazar o no la hipótesis nula.
Z = (X' - )/(/n)
Z = (X' - )/(s/n)
Región critica.
El conjunto de todos los valores de la estadística de prueba que
nos harían rechazar la hipótesis nula.
Valor critico.
El valor o valores que separan la región critica de los valores de la
estadística de prueba que no nos harían rechazar la hipótesis
nula. Los valores críticos dependen de la naturaleza de la
hipótesis nula, la distribución de muestreo pertinente y el nivel
de significancia .
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Las colas de una distribución son las regiones extremas delimitadas por
valores críticos. Rechazamos la hipótesis nula Ho si nuestra estadística
de prueba esta en la región critica o área de rechazo porque eso indica
una discrepancia significativa entre la hipótesis nula y los datos de la
muestra.
Algunas pruebas son de cola izquierda, con la región critica situada en
la región de extrema izquierda de la curva; otras podrían ser de cola
derecha, con la región critica en la región de la extrema derecha bajo la
curva.
En las pruebas de dos colas, el nivel de significancia  se divide
equitativamente entre las dos colas que constituyen la región critica o
área de rechazo. En las pruebas de cola derecha o izquierda, el área de
la región critica es .
Si examinamos la hipótesis nula Ho, deberemos poder deducir si una
prueba es de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. La cola
corresponderá a la región critica que contenga los valores que podrían
contradecir significativamente la hipótesis nula.
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Vale la pena destacar que tanto en la prueba de cola a la
izquierda como a la derecha el signo igual se coloca en la
hipótesis nula. Esto es porque la hipótesis nula se esta probando
a un valor  especifico (como 5%) y el signo igual da a la hipótesis
nula un valor especifico para probarla.
Una prueba de cola a la izquierda tiene una zona de rechazo solo
en la cola izquierda y se da bajo la condición de:
Ho:   algún valor
Ha:  < algún valor
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo
en la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho:   algún valor
Ha:  > algún valor
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Prueba de dos colas para
Hay cuatro pasos involucrados
prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis Ho y Ha.
en
una
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de prueba Z, t, F,
X².
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Paso 3: Determinar la regla de decisión con
baseen los valores críticos de Z, t, F, X².
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Paso 4: Interpretación y conclusiones.
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Caso I.
Como gerente de compras de una gran empresa de
seguros usted debe decidir si actualizar o no los
computadores de la oficina. A usted se le ha dicho
que el costo promedio de los computadores es de
US$2,100. Una muestra de 64 minoristas revela un
precio promedio de US$2,251, con una desviación
estándar de US$812. ¿A un nivel de significancia del
5% parece que su información es correcta?
Datos:
Ho:  =US$2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251 precio promedio (de los computadores) de la
muestra
s=US$812
 =5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
El gerente de compra desea probar la hipótesis de que la media
poblacional es =US$2,100 bajo un nivel de significancia
=5%=0.05. Debido a que se plantea la hipótesis de que 
=US$2,100, la hipótesis nula y la alternativa son:
Ho:  = 2,100
Ha:   2,100
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y
se compara con los valores críticos de Z.
Z = (X' - H)/(/n)
Z = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional
bajo hipótesis nula
s/n es el error estándar de la distribución
muestral
Ho:  = 2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251
s=US$812
Z = (2,251 - 2,100)/(812/8)
Z = (151)/(101.5)
Z = 1.49
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 5% se divide en dos colas. El 95%
restante se divide por 2 para hallar el área de 0.4750. En
la tabla Z esta área de 0.4750 da los valores críticos de Z
de 1.96.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula
sí -1.96  Z  1.96. Se rechaza sí Z < -1.96 o Z > 1.96.
Vale la pena destacar que las zonas de rechazo están en
ambas colas. Si Z < -1.96 o Z > 1.96, se rechaza la
hipótesis nula.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del
estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula
debería rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra
es X'=US$2,251 produce una Z=1.49 ==> 1.49<1.96 y cae
dentro de la zona de no rechazo.
Interpretación:
La diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la
hipótesis nula de = 2,100 y el valor de la media muestral de
X'=US$2,251 es estadísticamente insignificante. Podría resultar
simplemente del error de muestreo. De hecho sí =2,100; el
95% de todas las muestras de tamaño n=64 producirán valores
de Z entre  1.96.
Caso II.
Un contrato de manejo laboral exige una producción diaria de 50
unidades. Una muestra de 150 días revela una media de 47.3,
con una desviación estándar de 5.7 unidades. Fije =5% y
determine si se cumple con la disposición del contrato.
Caso III.
Un gerente de una empresa considera que los empleados gastan
un promedio de 50 minutos para llegar al trabajo. Se toma una
muestra de 70 empleados que se toman en promedio 47.2
minutos con una desviación estándar de 18.9 minutos. Fije  en
1% y pruebe la hipótesis.
TAREA: Ejercicios 1 al 16 Págs. 204-205. Para entregar en la
próxima clase.
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados,
afirma que el numero de tiendas que se abre se ha
incrementado por encima del promedio semanal de
10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall
Street Journal, febrero de 1997).
¿Existe alguna
evidencia para sustentar esta afirmación si 50
semanas muestran una media de 12.5 y una
desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta
dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de
rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Datos:
N =50 semanas
X‘ =12.5 tiendas de la muestra
S =0.66 tiendas
 =4%=0.04 (nivel de significancia)
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el
numero de tiendas que se abre se ha incrementado por encima
del promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de
escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997). ¿Existe
alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas
muestran una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66
tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una probabilidad
del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el incremento es por encima del promedio
semanal de 10.4 sirve como hipótesis alternativa debido a que 
>10.4 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo
en la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho:   algún valor
Ha:  > algún valor
Ha:  > 10.4 tiendas semanal
Ho:   10.4 tiendas semanal
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero de tiendas
que se abre se ha incrementado por encima del promedio semanal de 10.4
experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997).
¿Existe alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas muestran
una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta
dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si
esta es cierta.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico
de prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara
con los valores críticos de Z.
Z = (X' - H)/(/n)
Z = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
= (12.5 - 10.4)/(0.66/50)
= 2.1/0.093
= 22.5
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero
de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio
semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street
Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta
afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación
estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una
probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos
de Z.
El nivel de significancia del 4%. El 50% se resta de 4% para hallar el área
de 0.46. En la tabla Z esta área de 0.46 da el valor critico de Z de 1.75.
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La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí Z
rechaza sí Z>1.75”.
 1.75.
Se
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero
de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio
semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street
Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta
afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación
estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una
probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del
estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería
rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra produce una
Z=22.5 ==> 22.5>1.75 y cae dentro de la zona de rechazo o región
critica.
Interpretación:
La hipótesis nula se rechaza ya que en tiempo de escasez se abren mas
de 10.4 tiendas semanal
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Caso II.
Según Wall Street Journal (mayo 12 de 1997)
muchas compañías de ropa deportiva están
tratando de comercializar sus productos entre
los mas jóvenes. El articulo sugirió que la
edad promedio de los consumidores había
caído por debajo de la media de 34.4 años
que caracterizo los comienzo de la década. Si
una muestra de 1000 clientes reporta una
media de 33.2 años y una desviación de 9.4,
¿qué se concluye a un nivel de significancia de
4%?
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Caso III
Un distribuidor de bebidas plantea la hipótesis
de que las ventas por mes promedian
US$12,000. Diez meses seleccionados como
muestra reportan una media de US$11,277 y
una desviación estándar de US$3,772. Si se
utiliza un valor  del 5%. ¿Que puede concluir
acerca de la impresión que tienen el
distribuidor sobre las condiciones del negocio?
Ejercicios 33 al 40 Págs. 215-216.
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El Método de valor P para probar hipótesis.
Dado una hipótesis nula y datos de muestra, el valor p refleja
la verosimilitud de obtener los valores de muestra en
cuestión suponiendo que la hipótesis nula realmente es
verdad.
Valor P (o valor de probabilidad) es la probabilidad de
obtener un valor de la estadística de prueba que será al
menos tan extremo como se obtiene a partir de los datos de
muestra, suponiendo que la hipótesis es verdad.
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Valor P es el nivel más bajo de significancia (valor mínimo) al
cual se puede rechazar la hipótesis nula. Es el área en la cola
que está más allá del valor del estadístico para la muestra.
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El Método de valor P para probar hipótesis.
Algunos criterios de decisión basados exclusivamente
en el valor P:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el
nivel de significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor
que el nivel de significancia.
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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation
introdujo su Play Station de 32 bits en el mercado de los
juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo
producto incrementara las ventas mensuales en Estados
Unidos por encima de los US$283,000,000 que Sony
había experimentado en la década anterior. Una
muestra de 40 meses reporto una media de
US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de
US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a un nivel de
significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Datos:
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
α=1%=0.01 (nivel de significancia)
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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su
Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La
gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara las ventas
mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra
de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se asume una
desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a
un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el nuevo producto incrementara las ventas por
encima de US$283,000,000 sirve como hipótesis alternativa
debido a que µ > US$283,000,000 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en
la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho: µ ≤ algún valor
Ha: µ > algún valor
Ha: µ > US$283,000,000 (ventas mensuales)
Ho: µ ≤ US$283,000,000 (ventas mensuales)
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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits
en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto
incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto
una media de US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000.
Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z. Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con
los valores críticos de Z.
Z = (X' - µ H)/(σ/√n)
Z = (X' - µ H)/(s/√n)
Ho: US$283,000,000 (ventas mensuales)
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
α =1%=0.01 (nivel de significancia)
Z = (297,000,000 283,000,000)/(97,000,000/40)
Z = 14,000,000/15,337,047.42 = 0.91
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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits
en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto
incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto
una media de US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000.
Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
El valor Z para el nivel de insignificancia de 1% se obtiene en la tabla
después de restar 0.5-0.01= 0.49, el cual corresponde a 2.33
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos
de Z.
En la tabla Z el valor Z de 0.91 tiene el área de 0.3186. Por lo tanto el:
valor P = 0.5 - 0.3186 = 0.1814
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La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de
significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de
significancia.

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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su
Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La
gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara las ventas
mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra
de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se asume una
desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a
un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.


El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del
estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería
rechazarse o no. Como el valor de significancia es menor que
0.1814 para la muestra de Z=0.91 cae en la zona de no rechazo.
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Interpretación:
La hipótesis nula no se rechaza.
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Caso II.
En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un presupuesto
federal que contenía varias partidas para reducciones de impuestos.
Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente promedio
US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes demostró
una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una
desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel
de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
Datos:
n= 500 contribuyentes
X'=US$785.10
s=US$277.70
α =5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho: µ = US$800.00
Ha: µ  US$800.00
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Caso II.
En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un presupuesto
federal que contenía varias partidas para reducciones de impuestos.
Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente promedio
US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes demostró
una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una
desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel
de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor
del estadístico de prueba Z.
Z = (X' - µ H)/(σ/√n)
Z = (X' - µ H)/(s/√n)
= (785.10 – 800.00)/(277.70/500)
= -14.9/12.42
= - 1.20
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Caso II. En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un
presupuesto federal que contenía varias partidas para reducciones de
impuestos. Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente
promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes
demostró una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con
una desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel
de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
El valor Z para el nivel de insignificancia de 5% se divide entre dos. Se
obtiene en la tabla el valor de Z = 1.96.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos
de Z.
En la tabla Z, el valor Z de 1.20 tiene el área de 0.3849. Por lo tanto el:
0.5 - 0.3849 = 0.1151
valor P = 2 * 0.1151 = 0.2302
La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de
significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de
significancia.


Caso II. En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un
presupuesto federal que contenía varias partidas para reducciones de
impuestos. Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente
promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes
demostró una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con
una desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel
de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.


El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del
estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería
rechazarse o no. Como el valor de significancia es menor que 0.2302
para la muestra de Z = -1.20 cae en la zona de no rechazo.


Interpretación:


La hipótesis nula no se rechaza.


En secciones anteriores determinamos (1) el estimado
puntual, (2) intervalo de confianza y (3) determinamos el
tamaño de la muestra para medias y proporciones, en esta
sección los aplicaremos a la varianza de población ² o
desviación estándar de población .
Muchas situaciones reales, como el control de calidad en un
proceso de fabricación, requiere estimar valores de
varianzas o desviaciones estándar de población. Además
de fabricar productos cuyas mediciones producen una
media deseada, el fabricante debe elaborar productos con
una calidad uniforme que no abarquen toda la gama desde
extremadamente
buenos
hasta
extremadamente
deficientes. Dado que tal uniformidad a menudo se puede
medir por la varianza o la desviación estándar, estas se
convierten en estadísticas vitales para mantener la calidad
de los productos.






En una población distribuida normalmente con
varianza ², seleccionamos aleatoriamente muestras
independientes de tamaño n y calculamos la varianza
de muestras s² para cada muestra. La estadística de
muestra ²=(n-1)s²/² tiene una distribución llamada
distribución Chi cuadrada.
²=(n-1)s²/²
n = tamaño de muestra
s²= varianza de muestra
²= varianza de población
La distribución Chi cuadrada esta determinada por el
numero de grados de libertad, por el momento
usaremos n-1 grados de libertad.




Propiedades de la Distribución de la estadística Chi
cuadrada.
1.- La Distribución Chi cuadrada no es simétrica, a
diferencia de las distribuciones normal y t Student (A
medida que aumenta el número de grados de libertad,
la distribución se vuelve más simétrica).
2.- Los valores de Chi cuadrada pueden ser cero o
positivos, pero no pueden ser negativos.
3.- La distribución Chi cuadrada es diferente para cada
número de grados de libertad, que es gl=n-1. A
medida que aumenta el numero de grados de libertad,
la distribución Chi cuadrada se acerca a una
distribución normal.




Caso I.
Usando la tabla H Distribución Chi-cuadrado.
Encuentre los valores críticos de ² que determinan
regiones críticas que contienen un área de 0.025 en
cada cola.
Suponga que el tamaño de muestra
pertinente es de 10, de modo que el número de grados
de libertad es 10-1=9
Solución: El valor crítico de la derecha (²=19.023) se
obtiene directamente localizando 9 en la columna de
grados de libertad de la izquierda y 0.025 en la fila
superior. El valor crítico de ²=2.700 de la izquierda
también corresponde a 9 en la columna de grados de
libertad, pero es preciso localizar 0.975 (que se
obtiene de restar 0.025 a 1) en la fila superior porque
los valores de esa fila siempre son áreas a la derecha
del valor critico.



Al obtener valores críticos de Chi cuadrada de la Tabla H
Distribución Chi-cuadrado, obsérvese que los números de
grados de libertad son enteros consecutivos del 1 al 30,
seguidos de 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. Si no se
encuentra en la tabla un número de grados de libertad
(digamos 52), por lo regular puede usarse el valor crítico
más cercano. Por ejemplo, si el número de grados de
libertad es 52, remítase a la tabla y use 50 grados de
libertad.
(Si el número de grados de libertad esta
exactamente a la mitad entre dos valores de la tabla, como
55, simplemente calcule la media de los dos valores de ².)
Para números de grados de libertad mayores que 100, use
la ecuación siguiente:
²=1/2 [Z+(2k-1)]²
donde k es el numero de grados de libertad.




Caso II.
Encuentre los valores críticos ²L y ²R que
corresponden al grado de confianza y tamaño
de muestra dados.
1. 95%; n=26
3. 90%; n=60
2. 99%; n=17
4. 95%; n=50


Estimadores de ².
Dado que las varianzas de muestras s² (que se obtienen
con la formula s²=[(x-x')²]/(n-1)) tienden a centrarse
alrededor del valor de la varianza de la población ²,
decimos que s² es un estimador no predispuesto de ². Es
decir, las varianzas de muestras s² no tienden a
sobreestimar sistemáticamente ²; en vez de ello, tienden a
centrarse en el valor de ² mismo. Además, los valores s²
tienden a producir errores más pequeños al estar mas
cerca de ² que otras medidas de variación. Por estas
razones, el valor s² es el mejor valor individual (o estimado
puntual) de las diversas estadísticas que podríamos usar
para estimar ².



La varianza de muestra s² es el mejor estimado
puntual de la variación de la población ².
Dado que s² es el mejor estimado puntual de ², sería
natural esperar que s sea el mejor estimado puntual
de , pero no sucede así, porque s es un estimador
predispuesto de . Por otra parte, si el tamaño de
muestra es grande, la predisposición es tan pequeña
que
podemos
usar
s
como
un
estimado
razonablemente bueno de .
Aunque s² es el mejor estimado puntual de ², no
tenemos una indicación de lo bueno que es realmente.
Para compensar esta deficiencia, deducimos un
estimado de intervalo (o intervalo de confianza) que es
más revelador.




Intervalo de confianza (o estimado de intervalo) para la varianza de
población ².
Despeje:
El intervalo de confianza es:
²=(n-1)s²/²
²=(n-1)s²/²
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
El intervalo de confianza para la desviación estándar se obtiene
calculando la raíz cuadrada de cada componente anterior:


[(n-1)s²/²R] <  < [(n-1)s²/²L]
Con un área total de dividida equitativamente  entre las dos colas
de una distribución Chi cuadrada, ²L denota el valor critico de cola
izquierda y ²R denota el valor critico de cola derecha.



Los limites de intervalos de confianza para ² y  se
deben redondear aplicando la regla de redondeo
siguiente:
1. Si usa el conjunto de datos original para construir
un intervalo de confianza, redondee los limites del
intervalo de confianza a una posición decimal más que
las empleadas en el conjunto de datos original.
2. Si desconoce el conjunto de datos original y sólo
usa las estadísticas resumidas (n,s), redondee los
limites del intervalo de confianza al mismo número de
posiciones decimales que se usan para la desviación
estándar o varianza de muestra.




Caso I.
La Panificadora Pepin produce bizcochos que se empacan en
cajas cuyos rótulos dicen contienen 12 bizcochos con un total de
42 onzas. Si la variación entre los bizcochos es demasiado
grande, algunas cajas pesaran menos de lo debido (engañando a
los clientes) y otras pesaran más (reduciendo las utilidades). El
supervisor de control de calidad determino que puede evitar
problemas si los bizcochos tienen una media de 3.50 onzas y
una desviación estándar de 0.06 onzas o menos. Se seleccionan
aleatoriamente doce bizcochos de la línea de producción y se
pesan, con los resultados que se dan aquí (en onzas). Construya
un intervalo de confianza del 95% para ² y un intervalo de
confianza del 95% para , y luego determine si el supervisor de
control de calidad está en problemas.
3.43 3.37 3.58 3.50 3.68 3.61
3.42 3.52 3.66 3.50 3.36 3.42

s²=[(x-x')²]/(n-1))
X
X-X'
3.43
-0.074
3.37
-0.134
3.58
0.076
3.5
-0.004
3.68
0.176
3.61
0.106
3.42
-0.084
3.52
0.016
3.66
0.156
3.5
-0.004
3.36
-0.144
3.42
-0.084
42.05
MEDIA
VARIANZA
3.504 DESVIACION
(X-X')^2
0.005
0.018
0.006
0.000
0.031
0.011
0.007
0.000
0.024
0.000
0.021
0.007
0.131
0.012
0.109
Descriptive statistics
X
count
12
mean
3.5042
sample variance
0.0119
sample standard deviation
0.1091
f(Chisq)
0
1
Chisq
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3.82
Chi-square distribution
df = 11
P(lower)
P(upper) Chi-square
.9750 .0250 21.92
.0250 .9750
3.82
15
16
17
18
19
20
21
22
21.92
23
24
25


Solución:
Con base en los datos de muestra, la media de
X'=3.504 parece excelente porque esta muy
cerca del valor deseado. Los puntajes dados
tienen una desviación estándar de s=0.109, que
podría parecer mayor que el valor deseado de
0.06 o menos.
Procedamos a obtener el
intervalo de confianza para ².








Con una muestra de 12 puntajes tenemos 11 grados de libertad. Con un
grado de confianza del 95%, dividimos =0.05 equitativamente entre las dos
colas de la distribución ² y nos remitimos a los valores de 0.975 y 0.025 en
la fila superior.
Los valores críticos de ² son ²L=3.816 y ²R=21.920. Utilizando estos
valores críticos junto con la desviación estándar de muestra s=0.109 y el
tamaño de muestra de 12 construimos el intervalo de confianza del 95%
evaluando lo siguiente:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
(12-1)(0.109)²/21.920 < ² < (12-1)(0.109)²/(3.816)
0.006 < ² < 0.034
Si sacamos la raíz cuadrada de cada parte (antes de redondear) obtenemos:
0.077 <  < 0.185
Con base en el intervalo de confianza del 95% para , parece que la
desviación estándar es mayor que el valor deseado de 0.06 o menos, así que
el supervisor de control de calidad está en problemas y deberá tomar
medidas correctivas para hacer que el peso de los bizcochos sea más
uniforme.



El intervalo de confianza de 0.077 <  < 0.185 también puede
expresarse como (0.077,0.185), pero el formato de =sE no puede
usarse porque el intervalo de confianza no tiene a s en su centro.
Caso II.
Un recipiente anticongelante para automóvil supuestamente contiene
3,785 ml del liquido. Consciente de que las fluctuaciones son
inevitables, la gerente de control de calidad quiere estar muy segura
de que la desviación estándar sea de menos de 30 ml; De lo contrario,
algunos recipientes se desbordaran, mientras que otros no tendrán
suficiente anticongelantes.
Ella selecciona aleatoriamente una
muestra, con los resultados que se dan aquí. Utilice estos resultados
para construir el intervalo de confianza del 99% para el verdadero
valor de . ¿Sugiere este intervalo de confianza que las fluctuaciones
están en un nivel aceptable?




3,761 3,861 3,769 3,772 3,675 3,861
3,888 3,819 3,788 3,800 3,720 3,748
3,753 3,821 3,811 3,740 3,740 3,839
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
MEDIA
X
X-X'
(X-X')^2
3,761.00
-26.00
676.00
3,861.00
74.00
5,476.00
3,769.00
-18.00
324.00
3,772.00
-15.00
225.00
3,675.00 -112.00
12,544.00
3,861.00
74.00
5,476.00
3,888.00
101.00
10,201.00
3,819.00
32.00
1,024.00
3,788.00
1.00
1.00
3,800.00
13.00
169.00
3,720.00
-67.00
4,489.00
3,748.00
-39.00
1,521.00
3,753.00
-34.00
1,156.00
3,821.00
34.00
1,156.00
3,811.00
24.00
576.00
3,740.00
-47.00
2,209.00
3,740.00
-47.00
2,209.00
3,839.00
52.00
2,704.00
3,787.00 VARIANZA
3,066.82
DESVIACION
55.38
Descriptive statistics
X
count
18
mean
3,787.0000
sample variance
3,066.8235
sample standard55.3789
deviation
minimum
3675
maximum
3888
range
213








Con una muestra de 18 puntajes tenemos 17 grados de libertad. Con
un grado de confianza del 99%, dividimos =0.01 equitativamente
entre las dos colas de la distribución ² y nos remitimos a los valores de
0.995 y 0.005 en la fila superior.
Los valores críticos de ² son ²L=5.697 y ²R=35.718. Utilizando estos
valores críticos junto con la desviación estándar de muestra s=55.38 y
el tamaño de muestra de 18 construimos el intervalo de confianza del
99% evaluando lo siguiente:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
(18-1)(55.38)²/35.718 < ² < (18-1)(55.38)²/(5.697)
1,459.66 < ² < 9,151.48
Si sacamos la raíz cuadrada de cada parte (antes de redondear)
obtenemos:
38.21 <  < 95.6
Con base en el intervalo de confianza del 99% para , parece que la
desviación estándar es mayor que el valor deseado de 30 ml, y algunos
recipientes se desbordaran, así que el supervisor de control de calidad
está en problemas y deberá tomar medidas correctivas.



Caso III.
a) Los valores que se listan son tiempos de espera (en minutos) de
clientes del BHD, donde los clientes se forman en una sola fila que
alimenta tres ventanillas. Construya un intervalo de confianza del
95% para la desviación estándar de la población .
6.5 6.6.
6.7
6.8
7.1
7.3
7.4
7.7
7.7
7.7



b) Los valores que se listan son tiempos de espera (en minuto) de
clientes del Banco Popular, donde los clientes pueden formarse en
cualquiera de tres filas distintas que se han formado frente a tres
ventanillas distintas. Construya un intervalo de confianza del 95%
para  y compare los resultados con el intervalo de confianza para
los datos del Banco BHD. ¿Sugieren los intervalos de confianza
alguna diferencia en la variación de los tiempos de espera de cada
banco? ¿Cuál sistema parece mejor: el de fila única o el de múltiples
filas?
4.2 5.4
5.8
6.2
6.7
7.7
7.7
8.5
9.3
10.0




Caso IV.
Se espera que un proceso estandarizado produzca arandelas con
una desviación muy pequeña en su espesor. Suponga que se
tomaron 10 de estas arandelas y sus espesores, en pulgadas fueron:
0.123
0.124 0.126 0.120 0.130 0.133 0.125 0.128
0.124 0.126
¿Cuál es un intervalo de confianza de 90 por ciento para la
desviación estándar del espesor de una arandela producida
mediante este proceso?







Determinación del tamaño de muestra.
Los procedimientos para encontrar el tamaño de muestra necesario
para estimar σ² son muchos más complejos que los procedimientos que
se dieron antes para las medias y proporciones. En lugar de aplicar
procedimientos muy complicados, usaremos la tabla 6-2.
Caso I.
Con una confianza del 95%, queremos estimar σ dentro de un margen
de error del 10%. ¿Qué tamaño deberá tener la muestra? Supongamos
que la población está distribuida normalmente.
Solución: En la tabla 6-2 vemos que una confianza del 95% y un error
del 10% para corresponde a un tamaño de muestra de 191. Deberemos
seleccionar aleatoriamente 191 valores de la población.
Caso II.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una
confianza del 95% en que la desviación estándar de la muestra s estará
a menos del 30% de σ.






Caso III.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una
confianza del 99% en que la desviación estándar de la muestra s
estará a menos del 20% de σ.
Caso IV.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una
confianza del 99% en que la varianza de la muestra estará a menos
del 30% de la varianza de la población.
Caso V.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una
confianza del 95% en que la varianza de la muestra estará a menos
del 40% de la varianza de la población.
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