Capitulo 3 - U

Análisis de Señales
Capítulo III: Transformada de
Fourier discreta
Profesor: Néstor Becerra Yoma
3.1 Teorema del Muestreo
• Gran desarrollo de la computación =>
digitalización de señales mediante muestreo,
posterior reconstrucción de la señal
• Condición necesaria en el proceso para no perder
información: teorema del muestreo:
– Una señal de ancho de banda B [Hz] puede ser
muestreada sin pérdida de información si se toman
valores con una separación menor o igual a 1/(2B)
segundos.
3.1 Teorema del Muestreo
• Primera aproximación: muestreo usando tren de
pulsos
f (t )
PT (t ) : pulsos, periodo T
f S (t ) = f (t ) PT (t )
3.1 Teorema del Muestreo
f S (t ) = f (t ) PT (t )
PT(·) es periódica
∞
f S (t ) = f (t ) ∑ Pn e
jnω0t
n = −∞
∞
⎧
jnω0t ⎫
ℑ{ f S (t )} = ℑ⎨ f (t ) ∑ Pn e
⎬
n = −∞
⎩
⎭
ℑ{ f S (t )} =
ℑ{ f S (t )} =
{
∞
jnω0t
P
ℑ
f
(
t
)
e
∑ n
}
n = −∞
∞
∑ P F (ω − nω )
n = −∞
n
0
El espectro F(ω) se repite
3.1 Teorema del Muestreo
ℑ{ f S ( t )} = P0 F( ω ) +
∞
∑
n =−∞
n≠0
Pn F( ω − nω0 ), ω0 =
2π
T
F (ω )
f (t )
PT (t )
PT (ω )
FS (ω )
f S (t )
ω0
3.1 Teorema del Muestreo
FS (ω )
ω0
ω0 =
2π
T
• Si el T de muestreo aumenta => ω0 disminuye =>
se puede producir traslape de espectros para T
muy grande. El traslape se alcanza cuando:
2π
1
ω0 =
= 2W ⇒ T =
T
2B
• Para evitar traslape:
(frecuencia de Nyquist)
1
T<
2B
3.1 Teorema del Muestreo
• Reconstrucción de la señal => efecto práctico:
pasa la banda entre -ω0/2 y ω0/2
F (ω )
FS (ω )
FRECONSTR (ω )
3.2 Efecto alias
• Traslape espectral: efecto alias, T muy grande
• Resultado: distorsión de la señal al reconstruirla.
F (ω )
FS (ω )
FRECONSTR (ω )
3.2 Efecto alias
• Solución: filtro prealias: baja la distorsión
F (ω )
F2 (ω )
FS (ω )
FRECONSTR (ω )
3.2 Efecto alias
• En general, el espectro de una señal se hace menor
a medida que aumenta la frecuencia
• La principal distorsión se produce cerca de ω0/2
FRECONSTR (ω )
Distorsión alta
Distorsión baja
3.2 Efecto alias
• Estimación de la cantidad de efecto alias (comparativo):
F (ω )
−
ω0
ω0
2
2
2
⎛ ω0 − ω ⎞
2
∫ω =ω0 / 2 ⎜⎜⎝ ω0 ⎟⎟⎠ F (ω ) dω
%alias =
ω0 / 2
2
∫ F (ω ) dω
∞
ω =0
• El término cuadrático penaliza el alias para frecuencias
cercanas a ω0/2
3.3 Transformada de Fourier
discreta
• Se tiene N muestras uniformemente distribuidas
f (kT ) = f (0), f (T ), f (2T ), ... , f (( N − 1)T )
T
NT
• La transformada de Fourier discreta (DFT) se
define como:
N −1
2π
− j nΩ kT
Ω=
Fd (nΩ) = ∑ f (kT )e
NT
k =0
3.3 Transformada de Fourier
discreta
N −1
2π
Fd (nΩ) = ∑ f (kT )e − j nΩ kT
Ω=
NT
k =0
N −1
⇒ Fd (nΩ) = ∑ f (kT )e
−jn
2π
k
N
k =0
• Ω y T no aparecen de forma explícita en la DFT
• Se puede obtener a partir de la transformada de
Fourier, haciendo aproximaciones
3.3 Transformada de Fourier
discreta
• Sea:
⎧ f (t ) 0 ≤ t < NT
~
f (t ) = ⎨
otro caso
⎩ 0
• Su transformada es:
NT
~
F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
t =0
/ω → nΩ, t → nT
N −1
~
F (nΩ) ≈ ∑ f (kT )e − jnΩkT T
k =0
• Luego:
~
TFD (nΩ) = F (ω ) |ω = nΩ
3.3 Transformada de Fourier
discreta
• El espectro obtenido es periódico, de periodo NΩ:
N −1
FD (nΩ + NΩ) = ∑ f (kT )e − j (nΩ + NΩ )kT
k =0
N −1
= ∑ f (kT )e
k =0
N −1
− jnΩkT
e
− jNΩkT
2π
/Ω =
NT
= ∑ f (kT )e − jnΩkT e − j 2πk = FD (nΩ)
k =0
3.3 Transformada de Fourier
discreta
• La exactitud en el cálculo de la transformada
también es afectada por el efecto alias.
• La transformada es periódica => la frecuencia más
alta que se puede determinar corresponde a n=N/2,
es decir, (N/2)Ω=1/(2T) => de acuerdo al teorema
del muestreo
3.3 Transformada de Fourier
discreta
• También hay una transformada inversa de Fourier
discreta:
1 N −1
f (kT ) = ∑ FD (nΩ)e jnΩkΤ
N n =0
• La transformada inversa es exacta respecto a la
transformada directa, a menos que se produzca
efecto alias.
• La transformada inversa es periódica, periodo NT
• Propiedades semejantes a la transformada de
Fourier continua.
3.4 Transformada de Fourier
rápida
• El cálculo de la DFT requiere N2
multiplicaciones.
• Tiempo de cálculo excesivo para N grande.
• Algoritmo FFT (fast Fourier transform): permite
calcular la DFT de forma rápida: Nlog2N
multiplicaciones.
• Dos formas de visualizarla: a partir de sumas por
bits o a partir de paridad/imparidad.
3.4 Transformada de Fourier
rápida
• La notación WN para la exponencial de la DFT:
– Dado N, se define WN como el círculo unitario dividido
en N partes, con ángulos negativos
WN = e
− j ΩT
Im
W8
W8
5
W8
=e
W8
2
⇒
W8
1
8
W
0
Re
− 360º
N
WN = 1
WN
7
W8
3
2π
N
6
4
W8
−j
Nx
=e
WN = e
2
− j 2π
− j 2π
W N * = WN
x
2
N
−x
N
x
N
=1
=e
−j
= WN
2π
N /2
= WN / 2
(N −x)
3.4 Transformada de Fourier
rápida
• Forma 1 (ejemplo para 4 puntos):
N −1
Fd (nΩ) = ∑ f (kT )e − j nΩ kT
k =0
3
Fd (nΩ) = ∑ f (kT )W4 , WN = e
nk
− j ΩT
=e
−j
2π
N
k =0
• Se pueden escribir k y n como números binarios:
k = (k1 , k0 ) = {00, 01, 10, 11}, k = 2k1 + k0
n = (n1 , n0 ) = {00, 01, 10, 11}, n = 2n1 + n0
3.4 Transformada de Fourier
rápida
• Luego:
FD ( n1 ,n0 ) =
1
1
∑∑
k0 = 0 k1 = 0
f ( k1 ,k0 )W4( 2 n1 + n0 )( 2 k1 + k0 )
W4( 2 n1 + n0 )( 2 k1 + k0 ) = W4 2 n0 k1 W4( 2 n1 + n0 )k0
W4 4 n1k1 = 1
⎛ 1
⎞ ( 2 n + n )k
2 n0 k1
FD ( n1 ,n0 ) = ∑ ⎜ ∑ f ( k1 ,k0 )W4
⎟W4 1 0 0
⎜
⎟
k0 = 0 ⎝ k1 = 0
⎠
1
f1 (n0 , k0 )
f 2 (n0 , n1 )
3.4 Transformada de Fourier
rápida
1
f1 (n0 , k0 ) = ∑ f (k1 , k0 )W4
2 n0 k1
k1 = 0
1
f1 (n0 , k0 ) = ∑ f (k1 , k0 )W2
n0 k1
k1 = 0
f 2 (n0 , n1 ) =
1
∑ f (n , k )W
k0 =0
1
0
FD (n1 , n0 ) = f 2 (n0 , n1 )
0
4
Una para pares, otra
para impares
( 2 n1 + n0 ) k 0
Suma ponderada de
las anteriores
3.4 Transformada de Fourier
rápida
• Ejemplo: “mariposa” para 4 puntos:
f (k )
f ( k1 , k 2 )
f1 (n0 , k0 )
f 2 (n0 , n1 )
f D (n)
f(0)
f (00)
*W 0
*W 0
f 2 (00)
f D ( 0)
f (1 )
f (01)
*W 0
*W 2
f 2 (10)
f D (1)
f(2)
f (10)
*W 2
*W 1
f 2 (01)
f D ( 2)
f (3)
f (11)
*W 2
*W 3
f 2 (11)
f D (3)
3.4 Transformada de Fourier
rápida
• DFT: lento (N2), requiere poca memoria
• FFT: rápido (N log2 N), requiere bastante
memoria (recursivo), requiere que el número de
puntos sea potencia de 2.
N
2
32
256
1024
N2
4
1024
2048
1048576
N log2N
2
160
65536
10240
3.4 Transformada de Fourier
rápida
• Resumen FFT:
– 1. Se elige el nº de muestras tal que N=2r con r entero.
Si es necesario, se pueden incluir ceros aumentados.
– 2. Para N muestras en el tiempo existen N frecuencias
distintas.
– 3. Como resultado de la extensión periódica, los puntos
de muestra 0 y N son iguales, tanto en el tiempo como
en la frecuencia (f0=fN; FD0=FDN)
– 4. Las componentes de frecuencia positiva están en
(0,N/2), las componentes de frecuencia negativa están
en (N/2,N). Ocurre lo mismo en el tiempo (tiempos
positivos y negativos)
3.4 Transformada de Fourier
rápida
– 5. Para funciones de valor real, las componentes de
frecuencia positiva son complejas conjugadas de las
componentes de frecuencia negativa. Los puntos n=0 y
n=N/2 son comunes a ambos, por lo que tienen valor
real.
– 6. La componente de frecuencia más alta (es decir,
n=N/2) corresponde a 1/(2T) [Hz]. La frecuencia
máxima visible se puede aumentar disminuyendo el
espaciamiento entre frecuencias en el tiempo
3.4 Transformada de Fourier
rápida
– 7. El espaciamiento entre componentes de frecuencia es
1/(NT) [Hz], se puede disminuir agregando ceros
aumentados a la secuencia de muestras
3.4 Transformada de Fourier
rápida
f (kT )
k (tiempo)
T
NT
FD (nΩ)
2π /( NT )
n ( frecuencia)
2π / T