CLAVE DE EXAMEN Matemática Aplicada 3

“Clave”-116-2-M-2-“00”-2012
Universidad San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
CLAVE DE EXAMEN
Matemática Aplicada 3
Código de curso: 116
Datos de la clave:
Elaborada por:
Javier García
Revisado por:
Ing. Alfonso Velásquez
Datos del examen:
Segundo Examen Parcial
Segundo semestre, 2012
Jornada Matutina
Horario: 9:10 – 10:50
Fecha: 16/10/2012
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Matemática Aplicada 3
Segundo Parcial
030912
Nombre:
Carné:
Instrucciones: Desarrolle cada tema que se le plantea a continuación, dejando claro su procedimiento,
REALICE 1 ITERACION COMPLETA A MANO en cada método que utilice, UTILICE 6 DECIMALES COMO
MINIMO. NO SE PERMITE EL PRESTAMO DE CALCULADORAS.
Tema 1: En la siguiente tabla, r es la resistencia de una bobina en ohms y T la temperatura de la
bobina en oC. Use el método de Neville para aproximar la temperatura para una bobina de
resistencia 11.165
r, (ohms) 10.421 10.939 11.321 11.729
T, (oC)
10.50
29.49
42.70
60.01
Tema 2: Dada la siguiente tabla, donde Y es la amplitud de la oscilación de un péndulo largo, en
cm y X es el tiempo medido en minutos desde que empezó la oscilación.
Puntos
0
1
2
3
X, (minutos)
0.0
2.5
5.0
7.5
Y, (cm)
10.00 4.97 2.47 1.22
Encuentre el Polinomio de Lagrange de segundo grado, (simplificado), que pasa por los puntos 1,
2, 3, úselo para encontrar el valor de Y correspondiente para X=6.3 cm.
Tema 3: En una reacción química, la concentración del producto CB cambia con el tiempo como se
indica en la tabla. Calcule la concentración CB cuando t=1.12 usando el método de diferencias
divididas de Newton para generar un polinomio, luego encuentre CB.
CB
0.00
0.50
1.00
1.50
t
0.635 1.364 2.403 3.602
Tema 4: Use el método de Müller para aproximar una solución de la función dada, sujeta a las
condiciones indicadas: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 10𝑥 − 20 = 0, 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 1.5 𝑦 𝑥2 = 2; 𝑐𝑜𝑛 𝑇𝑜𝑙 < 10−5
Tema 5: Las funciones gi(x) dadas, resultan de despejar 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − ln(𝑥) + 𝑥 2 − 3. Verifique
cual es la función optima para aplicar el algoritmo de Steffensen (deje constancia de la prueba),
usela para aproximar una solución con po=1.5, ToL<10-3.
ln 𝑥 + 3 − 𝑥 3
ln 𝑥 − 𝑥 2 + 3
𝑏) 𝑔2 𝑥 =
𝑥2
3
𝑐) 𝑔3 𝑥 = ln 𝑥 − 𝑥 2 + 3
𝑎) 𝑔1 𝑥 =
Solución
Tema 1: En la siguiente tabla, r es
bobina en oC. Use el método de
resistencia 11.165
r, (ohms)
T, (oC)
la resistencia de una bobina en ohms y T la tempratura de la
Neville para aproximar la temperatura para una bobina de
10.421
10.50
10.939
29.49
11.321
42.70
11.729
60.01
𝑥 − 𝑥0 ∙ 𝑄 1,0 − 𝑥 − 𝑥1 ∙ 𝑄 0,0
11.165 − 10.421 ∙ 29.49 − 11.165 − 10.939 ∙ 10.50
=
𝑥1 − 𝑥0
10.939 − 10.421
= 37.775212
𝑥 − 𝑥1 ∙ 𝑄 2,0 − 𝑥 − 𝑥2 ∙ 𝑄 1,0
11.165 − 10.939 ∙ 42.70 − 11.165 − 11.321 ∙ 29.49
=
=
𝑥2 − 𝑥1
11.321 − 10.939
= 37.3053403141
𝑥 − 𝑥2 ∙ 𝑄 3,0 − 𝑥 − 𝑥3 ∙ 𝑄 2,0
11.165 − 11.321 ∙ 60.01 − 11.165 − 11.729 ∙ 42.70
=
=
𝑥3 − 𝑥2
11.729 − 11.321
= 36.081471
𝑄 1,1 =
𝑄 1,1
𝑄 2,1
𝑄 2,1
𝑄 3,1
𝑄 3,1
𝑥 − 𝑥0 ∙ 𝑄 2,1 − 𝑥 − 𝑥2 ∙ 𝑄 1,1
11.165 − 10.421 ∙ 37.305340 − 11.165 − 11.321 ∙ 37.775212
=
𝑥2 − 𝑥0
11.321 − 10.421
= 37.386784
𝑥 − 𝑥1 ∙ 𝑄 3,1 − 𝑥 − 𝑥3 ∙ 𝑄 2,1
11.165 − 10.939 ∙ 36.081471 − 11.165 − 11.729 ∙ 37.305340
=
=
𝑥3 − 𝑥1
11.729 − 11.321
= 36.9552206
𝑥 − 𝑥0 ∙ 𝑄 3,2 − 𝑥 − 𝑥3 ∙ 𝑄 2,2
11.165 − 10.421 ∙ 36.955221 − 11.165 − 11.729 ∙ 37.386784
=
=
𝑥3 − 𝑥0
11.729 − 10.421
= 37.14130792
𝑄 2,2 =
𝑄 2,2
𝑄 3,2
𝑄 3,2
𝑄 3,3
𝑄 3,3
Xo=10.421
X1=10.939
X2=11.321
X3=11.729
La interpolación para X=11.165 es
f(11.165)=37.14130792
f(x)
10.50
29.49
42.7
60.01
37.7752123552
37.305340
36.081471
37.386784
36.9552206
37.14130792
Tema 2: Dada la siguiente tabla, donde Y es la amplitud de la oscilación de un péndulo largo, en cm
y X es el tiempo medido en minutos desde que empezó la oscilación.
Puntos
0
1
2
3
X, (minutos) 0.0
2.5
5.0
7.5
Y, (cm)
10.00 4.97 2.47 1.22
Encuentre el Polinomio de Lagrance de segundo grado, (simplificado), que pasa por los puntos
1,2,3, úselo para encontrar el valor de Y correspondiente para X=6.3 cm.
Polinomio:
𝑃 𝑥 = 𝐿0 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥0 + 𝐿1 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥1 + 𝐿2 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥2
𝑥 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥2
𝐿0 𝑥 =
𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥2
𝑥−5
𝑥 − 7.5
𝐿0 𝑥 =
= 0.3976𝑥 2 − 4.97𝑥 + 14.91
2.5 − 5 2.5 − 7.5
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
𝑥 − 2.5
𝐿1 𝑥 =
5 − 2.5
𝐿1 𝑥 =
𝑥 − 𝑥2
𝑥1 − 𝑥2
𝑥 − 7.5
= −0.3952𝑥 2 + 3.952𝑥 − 7.41
5 − 7.5
𝑥 − 𝑥0
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 2.5
𝑥−5
𝐿2 𝑥 =
= 0.0976𝑥 2 − 0.732𝑥 + 1.22
7.5 − 2.5 7.5 − 5
𝐿2 𝑥 =
𝑃 𝑥 = 4.97 0.3976𝑥 2 − 4.97𝑥 + 14.91 + 2.47 −0.3952𝑥 2 + 3.952𝑥 − 7.41
+ 1.22 0.0976𝑥 2 − 0.732𝑥 + 1.22
𝑃2 𝑥 = 0.1𝑥 2 − 1.75𝑥 + 8.72
𝑃2 6.3 = 0.1(6.3)2 − 1.75 6.3 + 8.72 = 1.664 Aproximación
Tema 3: En una reacción química, la concentración del producto CB cambia con el tiempo como se
indica en la tabla. Calcule la concentración CB cuando t=1.12 usando el método de diferencias
divididas de Newton para generar un polinomio, luego encuentre CB.
CB
0.00
0.50
1.00
1.50
t
0.635 1.364 2.403 3.602
Diferencias divididas
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
0.50 − 0.00
𝑓 𝑥1 , 𝑥0 =
=
= 0.68587105
𝑥1 − 𝑥0
1.364 − 0.635
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
1.00 − 0.50
𝑓 𝑥1 , 𝑥0 =
=
= 0.4812319538
𝑥2 − 𝑥1
2.403 − 1.364
𝑓 𝑥3 − 𝑓 𝑥2
1.50 − 1.00
𝑓 𝑥1 , 𝑥0 =
=
= 0.41701417
𝑥3 − 𝑥2
3.602 − 2.403
𝑓 𝑥2 , 𝑥1 − 𝑓 𝑥1 , 𝑥0
0.4812319538 − 0.68587105
=
= −0.115746098665
𝑥2 − 𝑥0
2.403 − 0.635
𝑓 𝑥3 , 𝑥2 − 𝑓 𝑥2 , 𝑥1
0.71701417 − 0.48121319538
=
=
= −0.028694269
𝑥3 − 𝑥1
3.602 − 1.364
𝑓 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 =
𝑓 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1
𝑓 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 =
𝑓 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 − 𝑓 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0
−0.028694269 + 0.115746098665
=
= 0.0293400143
𝑥3 − 𝑥0
3.602 − 0.635
0.635
1.364
2.403
3.602
f(x)
0.0
0.5
1.0
1.5
Primeras D.D.
Segundas D.D.
Terceras D.D
0.68587105
0.4812319538
0.41701417
-0.115743098665
-0.028694269
0.0293400143
Polinomio
𝑃3 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 ∙ 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ∙ 𝑥 − 𝑥0 ∙ 𝑥 − 𝑥1 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ∙ 𝑥 − 𝑥0
∙ 𝑥 − 𝑥1 ∙ 𝑥 − 𝑥2
Evaluando
𝑃3 𝑥 = 0 + 0.685871 ∙ 𝑥 − 0.635 + −0.11574609 ∙ 𝑥 − 0.635 ∙ 𝑥 − 1.364 + 0.2934001
∙ 𝑥 − 0.635 ∙ 𝑥 − 1.364 ∙ 𝑥 − 2.403
Simplificando
𝑃3 𝑥 = 0.029340016544𝑥 3 − 0.1794041𝑥 2 + 1.042043𝑥 − 0.596847
CB
f(1.12)=CB=0.35079
Tema 4: Use el método de Müller para aproximar una solución de la función dada, sujeta a las
condiciones indicadas:
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 10𝑥 − 20 = 0, 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 1.5 𝑦 𝑥2 = 2; 𝑐𝑜𝑛 𝑇𝑜𝑙 < 10−5
Entrada
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 10𝑥 − 20 = 0, 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 1.5 𝑦 𝑥2 = 2, 𝑇𝑜𝑙 < 10−5
𝑁𝑜 = 100
Salida: Solución aproximada o mensaje de fracaso
Paso 1
𝑕1 = 𝑥1 − 𝑥𝑜 = 1.5 − 1 = 0.5
𝑕2 = 𝑥2 − 𝑥1 = 2 − 1.5 = 0.5
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥𝑜
2.875 + 7
𝑙1 =
=
= 19.75
𝑕1
0.5
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
16 − 2.875
𝑙2 =
=
= 26.25
𝑕2
0.5
𝑙2 − 𝑙1
26.25 − 19.75
𝜕=
=
= 6.5
𝑕2 + 𝑕1
0.5 + 0.5
Paso 2: Mientras 3<100 haga pasos 3-7
Paso 3
𝑏 = 𝑙2 + 𝑕2 ∙ 𝜕 = 26.25 + 0.5 ∙ 6.5 = 29.5
𝐷=
𝑏 2 − 4𝑓(𝑥2 ) ∙ 𝜕 = 870.25 − 105.80 = 21.313141
Paso 4
Si 𝑏 − 𝐷 < 𝑏 + 𝐷 = 8.18685851 < 50.81314181
Entonces tome 𝐸 = 𝑏 + 𝐷 = 29.5 + 21.313141 = 50.813141
Paso 5: Tome
𝑓 𝑥2
−2.16
𝑕 = −2
=
= −0.629758
𝐸
50.813141
𝑝 = 𝑥2 + 𝑕 = 2 + −0.629758 = 1.37024165
Paso 6
𝑕 < 𝑇𝑜𝐿 → −0.629758 < 10−5
Paso 7: Tome
𝑥0 = 𝑥1 = 1.5, 𝑥1 = 𝑥2 = 2, 𝑥2 = 𝑝 = 1.3702416
𝑕1 = 𝑥1 − 𝑥𝑜 = 2 − 1.5 = 0.5
𝑕2 = 𝑥2 − 𝑥1 = 1.3702416 − 2 = −0.629758
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥𝑜
16 − 2.875
𝑙1 =
=
= 26.25
𝑕1
0.5
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
0.0302548 − 16
𝑙2 =
=
= 25.3585287
𝑕2
−0.629758
𝑙2 − 𝑙1
25.3585287 − 26.25
=
= 6.8702416
𝑕2 + 𝑕1
−0.629758 + 0.5
𝑖 =𝑖+1=4
𝜕=
Paso 2: Mientras 4<100 haga pasos 3-7
Tabulando
N
0
1
2
3
4
5
Solución: P(5)=1.36880810806
P
1
1.5
2
1.3702416577
1.368802458
1.36880810806
ToL
0
0
0
0.629758
0.00143919
-6
5.649*10
Tema 5: Las funciones gi(x) dadas, resultan de despejar 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − ln(𝑥) + 𝑥 2 − 3. Verifique
cual es la función optima para aplicar el algoritmo de Steffensen (deje constancia de la prueba),
usela para aproximar una solución con po=1.5, ToL<10-3.
ln 𝑥 + 3 − 𝑥 3
ln 𝑥 − 𝑥 2 + 3
𝑏) 𝑔2 𝑥 =
𝑥2
3
𝑐) 𝑔3 𝑥 = ln 𝑥 − 𝑥 2 + 3
𝑎) 𝑔1 𝑥 =
a)
1
− 3𝑥 2
𝑥
→ 𝑔′ 1 1.5
2 ln 𝑥 + 3 − 𝑥 3
𝑔′ 1 𝑥 =
= −17.4265 < 1
b)
𝑔
′
2
𝑥 =
𝑥2
1
− 2𝑥 − 2𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 2 + 3
𝑥
→ 𝑔′ 2 1.5
𝑥4
= −1.7217 < 1
c)
𝑔
′
3
1
− 2𝑥
𝑥
𝑥 =
→ 𝑔′ 3 1.5
3 ln 𝑥 − 𝑥 2 + 3
= −0.67313 < 1
La mejor opción es g3(x)
Entrada
𝑔3 𝑥 =
3
ln 𝑥 − 𝑥 2 + 3 , 𝑝𝑜 = 1.5, 𝑇𝑜𝐿 < 10−3 , 𝑁𝑜 = 50
Salida: Solucion aproximada o mensaje de fracaso
Paso 1: Tome i=1
Paso 2: Mientras 1<50 haga pasos (1-6)
Paso 3: Tome
𝑝1 = 𝑔 𝑝𝑜 = 1.049346564
𝑝2 = 𝑔 𝑝1 = 1.248700396
𝑝1 − 𝑝𝑜 2
1.049346 − 1.5 2
𝑝 = 𝑝𝑜 −
= 1.5 −
= 1.18755961802
𝑝2 − 2𝑝1 + 𝑝𝑜
1.24870039 − 2(1.049346) + 1.5
Paso 4
Si 𝑝 − 𝑝𝑜 < 𝑇𝑜𝐿
1.1875596 − 1.5 = 0.31244038 < 0.001
Paso 5
Tome 𝑖 = 𝑖 + 1 = 2
Paso 6
Tome 𝑝𝑜 = 𝑝 = 1.18755961
Paso 2…
Tabulando
N
1
2
3
Solución: P(3)=1.20242792
P
1.1875596
1.2024036
1.2024279
ToL
0.31244038
0.01484407
-5
2.4235*10