Hoja 3 de problemas.

Departamento de Fı́sica y Matemáticas
Matemáticas - Grado en Biologı́a
Hoja 3 de problemas.
1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
√
a) f (x) = 3x
h) f (x) =
b) f (x) = 4x27
i ) f (x) = sin3 x
c) f (x) = 8 − x2
j ) f (x) = cos x3
√
k ) f (x) = 1 + x2
d ) f (x) = (4x + 1)3
e) f (x) = x2 (3x − 5)
tg x
f ) f (x) =
x
1
g) f (x) = 3
x
x
n) f (x) =
ñ) f (x) =
ln x
3x − 1
x2 + 3
2
o) f (x) = (x2 + 2)e3x
1
3−
x
p) f (x) =
x+5
r
x+1
q) f (x) =
x−1
√
1
l ) f (x) = 2 x − √
+5
3
x
m) f (x) =
√
2
(3x − 4)2
(1 − x)2
Soluciones.–
1
1
l ) f 0 (x) = √ + √
x 3x 3 x
f 0 (x) = 3
f 0 (x) = 108x26
f 0 (x) = −2x
f 0 (x) = 12(4x + 1)2
f (x) = 2x(3x − 5) + 3x2
−1
f ) f (x) = 2
x cos2 x
3
g) f 0 (x) = − 4
x
1
h) f 0 (x) = √
2 x
a)
b)
c)
d)
e)
m) f 0 (x) =
6(3x − 4)(1 − x) + 2(3x − 4)2
(1 − x)3
1
√
2x ln x
3x − 1
3(x2 + 3) − (3x − 1)2x
0
ñ) f (x) = 2
·
x2 + 3
(x2 + 3)2
n) f 0 (x) =
o) f 0 (x) = (3x2 + 2x + 6)e3x
−2x − 5 + 3x2
x2 (x + 5)2
√
x−1
0
√
q) f (x) = −
(x − 1)2 x − 1
p) f 0 (x) = −
i ) f 0 (x) = 3 sin2 x cos x
j ) f 0 (x) = −3x2 sin x3
x
k ) f 0 (x) = √
1 + x2
2. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x) = ex sen3 x
sin x
b) f (x) = arc tg
1 + cos x
c) f (x) =
tg x
x
d ) f (x) =
q
x+
p
x+
√
x
e) f (x) = sen(sen(sen x))
Soluciones.–
a) f 0 (x) = ex sen2 x(sen x + 3 cos x)
b) f 0 (x) = 1/2
c) f 0 (x) =
sec2 x tg x
− 2
x
x
0
1
p
1
d ) Puedes derivar directamente f (x) = q
1+ p
√
√
2 x+ x
2 x+ x+ x
raı́ces cuadradas como potencias −1/2
y derivar:
1
1
1 −1/2
−1/2
0
1/2 1/2
1/2 −1/2
f (x) =
x + (x + x )
1 + (x + x )
(1 + x
)
2
2
2
e) f 0 (x) = cos(sen(sen(x))) cos(sen(x)) cos x
!
1
1+ √
2 x
o escribir las
3. En un experimento metabólico la masa M (en mg) de glucosa decrece de acuerdo con la fórmula
M (t) = 5 − t2 /3mg
(t en horas)
Encuentra la velocidad de reacción en el intervalo [0, 2] y en t = 0, en t = 2.
Solución.– Hay que calcular la tasa de variación media de M (t) en el intervalo [0, 2] y la derivada en
−4
(5 − 22 /3) − (5 − 02 /3)
=
mg/h, 0mg/h, −4/3mg/h.
t = 0, en t = 2.
2−0
6
4. La temperatura del aire T , en centigrados, un cierto dı́a viene dada por
π(t − 8)
T (t) = 18 + 4 sin
12
donde t es el tiempo en horas medido desde medianoche. Encuentra la velocidad de crecimiento de la
temperatura entre las 2 : 00 y las 14 : 00 horas. Calcula la tasa de cambio instantáneo de T (t) a las 2 : 00,
a las 8 : 00 y a las 12 : 00 horas.
Soluciones.– El problema es equivalente al anterior
5. Calcula
2 o
3 C/h,
0 o C/h,
π o
3 C/h,
π cos(π/3) o
C/h
3
=
πo
6 C/h.
dy
cuando:
dx
a) x3 + y 3 = 1.
b) xy = 4.
c) x2 − y 2 = 1.
1
1
d ) x 2 + y 2 = 4.
1
e) y 2 = x2 + 2 .
x
f ) 2 cos x + seny = 1.
g)
1
1
+ = 1.
x y
h) cos(x + y) = sen(x − y).
Soluciones.–
a)
−x2
y2
−y
b)
x
x
c)
y
−y 2
x2
cos(x − y) + sen(x + y)
h)
cos(x − y) − sen(x + y)
1
d)
−y 2
g)
1
2
x
x − x13
e)
y
2 sen x
f)
cos y
6. Halla la ecuación de la tangente a la curva y 2 − x2 = 24 en el punto (1, 5). ¿Existen puntos en los que la
recta tangente es vertical u horizontal?
Soluciones.- Lo primero es comprobar que la curva pasa por el punto (1, 5) y, si quieres, utilizar un
programa cualquiera para visualizar la curva.
0
Para determinar la pendiente de la recta tangente en el punto (1,
√ 5) puedes derivar implicitamente (2yy −
2
2x = 0) o, en este caso, despejar y en función de x (y(x) = x + 24) y derivar después. En cualquier
caso, la pendiente es y 0 (1) = 1/5 y la ecuación de la recta tangente es y(x) = 5 + (x − 1)/5
7. Supón que las gotas de agua de lluvia son esféricas y que al caer acumulan polvo (en su superficie) a una
velocidad proporcional a su superficie. Al acumular polvo, aumenta su volumen. Demuestra que el radio
de la gota crece a velocidad constante.
Solución.–
8. La forma de cierto tipo de larva es, aproximadamente, la de un cilindro circular recto. Si en sus primeros
estadı́os de vida su longitud es igual al radio r y crece de forma que el área de su superficie aumenta a
una velocidad constante c, halla la tasa de cambio del radio y del volumen en cualquier instante t.
Solución.–
9. El consumo de energı́a de algunas aves voladoras se puede medir. Para cierto tipo de periquito australiano
este consumo de energı́a en J / g km se puede describir mediante la fórmula
E=
0,31(v − 35)2 + 92
v
donde v es la velocidad en km / h. Calcula la velocidad más económica. Solución.– ≈ 39,0099 km/h .
10. El número de individuos de una población (en millones) viene dado, en función del tiempo (en segundos),
por la siguiente expresión
t2 + 1
P (t) = 2
t + 2t + 1
Calcula:
a) Población máxima y mı́nima a partir del instante 0.
b) Velocidad de crecimiento máxima de la población.
c) Evolución de la población.
Solución.– a)
1000000 ind.
,
500000 ind.
b)
2000000
27
ind/s
c)
→ 1000000ind. .
11. La altura de un individuo, H (centı̀metros), a lo largo de su vida viene dada por
H(t) = 170 +
190t − 1560
(t + 1)2 + 12
donde t es la edad en años. Calcula:
a) La edad a la que alcanzará 1 m de altura.
b) Las alturas máxima y mı́nima, y las edades a las que se alcanzan.
c) La altura que tendrá finalmente si el individuo tiene una larga vida.
Solución.– a)
≈ 1,49536 años
175 cm con ≈ 18 años y 50 cm con 0 años
b)
c) 170 cm .
12. Sea la equación ex = x2 .
(a) Demuestra que tiene una única raiz negativa α.
(b) Aproxima α.
Solución.– (b) -0.7034674225.
13. Comprueba que las siguientes ecuaciones tiene, cada una, una solución en el intervalo dado. Usa el método
de Newton para aproximarlas hasta que la tercera cifra decimal sea exacta.
a) 2x + ln x = 1 en [ 12 , 1]
c) 2x + ex = 3 en [0, 1]
b) x + ln x = 3 en [2, 3]
d ) 2x − x2 + e−x = 0 en [2, 3]
Solución.–
a) 0.687
b) 2.207
c) 0.594
d ) 0.594 (sı́, tienen la misma solución, al menos hasta el tercer decimal)
14. Calcula los tres primeros términos no nulos del desarrollo de Maclaurin de las siguientes funciones:
a) tg x
b)
√
1+x
c)
√
1−x
d)
√1
1+x
Solución.– Hay que sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor
a) x + 13 x3 +
2 5
15 x
b) 1 +
x
2
−
x2
8
c) 1 −
15. Dada la ecuación
e−x
a) Sustituye en ella la función e−x
ecuación obtenida.
2
+x
2
+x
x
2
−
x2
8
d ) 1 − 21 x + 38 x2
− 2x = 0
por su desarrollo de Maclaurin de grado 1, y resuelve la nueva
b) Aproxima con tres cifras decimales exactas la solución de la ecuación inicial en el intervalo [0, 2]
mediante el método de Newton, utilizando como primera aproximación la solución del apartado (a).
Solución.–
a) El polinomio de Maclaurin de grado 1 es 1+x, de modo que hay que resolver la ecuación 1+x−2x = 0,
que es 1.
b) 0.631
16. Dada la ecuación
ln(1 + sin x) + 4x = 1
a) Utiza los 2 primeros términos del polinomio de Maclaurin de la función
b) Mejora la aproximación hasta la tercera cifra decimal exacta mediante el método de Newton.
Solución.–
a) El polinomio de Maclaurinpde grado 2 es x − x2 /2, de modo que hay que resolver la ecuación x −
x2 /2 + 4x = 1, que es x = (23) + 5.
b) 0.203