ÓPTICA ESTADÍSTICA
GRUPO PILOTO
CURSO 2008/2009
EJERCICIO No. 2
Se consideran tres tipos de fuentes de radiación con perfiles espectrales conocidos. A
partir de los datos de dichos perfiles se debe de obtener una representación analítica
para el correspondiente tiempo de coherencia en cada caso:
1) Fuente de radiación con un campo térmico asociado con perfil espectral gaussiano:
2
ν −ν 0 )
(
S (ν ) =
exp − 2 ln 2
∆ν )
(
π ∆ν
2 ln 2
(1)
2) Un láser de Helio-Neón emitiendo radiación luminosa con un espectro de potencia
Lorentziano:
S (ν ) =
donde:
2
γ
=
γ / 4π 2
(ν 0 − ν ) 2 + (γ / 4π ) 2
γ / 4π 2
2γ
γ
⇒ ∆ν =
=
2
2
4π 2π
(∆ν 2) + (γ / 4π )
(2)
(3)
Aplicación numérica: ∆ ν =20 MHz. El espectro está centrado alrededor de una
frecuencia media correspondiente a la longitud de onda: λ =0,6329 mm.
(Véase Apéndice I).
3) Fuente ideal con perfil homogéneo:
S ( ν) =
ν − ν
1
rect
∆ν
∆ν
(4)
Donde rect es una función ventana centrada en ν media, con base ∆ν y altura 1.
4) Apartado no obligatorio1
Una fuente de radiación cuyo perfil espectral incorpore la condición de campo térmico
y perfil Lorentziano tiene asociado un perfil llamado de Voigt.
Dicho perfil se obtiene mediante la operación:
1
Los grupos que resuelvan este apartado tienen 0.5 puntos más en la calificación.
SVoigt (ν ) = SGauss (ν ) ∗ S Lorentz (ν )
(5)
Donde * representa la operación de convolución. Obtener la expresión analítica y a
partir del resultado el tiempo de coherencia.
Apéndice I:
Para realizar el apartado 2) se debe de obtener la transformada de Fourier de
una función Lorentziana. Se debe de integrar en el plano complejo.
A continuación se incluye un resumen del procedimiento a seguir:
Transformada de Fourier de una función Lorentziana:
Definimos de forma general:
f ( x) =
2α
x +α2
2
Donde, x es una variable arbitraria y α una constante arbitraria.
Definimos la transformada de Fourier de f(x):
2α
TF f ( x ) = F ( s ) =
2π
∫
+∞
−∞
e − ixs
dx
x2 + α 2
Donde s es la variable recíproca de x. Para resolver la integral consideramos:
e−izs
dx
2
2
c z +α
v∫
Donde: z = x +iy es una variable compleja. C denota el contorno de
integración.
Esta integral está definida en el plano complejo y tiene dos polos en – α y +α,
respectivamente. La localización de estos polos se muestra en la figura 1. Para
integrar definimos un contorno de integración.
+iα
x
-iα
C
Figura 1.- Definición del contorno de integración.
Para obtener los residuos alrededor de los polos se aplica el teorema de
Cauchy (Teorema de los residuos).
Si s>0, el contorno es cerrado en el plano inferior (Figura 1), y por tanto el polo
que contribuye en la integración es: z=-iα. Si s<0, el contorno será cerrado en
el plano superior, el polo es: z=+iα.
Para s<0: considerando dirección según el sentido antihorario, por la aplicación
del teorema de los residuos:
∫ 2π i∑ residuos
C
Z
= −iα
Consideramos:
lim
z →iα
y la integral es:
e − izs
π sα
e
( z − iα )
( z + iα )( z − iα ) α
2π e+ sα
Análogamente, para s>0 (sentido horario), se obtiene:
2π e − sα .
El resultado final es por tanto:
TF f ( x ) = 2π e
− sα
En la figura 2 se muestra una función Lorentziana (para α=2) y su
correspondiente transformada de Fourier.
F(s
f(x)
s
Figura 2.- Función Lorentziana f(x) y su transformada de Fourier F(s).
Referencias:
- R. V. Churchill and J. W. Brown, Complex variables and applications
(7th Edition), McGraw-Hill (2003). Capítulos 6 y 7.
- M. R. Spiegel y L. Abellanas, Formulas y Tablas de Matemática Aplicada,
McGraw.Hill(2005).
ENTREGA DEL EJERCICIO: jueves 30 de octubre de 2008.
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