Universidad de Antioquia

Álgebra y Trigonometrı́a
tem
atic
as
(CNM-108)
Clase 8 – Geometrı́a analı́tica: parábolas, elipses e hipérbolas
Ma
Departamento de Matemáticas
http://ciencias.udea.edu.co/
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Dep
to.
de
c 2008. Reproducción permitida bajo los
Copyleft términos de la licencia de documentación libre GNU.
Índice
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3
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
2. Elipses
2.1. Secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Elipses con centro (0, 0) . . . . . . . . . . . .
2.5. Ecuación estándar . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Trazado de una elipse con centro en el origen
2.7. Trazado de una elipse con centro en el origen
2.8. Elipses con centro (h, k) . . . . . . . . . . . .
2.9. Trazado de una elipse con centro (h, k) . . . .
2.10. Excentricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
Un
ive
r
sida
dd
eA
ntio
qui
a-
1. Parábolas
1.1. Secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Parábolas con vértice V (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Determinación del foco y la directriz de una parábola . . .
1.5. Determinación de la ecuación de una parábola . . . . . . . .
1.6. Parábolas con vértice V (h, k) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Parábolas con vértice V (h, k) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Trazado de una parábola con eje horizontal . . . . . . . . .
1.9. Determinación de una parábola dados su vértice y directriz
1.10. Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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de
to.
Dep
aqui
ntio
eA
dd
sida
ive
r
Un
2
.
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14
14
14
15
15
16
16
17
17
as
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tem
atic
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.
Ma
3. Hipérbolas
3.1. Secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Hipérbolas con centro (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Ecuación estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Trazado de una hipérbola con centro en el origen . . .
3.6. Trazado de una hipérbola con centro en el origen . . .
3.7. Determinación de una hipérbola con condiciones dadas
3.8. Hipérbola con centro (h, k) . . . . . . . . . . . . . . .
as
1.1.
Parábolas
Secciones cónicas
tem
atic
1.
de
Ma
Surgen al intersecar la superficie de un cono con un plano
Dep
• Cı́rculo
• Elipse
• Parábola
qui
a-
• Hipérbola
Definición
ntio
1.2.
to.
Dependiendo de la posición del plano obtenemos:
eA
Definición 1.1 (Parábola). Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano
que equidistan de un punto fijo F (el foco) y una recta fija ℓ (la directriz) que están en el
plano.
dd
y
P (x, y)
V
=
2
x
P ′ (x, −p)
Un
p
(x − 0)2 + (y − p)2
x2 = 4py
3
d(P, P ′ )
p
(x − x)2 + (y + p)2
2
=
y 2 + 2py + p2
x2
=
4py
x + y − 2py + p
ive
r
ℓ
=
2
sida
F (0, p)
d(P, F )
ó
y=
1 2
4p x
x2 = 4py
y
x2 = 4py
y
as
Parábolas con vértice V (0, 0)
tem
atic
1.3.
y = −p
x
F (0, p)
F (0, p)
x
Ma
y = −p
y
y
to.
F (p, 0)
F (p, 0)
x
Dep
x
x = −p
a-
x = −p
1.4.
y 2 = 4px
de
y 2 = 4px
Determinación del foco y la directriz de una parábola
qui
Ejemplo 1.1. Encuentre el foco y la directriz de la parábola
8y = x2
ntio
y trace su gráfica.
Solución
=
y
=
x2
1
x2
8
|{z}
a
4p
=
p
=
1
4p
1
a
1
4a
ive
r
=
=
1
4 · 18
Un
a
=
1
1
2
F (0, 2)
1
x
sida
Foco:
y
2
dd
8y
eA
Ecuación:
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
=
2
4
y = −2
Determinación de la ecuación de una parábola
as
1.5.
tem
atic
Ejemplo 1.2. Determine la ecuación de una parábola que tiene vértice en el origen, abre
a la izquierda y pasa por el punto P (−7, −3).
Solución
y
Ecuación
3
= ay 2
−7
= a (−3)
−7
= 9a
-7
-3
-2
F
-1
-1
x
1
=
eA
ntio
y
(x − h)2 = 4p(y − k)
y
x
y =k−p
V (h, k)
F (h, k + p)
dd
V (h, k)
9
= −0,321428571
28
aqui
(x − h)2 = 4p(y − k)
F (h, k + p)
−
y =k−p
sida
x
p<0
ive
r
p>0
5
-3
Dep
1
1
= − 28
7
4 −9
9
Parábolas con vértice V (h, k)
Un
1.6.
1
=
4a
-4
1
-2
P (−7, −3)
Foco:
=
-5
= a
7
x = − y2
9
p
-6
de
− 97
-8
Ma
2
2
to.
x
as
Parábolas con vértice V (h, k)
(y − k)2 = 4p(x − h)
y
(y − k)2 = 4p(x − h)
y
x=h−p
x=h−p
F (h + p, k)
Ma
F (h + p, k)
V (h, k)
V (h, k)
x
de
x
p>0
p<0
to.
Trazado de una parábola con eje horizontal
Ejemplo 1.3. Trace la gráfica de
y = x2 − 4x + 2
Solución
2
=
x − 4x + 2
y−2
=
x2 − 4x
y − 2 + (?)
` ´2
y − 2 + −4
2
=
x2 − 4x + (?)
` ´2
x2 − 4x + −4
2
ntio
qui
y
=
2
y−2+4
=
x − 4x + 4
y+2
=
(x − 2)2
eA
(x − h)2 = 4p(y − k)
dd
4
1
3
y = −2,25
= F 2, − 4
6
2
-1
-3
ive
r
Un
1
-2
7
sida
• F (h, k + p) = F 2, −2 +
1
2
F
• h = 2, k = −2 y 4p = 1 ⇒ p = 1/4
• V (h, k) = V (2, −2)
y
a-
Ecuación
Dep
1.8.
tem
atic
1.7.
x
Determinación de una parábola dados su vértice y directriz
as
1.9.
tem
atic
Ejemplo 1.4. Determine la ecuación de la parábola que tiene como vértice a V (3, −5) y
directriz x = 2
Solución
y
1
2
3
4
h=3
x
k = −5
-1
-2
x=h−p ⇒ 2=3−p ⇒ p=1
(y − k)2
-4
V
2
(y − (−5))
2
(y + 5)
-7
=
4(x − 3)
=
4(x − 3)
Ejemplo de aplicación
Dep
1.10.
4p(x − h)
to.
-6
=
de
x=2
-3
-5
Ma
-1
a-
Ejemplo 1.5. El radiotelescopio mostrado en la figura en forma de paraboloide tiene un
diametro de 120 metros y una profundidad de 20 metros. Éste concentra los haces de las
señales que inciden de manera paralela al eje de la parábola en un receptor situado en el
foco. Encuentre la distancia desde el centro del disco hasta el receptor.
Un
ive
r
sida
dd
eA
ntio
qui
Solución
7
y2
602
= 4px
= 4p · 20
3600 = 80p
p
⇓
=
360
8
= 45 metros
as
2.1.
Elipses
Secciones cónicas
tem
atic
2.
Posibilidades:
• Cı́rculo
Ma
• Elipse
• Parábola
de
• Hipérbola
2.2.
qui
a-
Dep
to.
Las elipses se pueden generar. . .
Definición
ntio
Definición 2.1 (Elipse). Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano tales
que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva
dd
eA
y
F2 (c, 0)
Un
ive
r
sida
F1 (−c, 0)
P (x, y)
8
x
x2 − 2xc + c2 + y 2
p
4a (x + c)2 + y 2
p
a (x + c)2 + y 2
`
´
a2 (x + c)2 + y 2
`
´
a2 x2 + 2xc + c2 + y 2
=
4a2 + 4xc
=
a2 + xc
` 2
´2
a + xc
=
a4 + 2a2 xc + x2 c2
=
a4 + 2a2 xc + x2 c2
=
a4 − a2 c2
`
´
a2 a2 − c2
=
2
=
1,
`
´
dividimos por a2 a2 − c2
x2 y 2
+ 2
a2
b
=
1,
b2 = a2 − c2
qui
a-
x
y
+
a2 a2 − c2
ntio
y 2 x2
+
=1
a2 b 2
y
eA
x2 y 2
+
=1
a2 b 2
y
b
a
dd
(0, b)
x
c F2 (c, 0) V2 (a, 0)
sida
V1 (−a, 0) F1 (−c, 0)
as
p
2a − (x + c)2 + y 2
”2
“
p
=
2a − (x + c)2 + y 2
p
= 4a2 − 4a (x + c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2
p
= 4a2 − 4a (x + c)2 + y 2 + x2 + 2cx + c2 + y 2
=
Elipses con centro (0, 0)
V2 (0, a)
F2 (0, c)
c
(−b, 0)
a
b
(b, 0)
(0, −b)
F1 (0, −c)
ive
r
Un
2.4.
2a
=
a2 x2 + 2a2 xc + a2 c2 + a2 y 2
` 2 2
´
a x − x2 c2 + a2 y 2
`
´
x2 a2 − c2 + a2 y 2
2
=
tem
atic
x2 − 2xc + c2 + y 2
2a
Ma
(x − c)2 + y 2
=
de
d(F1 , P ) + d(F2 , P )
p
(x + c)2 + (y − 0)2 + (x − c)2 + (y − 0)2
p
(x − c)2 + y 2
to.
p
Ecuación de la elipse
Dep
2.3.
9
V1 (0, −a)
x
as
Ecuación estándar
tem
atic
2.5.
Definición 2.2 (Elipse). La gráfica de una elipse con centro en el origen está dada por
x2 y 2
+
=1
a2 b 2
ó
x2 y 2
+
= 1,
b 2 a2
a>b>0
Longitud del eje mayor: 2a
Ma
Longitud del eje menor: 2b
c2 = a 2 − b 2
Trazado de una elipse con centro en el origen
to.
2.6.
de
Los focos están a una distancia c del origen
Ejemplo 2.1. Trace la gráfica de 4x2 + 25y 2 = 100 y halle sus focos.
Dep
Solución
y
=
0 =⇒ 4x2
=⇒
x
=
100
=
±5
0 =⇒ 25y
=⇒
y
=
100
=
±2
Ejes:
=⇒
-4
eje mayor sobre el eje x
Focos:
=⇒ c2 = a2 − b2 = 25 − 4 = 21
√
=⇒ c = 21
Un
ive
r
sida
dd
a=5 b=2
-5
eA
2<3
2
1
F1
ntio
x =
3
qui
Interseciones en y:
2
y
a-
Intersecciones en x:
10
F2
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
x
as
Trazado de una elipse con centro en el origen
Ejemplo 2.2. Trace la gráfica de 9x2 + 4y 2 = 36 y halle sus focos.
Solución
Intersecciones en x
=
0 =⇒ 9x2
=⇒
x
=
36
=
±2
4
3
Interseciones en y
2
0 =⇒ 4y 2
=⇒
y
=
36
=
±3
1
-3
-2
Ejes
1
2
x
3
=⇒
to.
-1
eje mayor sobre el eje y
-2
Focos
F1
-3
-4
=⇒ c2 = a2 − b2 = c2 = 32 − 22 = 5
√
=⇒ c = 5
a-
a = 3, b = 2
Elipses con centro (h, k)
ntio
qui
2.8.
-1
Dep
2 < 3
F2
de
x =
y
Ma
y
tem
atic
2.7.
y
dd
(h, k + b)
y
eA
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
(y − k)2 (x − h)2
+
=1
a2
b2
(h, k + a)
F2 (h, k + c)
F2 (h + c, k)
sida
(h − b, k)
(h + a, k)
(h + b, k)
(h, k)
x
x
(h, k − b)
ive
r
F1 (h − c, k)
(h, k)
Un
(h − a, k)
F1 (h, k − c)
11
(h, k − a)
Trazado de una elipse con centro (h, k)
as
2.9.
tem
atic
Ejemplo 2.3. Trace la gráfica de
16x2 + 9y 2 − 32x − 36y − 92 = 0
Solución
y
16x + 9y − 32x − 36y − 92 =
0
(16x2 − 32x) + (9y 2 − 36y) =
92
16(x2 − 2x) + 9(y 2 − 4y) =
92
16(x2 − 2x + ?) + 9(y 2 − 4y + ?) =
92
(y − 2)2
(x − 1)2
+
9
16
=
2
1
144
-4
1
1
Excentricidad
-3
-2
-1
1
2
3
-2
F1 (h, k − c)
-3
-4
qui
Definición 2.3 (Excentricidad). La excentricidad e de una elipse está dada por
√
a2 − b 2
a
ntio
c
e= =
a
donde
eA
a: semieje mayor
b: semieje menor
F2 (c, 0) (a, 0)
0 ≤ c < a
x
(0, −b)
Un
Observaciones
0 ≤ e < 1:
ive
r
(−a, 0) F1 (−c, 0)
sida
(0, b)
dd
c: distancia del centro de la elipse a cualquiera de los focos
y
⇒ 0 ≤
⇒
c
< 1
a
0 ≤ e < 1
e ≈ 0 =⇒ elipse “circular”
e ≈ 1 =⇒ elipse muy “plana”
12
4
-1
a-
2.10.
92 + 16 · 1 + 9 · 4
=
=
3
de
16(x − 2x + 1) + 9(y − 4y + 4) =
16(x − 1)2
9(y − 2)2
+
144
144
5
4
2
16(x − 1)2 + 9(y − 2)2
F2 (h, k + c)
6
to.
2
7
Ma
2
Dep
2
5
x
Aplicaciones
as
2.11.
de
1. Afelio: punto más distante al Sol sobre la trayectoria
Ma
2
to.
1
tem
atic
Proposición 2.1 (Primera ley de Kepler). Todos los planetas se desplazan alrededor del
Sol describiendo órbitas elı́pticas con el Sol en uno de sus focos.
Dep
2. Perihelio: punto más cercano al Sol sobre la trayectoria
Un
ive
r
sida
dd
eA
ntio
qui
a-
3. Distancia media: longitud del semieje mayor de la órbita elı́ptica descrita por el
planeta.
13
as
3.1.
Hipérbolas
Secciones cónicas
tem
atic
3.
Posibilidades:
• Cı́rculo
Ma
• Elipse
• Parábola
3.2.
qui
a-
Dep
to.
de
• Hipérbola
Definición
ntio
Definición 3.1 (Hipérbola). Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano
tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante
positiva
eA
y
dd
P (x, y)
F2 (c, 0)
Un
ive
r
x2 y 2
−
a2 b 2
14
= 2a
..
.
x2
y2
−
a 2 c2 − a 2
x
sida
F1 (−c, 0)
|d(F1 , P ) − d(F2 , P )|
= 1
= 1
as
Hipérbolas con centro (0, 0)
tem
atic
3.3.
y 2 x2
−
=1
a2 b 2
x2 y 2
−
=1
a2 b 2
y
y
y=
b
ax
Ma
b
y = −a
x
F2 (0, c)
y = −a
bx
(0, b)
y=
a
bx
F1 (−c, 0)
(−b, 0)
F2 (c, 0)
V1 (−a, 0)
x
V2 (a, 0)
de
V2 (0, a)
(b, 0)
to.
V1 (0, −a)
F1 (0, −c)
a-
Ecuación estándar
qui
3.4.
Dep
(0, −b)
Proposición 3.1. La gráfica de una hipérbola con centro en el origen está dada por
y 2 x2
−
=1
a2 b 2
eA
Longitud del eje transverso: 2a
ó
ntio
x2 y 2
−
=1
a2 b 2
Longitud del eje conjugado: 2b
dd
c2 = a 2 + b 2
Un
ive
r
sida
Los focos están a una distancia c del origen
15
x
Trazado de una hipérbola con centro en el origen
tem
atic
Ejemplo 3.1. Trace la gráfica de 4x2 − 9y 2 = 36 y halle sus focos.
Solución
Ecuación estándar:
2
36
y
y = − 23 x
=
y=
3
1
2
2
x
y
−
9
4
=
1
√
(− 13, 0)
1
-6
-5
V1
-4
-2
-1
1
a2 = 9 ⇒ a = 3
-2
⇒ b=2
c2 = a2 +b2 = 9+4 = 13 ⇒ c =
x
4
5
√
13
a-
Trazado de una hipérbola con centro en el origen
qui
3.6.
3
Dep
-3
2
to.
-1
b2 = 4
√
( 13, 0)
V2
-3
2
3x
Ma
4x2 9y 2
−
36
36
=
de
4x2 − 9y 2
as
3.5.
Ejemplo 3.2. Trace la gráfica de
ntio
y2
x2
−
=1
4
5
Solución
4
y = − √25 x
=
1
dd
y 2 x2
−
4
5
5
eA
Ecuación estándar:
y
y=
F2
2
√
x
5
2
V2
1
√
(− 5, 0)
a2 = 4 ⇒ a = 2
√
b2 = 5 ⇒ b = 5
sida
-5
-4
-3
-2
√
( 5, 0)
-1
1
-1
V1
-2
-3
ive
r
-4
c2 = a2 +b2 = 4+5 = 9 ⇒ c = 3
Un
3
-5
16
F1
2
3
4
x
5
Determinación de una hipérbola con condiciones dadas
as
3.7.
Solución
Ecuación estándar:
=
y
y = − 57 x
1
y=
7.0
7
5x
Ma
x2 y 2
−
25 b2
tem
atic
√
Ejemplo 3.3. Una hipérbola tiene como vértices (±5, 0) y pasa por P 5 5, 14 . Determine
su ecuación, focos y ası́ntotas.
√
P 5 5, 14 está en la hiperbola:
=
196
b2
196
= 49
4
c2 = a2 +b2 = 25+49 = 74 ⇒ c =
-3.5
√
74
-7.0
qui
Hipérbola con centro (h, k)
y
eA
dd
b
y − k = −a
(x − h)
ntio
(x − h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2
sida
(h, k)
V1 (h − a, k)
ive
r
y−k =
b
a (x
− h)
(h, k + b)
F1 (h − c, k)
Un
3.8.
to.
b2
1
Dep
=
-5
a-
4
√
(− 74, 0) V1
1
de
3.5
√
(5 5)2 (14)2
=
− 2
25
b
196
5− 2 =
b
F2 (h + c, k)
V2 (h + a, k)
x
(h, k − b)
17
√
V2 ( 74, 0)
5
x