ÓPTICA ESTADÍSTICA GRUPO PILOTO CURSO 2008/2009 EJERCICIO No. 2 Se consideran tres tipos de fuentes de radiación con perfiles espectrales conocidos. A partir de los datos de dichos perfiles se debe de obtener una representación analítica para el correspondiente tiempo de coherencia en cada caso: 1) Fuente de radiación con un campo térmico asociado con perfil espectral gaussiano: 2 ν −ν 0 ) ( S (ν ) = exp − 2 ln 2 ∆ν ) ( π ∆ν 2 ln 2 (1) 2) Un láser de Helio-Neón emitiendo radiación luminosa con un espectro de potencia Lorentziano: S (ν ) = donde: 2 γ = γ / 4π 2 (ν 0 − ν ) 2 + (γ / 4π ) 2 γ / 4π 2 2γ γ ⇒ ∆ν = = 2 2 4π 2π (∆ν 2) + (γ / 4π ) (2) (3) Aplicación numérica: ∆ ν =20 MHz. El espectro está centrado alrededor de una frecuencia media correspondiente a la longitud de onda: λ =0,6329 mm. (Véase Apéndice I). 3) Fuente ideal con perfil homogéneo: S ( ν) = ν − ν 1 rect ∆ν ∆ν (4) Donde rect es una función ventana centrada en ν media, con base ∆ν y altura 1. 4) Apartado no obligatorio1 Una fuente de radiación cuyo perfil espectral incorpore la condición de campo térmico y perfil Lorentziano tiene asociado un perfil llamado de Voigt. Dicho perfil se obtiene mediante la operación: 1 Los grupos que resuelvan este apartado tienen 0.5 puntos más en la calificación. SVoigt (ν ) = SGauss (ν ) ∗ S Lorentz (ν ) (5) Donde * representa la operación de convolución. Obtener la expresión analítica y a partir del resultado el tiempo de coherencia. Apéndice I: Para realizar el apartado 2) se debe de obtener la transformada de Fourier de una función Lorentziana. Se debe de integrar en el plano complejo. A continuación se incluye un resumen del procedimiento a seguir: Transformada de Fourier de una función Lorentziana: Definimos de forma general: f ( x) = 2α x +α2 2 Donde, x es una variable arbitraria y α una constante arbitraria. Definimos la transformada de Fourier de f(x): 2α TF f ( x ) = F ( s ) = 2π ∫ +∞ −∞ e − ixs dx x2 + α 2 Donde s es la variable recíproca de x. Para resolver la integral consideramos: e−izs dx 2 2 c z +α v∫ Donde: z = x +iy es una variable compleja. C denota el contorno de integración. Esta integral está definida en el plano complejo y tiene dos polos en – α y +α, respectivamente. La localización de estos polos se muestra en la figura 1. Para integrar definimos un contorno de integración. +iα x -iα C Figura 1.- Definición del contorno de integración. Para obtener los residuos alrededor de los polos se aplica el teorema de Cauchy (Teorema de los residuos). Si s>0, el contorno es cerrado en el plano inferior (Figura 1), y por tanto el polo que contribuye en la integración es: z=-iα. Si s<0, el contorno será cerrado en el plano superior, el polo es: z=+iα. Para s<0: considerando dirección según el sentido antihorario, por la aplicación del teorema de los residuos: ∫ 2π i∑ residuos C Z = −iα Consideramos: lim z →iα y la integral es: e − izs π sα e ( z − iα ) ( z + iα )( z − iα ) α 2π e+ sα Análogamente, para s>0 (sentido horario), se obtiene: 2π e − sα . El resultado final es por tanto: TF f ( x ) = 2π e − sα En la figura 2 se muestra una función Lorentziana (para α=2) y su correspondiente transformada de Fourier. F(s f(x) s Figura 2.- Función Lorentziana f(x) y su transformada de Fourier F(s). Referencias: - R. V. Churchill and J. W. Brown, Complex variables and applications (7th Edition), McGraw-Hill (2003). Capítulos 6 y 7. - M. R. Spiegel y L. Abellanas, Formulas y Tablas de Matemática Aplicada, McGraw.Hill(2005). ENTREGA DEL EJERCICIO: jueves 30 de octubre de 2008. x