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Lógica-E.I.S.C
Raúl Gutierrez de Pi~
nerez
LÓGICA PROPOSICIONAL (LP)
Atómo: Un átomo es una proposición simple. Por
ejemplo:
P: el lápiz verde, P es un átomo.
Los conectivos lógicos que sirven para establecer
las proposiciones compuestas son v (no), ∧(y),
∨(o), → (si . . . entonces) y el bicondicional ↔ (si y
sólo si), todos estos forman un alfabeto junto con
las variables proposicionales y los paréntesis sea
Σ = {v, ∧, ∨, →, ↔, (, ), P, Q, R, S . . .}
1. SINTAXIS
1.1 Fórmula bien formada (FBF)
Una fórmula en la LP es una fórmula bien formada
si se define de manera recursiva ası́:
1. Un átomo es una fórmula.
2. Si G es una fórmula, entonces (v G) es una
fórmula.
3. Si G y H son fórmulas, entonces (G∧H),(G∨H),
(G → H), y (G ↔ H) son fórmulas.
4. Todas las fórmulas en la LP son generadas por
la aplicación de las anteriores reglas.
Ejemplo 1. (Q v) y (G ∧ H) v ∨P no son fBF o
fórmulas en la lógica proposicional.
1.2 Interpretación en la lógica proposicional.
Es la asignación de valores de verdad al conjunto
de átomos de una fórmula.
Def. formal: Dada una fórmula proposicional G,
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sea A1 , A2 , . . . , An sean átomos ocurridos en G. Entonces una interpretación I de G es una asignación
de valores de verdad para A1 , A2 , . . . , An en la cual
todo Ai es verdadero V o F (falso), pero no ambos.
Si hay n átomos distintos en una fórmula entonces
existen 2n interpretaciones.
Ahora sea A1 , A2 , . . . , An átomos ocurridos en una
fórmula G entonces es más conveniente representar una interpretación I por un conjunto {m1 , m2 , . . . , mn}
donde mi es Ai o v Ai
Ejemplo 2. Sea G , (P → Q)∧ v Q entonces una
interpretación {P, Q} es respectivamente {F, F } donde
el valor de verdad de la fórmula G bajo esta interpretación es verdedara. También podemos decir
que G tiene 22 = 4 interpretaciones.
a)Negación
(v P ) es verdadero cuando P es falso. y es falso cuando P es verdadero. (v P ) es llamada la
negación de P
P: Juan es conciso
∼P: Juan no es conciso
b) Implicación lógica
P → Q es falsa si P es verdadera y Q es falsa, de
otra forma, P → Q es verdadera. Sea P → Q se
lee:
Si P,Q
Q, si P
P sólo si Q
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P implica Q
P es una condición suficiente para Q
P es suficiente para Q
Una condición suficiente para Q es P
Q con tal que P
Q es una condición necesaria para P
Q es necesaria para P
Una condición necesaria para P es Q
Q, Cuando P
Q siempre que P
por ejemplo:
1. Marı́a será una buena estudiante si estudia mucho
esta proposición es de la forma P → Q
donde:
P: Marı́a estudia mucho
Q: Marı́a será una buena estudiante
2. Juan puede cursar cálculo sólo si está en segundo o tercer año de licenciatura.
esta proposición es de la forma P → (Q ∨ R)
donde:
P: Juan puede cursar cálculo
Q: Juan está en segundo año de licenciatura
R: Juan está en tercer año de licenciatura
3. Una condición necesaria para que la selección
Colombia gane un campeonato mundial es que
consiga un buen técnico.
esta proposición es de la forma P → Q
donde:
P: La selección Colombia gane un campeonato
Q: La selección colombia consiga un buen técnico
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4. Una condición suficiente para que Diego visite a Santa Marta es que vaya a Cartagena.
esta proposición es de la forma P → Q
donde:
P: Diego vaya a Cartagena
Q: Diego visite a Santa Marta
c) Conjunción
P ∧ Q es verdadero si P y Q son verdaderos; de
otra forma P ∧ Q es falso. sEA P ∧ Q se lee:
P y Q
Ambos P y Q
P, pero Q
aunque P, Q
P ası́ como también Q
P a pesar de que Q
d) Disyunción
P ∨ Q es verdadero si al menos uno de los dos (P
o Q) es verdadero. de otra forma P ∨ Q es falso.
sEA P ∨ Q se lee:
P o Q
Cualquiera P o Q
P a menos que Q
e)Bicondicional
P ↔ Q es verdadero cuando P y Q tienen el mismo
valor de verdad de otra forma P ↔ Q es falsa. sEA
P ↔ Q se lee:
P si y sólo si Q
P es equivalente a Q
P es necesaria y suficiente para Q
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P ↔ Q es P sólo si Q y Q sólo si P
2. VALIDEZ E INCONSISTENCIA
Ejemplo 3. sea la fórmula
G , ((P → Q) ∧ P ) → Q
podemos decir que tiene dos átomos P y Q y que
es una tautologı́a por que para las 22 interpretaciones es verdadero, esto lo podemos comprobar
a través de una tabla de verdad.
Ejemplo 4. Considere la fórmula
G , (P → Q) ∧ (P ∧ v Q)
podemos decir que tiene dos átomos P y Q y que
es una contradicción por que para las 22 interpretaciones es falso, esto lo podemos comprobar
a través de una tabla de verdad.
Definición 1. Una fórmula se dice que es válida
si y sólo si es verdadera para todas las interpretaciones.
Definición 2. Una fórmula se dice que es inconsistente
(o insatisfactible) si y sólo si es falso para todas
las interpretaciones.
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Definición 3. Una fórmula es inválida si y sólo
si hay al menos una interpretación que es falsa.
Definición 4. Una fórmula es consistente (o SATISFACTIBLE) si y sólo si hay al menos una interpretación que es verdadera.
Ejemplo 5. Usando las tablas de verdad también
podemos ver que:
a.(P ∧ v P ) es inconsistente; por lo tanto es inválido.
b.(P ∨ v P ) es válido; por lo tanto es satisfactible.
c. (P →v P ) es inválido y también consistente.
Definición 5. Si una fórmula F es verdadera bajo
una interpretación I, entonces decimos que I satisface a F, o que F es satisfecha por I. De otra
forma decimos que si una fórmula F es falsa bajo
una interpretación I, decimos que I falsifica a F o
que F es falsificada por I.
Definición 6. Cuando una interpretación I satisface a una fórmula F, I es también llamado modelo.
Ejemplo 6. Sea la fórmula (P →v P ) decimos que
la interpretación {P }, {F } es decir P=F, es un
modelo por que (F → V ) = V
2.1 Formas normales en la lógica proposicional Es
necesario transformar una fórmula proposicional a
una forma normal, existen dos formas normales:
La Forma Norma Disyuntiva (FND) y la Forma
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Normal Conjuntiva (FNC)
Antes de formalizar las formas normales definamos
algunas equivalencias lógicas:
1. F ↔ H = (F → G) ∧ (G → F )
2. (F → G) =v F ∨ G
3.a F ∨ G = G ∨ F
3.b F ∧ G = G ∧ F
4.a (F ∨ G) ∨ H = F ∨ (G ∨ H)
4.b (F ∧ G) ∧ H = F ∧ (G ∧ H)
5.a F ∨ (G ∧ H) = (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)
5.b F ∧ (G ∨ H) = (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
6.a F = F ∨ F
6.b F = F ∧ F
7. v (v F ) = F
8.a v (F ∨ G) =v F ∧ v G
8.b v (F ∧ G) =v F ∨ v G
9.a H ∨ V = V
9.b H ∨ f = H
10.a H ∧ V = H
10.b H ∧ F = F
11.a H∨ v H = V
11.b H∧ v H = f
Definición 1. Un literal es un átomo o la negación del átomo.
Definición 2. Una fórmula F se dice que está en
la forma normal conjuntiva (FNC) si y sólo si F
tiene la forma F , F1 ∧ F2 ∧ . . . ∧ Fn, n ≥ 1, donde
cada Fi es una disyunción de literales.
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Definición 3. Una fórmula F se dice que está en
la forma normal disyuntiva (FND) si y sólo si F
tiene la forma F , F1 ∨ F2 ∨ . . . ∨ Fn, n ≥ 1, donde
cada Fi es una conjunción de literales.
Ejemplo 7. Sea la siguiente fórmula
G , (v P ∧ Q) ∨ (P ∧ v Q∧ v R)
está en la Forma normal disyuntiva, donde:
(v P ∧ Q) es una conjunción de literales.
(P ∧ v Q∧ v R) es una conjunción de literales.
Ejemplo 8. obtener la forma normal disyuntiva para
la fórmula
(P ∨ v Q) → R
(P ∨ v Q) → R =v (P ∨ v Q) ∨ R
(P ∨ v Q) → R = (v P ∧ v (v Q)) ∨ R
(P ∨ v Q) → R = (v P ∧ Q) ∨ R
como vemos (v P ∧ Q) y R son una conjunción
de literales además R = R ∧ R
Ejemplo 9. Obtener la forma normal conjuntiva
para la fórmula
(P ∧ (Q → R)) → S
3. CONSECUENCIA LOGICA
Definición 1. Dadas las fórmulas F1 , . . . , Fn y la
fórmula G, G se dice que es consecuencia lógica de
F1 , . . . , Fn si y sólo si para cualquier interpretación
I en la cuál F1 ∧F2 . . . , ∧Fn es verdadera, G también
lo es. F1 , . . . , Fn son llamados axiomas (o postulados o premisas de G)
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Ejemplo 10. Sea el siguiente argumento lógico:
Suponga que el stock de precios baja si la prima
de interés sube. Suponga también que la mayorı́a
de la gente es infeliz cuando el stock de precios
baja. Asuma que la prima de interés sube. Muestre
que usted puede concluir que la mayorı́a de gente
es infeliz.
P , la prima de interés sube.
S , El stock de precios baja.
U , la mayorı́a de gente es infeliz.
Por lo tanto hay cuatro declaraciones:
1) si la prima de interés sube, el stock de precios
baja.
2) Si el stock de precios baja, la mayorı́a de la
gente es infeliz.
3) la prima de interés sube.
4) la mayorı́a de la gente es infeliz.
Estas declaraciones son simbolizadas ası́:
1) P → S
2) S → U
3) P
4) U
Por lo tanto el argumento lógico se puede traducir
en:
((P → S) ∧ (S → U ) ∧ P ) → U
Mostraremos que si (P → S) ∧ (S → U ) ∧ P es verdadero entonces U debe ser verdadero.
(P → S) ∧ (S → U ) ∧ P =(v P ∨ S) ∧ (v S ∨ U ) ∧ P
=P ∧ (v P ∨ S) ∧ (v S ∨ U )
=((P ∧ v P ) ∨ (P ∧ S)) ∧ (v S ∨ U )
=(F ∨ (P ∧ S)) ∧ (v S ∨ U )
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=(P ∧ S) ∧ (v S ∨ U )
=(P ∧ S∧ v S) ∨ (P ∧ S ∧ U )
=(P ∧ F ) ∨ (P ∧ S ∧ U )
=F ∨ (P ∧ S ∧ U )
=P ∧ S ∧ U
Si se supone que (P → S) ∧ (S → U ) ∧ P es verdadero entonces P ∧S ∧U es verdadero por lo tanto
P,S y U DEBEN ser verdaderas y se concluye que
U es VERDADERA.
U es llamada una CONSECUENCIA LOGICA DE
(P → S), (S → U ) y P
Ahora podemos demostrar que la consecuencia
lógica por los conceptos de validez e inconsistencia.
Teorema 3.1 Dadas las fórmulas F1 , . . . , Fn y la fórmula G, G es consecuencia lógica de F1 , . . . , Fn si y
sólo si la fórmula (F1 ∧ F2 . . . ∧ Fn) → G) es VÁLIDA.
Teorema 3.2 Dadas las fórmulas F1 , . . . , Fn y la fórmula G, G es consecuencia lógica de F1 , . . . , Fn si y
sólo si la fórmula (F1 ∧ F2 . . . ∧ Fn∧ v G) es INCONSISTENTE (O INSATISFACTIBLE).
Definición Si G es una consecuencia lógica de
F1 , . . . , Fn la fórmula (F1 ∧F2 . . .∧Fn) → G) es llamada TEOREMA, donde G es llamada la conclusión
del teorema y F1 , . . . , Fn las premisas.
Ejemplo 11. Demostrar por el concepto de validez
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que U es una consecuencia lógica de
(P → S) ∧ (S → U ) ∧ P .
por el teorema 3.1 hay que demostrar que ((P →
S) ∧ (S → U ) ∧ P ) → U es Válido, es decir por
manipulación algebraica hay que demostrar que se
llega a un V (verdadero).
((P → S) ∧ (S → U ) ∧ P ) → U
= ((v P ∨ S) ∧ (v S ∨ U ) ∧ P ) → U
= (P ∧ (v P ∨ S) ∧ (v S ∨ U )) → U
= (((P ∧ v P ) ∨ (P ∧ S)) ∧ (v S ∨ U )) → U
= ((F ∨ (P ∧ S)) ∧ (v S ∨ U )) → U
= ((P ∧ S) ∧ (v S ∨ U )) → U
= ((P ∧ S∧ v S) ∨ (P ∧ S ∧ U )) → U
= (F ∨ (P ∧ S ∧ U )) → U
= (P ∧ S ∧ U ) → U
=v (P ∧ S ∧ U ) ∨ U
=v P ∨ v S∨ v U ∨ U
= V
POR LO TANTO se llega a un Verdadero y el
argumento es VÁLIDO.
Ejemplo 12. Demuestre por inconsistencia que F2
es consecuencia lógica de F1, donde:
F1: Tom no puede ser buen estudiante a menos
que sea listo y su padre lo ayude.
F2: Tom es buen estudiante sólo si su padre lo
ayuda.
Simbolizando el argumento tenemos:
F 1 , (v P ∨ (Q ∧ R))
F2 , P → R
Hay que demostrar que F 1∧ v F 2 es FALSA
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(v P ∨ (Q ∧ R))∧ v (P → R)
= (v P ∨ (Q ∧ R))∧ v (v P ∨ R)
= ((v P ∨ Q) ∧ (v P ∨ R)) ∧ (P ∧ v R)
= (v P ∨ Q) ∧ (v P ∨ R) ∧ (P ∧ v R)
Como v (P ∧ v R) = (v P ∨ R), entonces reemplazando
= (v P ∨ Q)∧ v (P ∧ v R) ∧ (P ∧ v R)
= (v P ∨ Q) ∧ F
=F (FALSO)
Por lo tanto como se demostró que la fórmula es
falsa entonces por inconsistencia F2 es consecuencia lógica de F1.
Ejercicio propuesto 1. Demostrar que F2 es consecuencia lógica de F1:
a) Por la definición de consecuencia lógica.
b) Por el concepto de validez.
Ejercicio propuesto 2. Considere las siguientes fórmulas:
F 1 , (P → Q)
F 2 ,v Q
G ,v P
Demuestre que G es consecuencia lógica de F1 y
F2 por:
a) la definición de consecuencia lógica.
b) el concepto de validez.
c) el concepto de inconsistencia.
Ejercicio propuesto 3. Considere las siguientes fórmulas:
F 1 , (P → (v Q ∨ (R ∧ S))
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F2 , P
F 3 ,v S
Demuestre que v Q es consecuencia lógica de F1,
F2 y F3 por:
a) la definición de consecuencia lógica.
b) el concepto de validez.
c) el concepto de inconsistencia.
Ejercicio propuesto 4. Demuestre que (v Q →v
P ) (contrarecı́proca) es una consecuencia lógica
de (P → Q) por:
a) la definición de consecuencia lógica.
b) el concepto de validez.
c) el concepto de inconsistencia.
A (v Q →v P ) se le llama la contrarecı́proca de
(P → Q)
Ejercicio propuesto 5. Demuestre que la inversa
de (P → Q) es una consecuencia lógica de (Q → P )
por:
a) la definición de consecuencia lógica.
b) el concepto de validez.
c) el concepto de inconsistencia.
A (v P →v Q) se le llama la inversa de (P → Q) y
(Q → P ) es la recı́proca de (P → Q).
4. RESOLUCIÓN EN LÓGICA PROPOSICIONAL
El principio de resolución de Robinson nos sirve
para testear si un conjunto S es insatisfactible.
Definición 1. Una cláusula
finita de cero o más literales.
es una disyunción
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Ejemplo 13. La cláusula C = P ∨ Q∨ v R
Definición 2. Un conjunto S de cláusulas es una
conjunción de todas las cláusulas en S.
Ejemplo 14. S = (P ∨ Q∨ v R) ∧ (P ∨ v Q)∧ v
P ∧R∧U
Definición 3. La cláusula vacı́a denotada por 2
es la claúsula que tiene cero literales y se da por
la deducción de un conjunto de cláusulas en S.
Ahora la deducción o derivación de una cláusula C se puede dar a partir una secuencia finita de
cláusulas en S.
Definición 4. Para cualquiera dos cláusulas C1 y
C2 , si hay un literal L1 en C1 que es complementario a L2 en C2 , entonces borramos L1 y L2 de C1
y C2 . Y la cláusula construida es el RESOLVENTE
de C1 y C2 .
Ejemplo 15. sea C1 = P
C2 =v P ∨ Q.
Entonces el resolvente de C1 y C2 es Q, por que
P y v P son literales complementarios.
Ejemplo 16. sea C1 = P ∨ R
C2 =v P ∨ Q.
Entonces el resolvente de C1 y C2 es R ∨ Q, por
que P y v P son literales complementarios.
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Ejemplo 17. sea C1 =v P ∨ Q
C2 =v P ∨ R.
Dado que no hay un literal en C1 que sae complementario con un literal en C2 , no existe RESOLVENTE de C1 y C2 .
Definición 5. Si tenemos dos cláusulas unitarias
y estas son complementarias entonces el RESOLVENTE es la cláusula vacı́a 2.
TEOREMA 4.1 Dadas dos cláusulas C1 y C2 , un resolvente C de C1 y C2 es una CONSECUENCIA LOGICA
de C1 y C2 .
Ejemplo 18. sea C1 = P ∨ R
C2 =v P ∨ Q.
Entonces el resolvente de C1 y C2 es R ∨ Q. por
el teorema 4.1 podemos decir que R ∨ Q es una
consecuencia lógica de (P ∨ R) y (v P ∨ Q). Por lo
tanto podemos demostrar que la fórmula
((P ∨ R) ∧ (v P ∨ Q)) → (R ∨ Q) es VÁLIDA.
((P ∨ R) ∧ (v P ∨ Q)) → (R ∨ Q)
=v ((P ∨ R) ∧ (v P ∨ Q)) ∨ (R ∨ Q)
=v (P ∨ R)∨ v (v P ∨ Q)) ∨ (R ∨ Q)
= (v P ∧ v R) ∨ (P ∧ v Q) ∨ (R ∨ Q)
= (v P ∧ v R) ∨ ((R ∨ Q ∨ P ) ∧ (R ∨ Q∨ v Q))
= (v P ∧ v R) ∨ (R ∨ Q ∨ P )
= ( v P ∨ R ∨ Q ∨ P ) ∧ (v R ∨ R ∨ Q ∨ P )
= V ∧V =V
Definción 5. (Principio de Resolución). Si S contiene 2, entonces S es insatisfactible.
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Teorema 4.2 Sea S un conjunto de cláusulas. Si
S es insatisfactible, entonces hay una deducción
de la cláusula vacı́a 2,
Teorema 4.3 (Completitud del principio de resolución)
Un conjunto S de cláusulas es insatisfactible si y
sólo si hay una deducción de la cláusula vacı́a 2
de S.
Ejemplo 19. Tomemos la fórmula ((P ∨ R) ∧ (v
P ∨ Q)) → (R ∨ Q) que es válida y demostremosla
por resolución.
1) plantear la fórmula para demostrar si es inconsistente, es decir de la forma: (P ∨R)∧(v P ∨Q)∧ v
(R ∨ Q)
2) Transformar la fórmula a la forma normal conjuntiva.
(P ∨ R) ∧ (v P ∨ Q)∧ v R∧ v Q
3) Obtenemos el conjunto S de clausulas de la forma normal conjuntiva:
S = {P ∨ R, v P ∨ Q, v R, v Q}
4) aplicamos el principio de resolución buscando
la cláusula vacı́a 2 en S.
(1)P ∨ R
(2)v P ∨ Q
(3)v R
(4)v Q
Tomamos (1) y (2) y obtenemos el resolvente R∨Q
(5)
ahora de (5) y (3) obtenemos el resolvente Q (6)
y por último de (4) y (6) se deduce 2 POR LO
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TANTO (P ∨ R) ∧ (v P ∨ Q)∧ v (R ∨ Q)
es inconsistente y (R ∨ Q) es una CONSECUENCIA LOGICA DE (P ∨ R) y (v P ∨ Q).
Ejemplo 20. Demuestre por resolución que F2 es
una consecuencia lógica de F1
F1 : Tom no puede ser buen estudiante a menos
que sea listo y su padre lo ayude.
F2 : Tom es buen estudiante sólo si su padre lo
ayuda.
1) tranformamos los argumentos a variables proposicionales:
F1 ,v P ∨ (Q ∧ R)
F2 , P → R
hay que demostrar que v P ∨ (Q ∧ R)∧ v (P → R)
es inconsistente
2) transformar la fórmula a la forma normal conjuntiva.
(v P ∨ Q) ∧ (v P ∨ R) ∧ P ∧ v R
3) El conjunto S = {v P ∨ Q, v P ∨ R, P, v R}
4) Aplicamos el principio de resolución buscando
deducir la cláusula vacı́a 2
(1)v P ∨ Q
(2)v P ∨ R
(3)P
(4)v R
DE (2) y (3) obtenemos el resolvente R (5)
De (4) y (5) obtenemos el resolvente 2
Como se deduce la cláusula vacı́a 2 entonces v
P ∨ (Q ∧ R)∧ v (P → R) es INCONSISTENTE por
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lo tanto P → R es una CONSECUENCIA LOGICA
DE v P ∨(Q∧R) y además v P ∨(Q∧R) → (P → R)
es VALIDO.
5. APLICACIONES (LOGICA Y OPERACIONES CON BITS)
Un bit tiene dos posibles valores 0 y 1.
Un bit puede ser representado por valor de
verdad V o F es decir 1 representa V y 0
representa F.
Una variable es llamada variable Booleana si
su valor es F o V.
Definición 1. Un cadena de strings es una secuencia de cero o más bits. La longitud de la cadena es el número de bits en la cadena.
Definición 2. La cadena vacı́a es la cadena que
no tiene bits. y su longitud es cero.
Ejemplo 21. La cadena 1001101 tiene longitud 7.
5.1 Operaciones con bits
Corresponden a los conectivos lógicos.
Tablas para el Bit: OR, AND y XOR
x
y
x∨y
x∧y
x⊕y
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
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Ejemplo 22. Econtrar el OR, AND y XOR para las
cadenas 111001111 y 001100111.
111001111
001100111
111101111 OR
001000111 AND
110101000 XOR
5.2 Compuertas NOR(↓) y NAND(|)
La fórmula p NAND q es verdadera cuando p o
q, o ambas son falsas y es falsa cuando p y q
son verdaderas. La fórmula p NOR q es verdadera
cuando tanto p como q son falsas y en cualquier
otro caso falsa. Las nuevos conectivos p NAND q
y p NOR q se denotan respectivamente p | q(barra
de Sheffer) y p ↓ q (Flecha de Pierce).
x
y
x NOR y
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
x NAND
y
0
1
1
1
Ejemplo 23. Mostrar que p | q y p | q son equivalentes.
p|q=p|q
v (p ∧ q) =v (q ∧ p)
Como p ∧ q = q ∧ p
entonces v (p ∧ q) =v (p ∧ q)
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Ejemplo 24. Mostrar que (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) es lógicamente equivalente a (p ∨ q)
(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) =v (v (p ∨ q)∨ v (p ∨ q)))
(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) =v (v (p ∨ q))
(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) = p ∨ q
Ejemplo 25. Demostrar que el operador lógico | no
es asociativo.
( demostrar que p | (q | r) 6= (p | q) | r)
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LOGICA DE PRIMER ORDEN (LPO)
Ejemplo 1. Traducir los siguientes argumentos a
la lógica de primer orden
a) Todo hombre es mortal
dado que Confucius es un hombre, el es mortal.
∀(x)(H(x) → M (x))
H(Conf ucius) → M (Conf ucius)
b) Existe un entero que es mayor que 100 que
es una potencia de 2.
∃(x)(M (x, 100) ∧ P (x, 2))
No todos los enteros mayores que 100 son potencia de 2. sólo ALGUNOS.
c) Para todo entero n la suma de los n enteros
positivos es n(n+1)/2.
∀(n)∃(i)(Σni=1 i =
n(n+1)
)
2
d) Algunos leones no toman café.
(∃x)(P (x)∧ v R(x))
e) No hay pájaros grandes que liben néctar.
v (∃x)(Q(x) ∧ R(x))
1. SINTAXIS
Nosotros para representar la sentencia ”x es más
grande que 3”definimos un predicado MAYOR(x,y)
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que significa ”x es mayor que y”(Note que un predicado es una relación), entonces la sentencia puede
ser representada por MAYOR(x,3).
De la misma forma podemos representar x AMA a
y con el predicado AMA(x,y) donde x,y son variables y AMA(José, Mary) donde José y Mary son
constantes.
Nosotros también podemos representar una función en la LPO. por ejemplo ”x+y”pueder ser representado por sum(x, y), donde sum es la función,
también el sucesor de x es una función su(x)
1.1 Notación Podemos notar las constantes, variables, predicados y funciones a través de un alfabeto.
a) Las constantes usualmente se denotan por nombres de objetos 3, Mary, José.
b) Las variables se denostan por letras minúsculas
x,y,x....
c) Las funciones se denotan por letras minpusculas sum, su
d) Los predicados se denotan por letras mayúsculas MAYOR, H.
Definición 1. Los términos son definidos recursivamente como sigue:
Una constante A es un término.
Una variable A es un término.
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Si f es una función y t1 , t2 , . . . tn son términos,
entonces f (t1 , . . . , tn) es un término.
Todos los términos son generados por la aplicación de las anteriores reglas.
Definición 2. Si P es un predicado y t1 , t2 , . . . tn son
términos, entonces P (t1 , t2 , . . . tn) es un átomo.
Ejemplo 2. Traducir los siguientes axiomas a la
LPO
a) El sucesor de un número es un número.
N(x): x es un número
su(x): sucesor de x.
N (x) → N (su(x))
b) Todo número racional es un número real.
Q(x): x es un número racional
P(x): x es un número real
Entonces la sentencia es simbollizada ası́ :
∀(x)(Q(x) → P (x))
c) Existe un número que es un primo.
P(x): x es un número primo.
Entonces la sentencia es simbollizada ası́ :
∃(x)P (x)
d) Para todo número x, existe un número y tal
que x < y.
MENOR(x,y): x es menor que y.
∀(x)∃(y)M EN OR(x, y)
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e) Los números con el mismo sucesor son identicos.
E(x, y): x es igual a y
(N (x) ∧ N (y) ∧ E(su(x), su(y))) → E(x, y)
f) La suma es conmutativa.
E(x, y): x es igual a y
sum(x, y): x + y
E(sum(x, y), sum(y, x))
g) Para todo x, y ∈ R | x + y = y + x
(∀x)(∀y)(E(sum(x, y), sum(y, x)))
h) Algunos naturales son pares.
(∃x)(N (x) ∧ P (x))
Definición 3. Una ocurrencia de una variable en
una fórmula es ligada si y sólo si la ocurrencia
se encuentra dentro del alcance del cuantificador
en la fórmula. Una ocurrencia de una variable es
libre si y sólo si ésta ocurrencia no es ligada.
Ejemplo 3. ∀(x)P (x, y) x es una variable ligada y
y es una variable libre.
Ejemplo 4. (∀x)P (x, y) ∧ (∀x)Q(y) y es una variable libre y ligada a la vez.
Definición 4. Las Fórmulas bien formadas en la
lógica de predicados se definen recursivamente como sigue:
Un átomo es una fórmula.
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Si F y G son fórmulas, entonces v (F ),(F ∨
G),(F ∧ G),(F → G) y (F ↔ G) son fórmulas.
Si F es una fórmula y x es una variable libre
entonces (∀x)F y (∃x)F son fórmulas.
Las fórmulas son generadas sólo por la aplicación de las reglas anteriores.
Ejemplo 5. Traducir a la lógica de primer orden
los siguientes axiomas.
A1 : Para todo número, existe uno y sólo un inmediato sucesor.
funciones a usar:
f (x): sucesor de x
Predicado a usar:
E(x, y): x igual a y
0
A1 : (∀x)(∃y)(E(y, f (x))∧(∀z)(E(z, f (x)) → E(y, z)))
A2 : No Existe un número para el cuál 0 es el inmediato superior.
funciones a usar:
f (x): sucesor de x
Predicado a usar:
E(x, y): x igual a y
0
A2 :v ((∃x)E(0, f (x)))
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A3 : Para todo número diferente de 0, existe uno y
sólo un inmediato predecesor.
funciones a usar:
g(x): predecesor de x
Predicado a usar:
E(x, y): x igual a y
0
A3 : (∀x)(v E(x, 0) → ((∃y)(E(y, g(x))∧(∀z)(E(z, g(x)) →
E(y, z)))))
2. INTERPRETACION EN LA LÓGICA DE PREDICADOS
En la lógica proposicional una interpretación es
una asignación de valores de verdad a los átomos.
Al contrario de la lógica proposicional en la LPO
se deben especificar dos elementos: el dominio y
la asignación a constantes, variables, funciones y
predicados.
Definición 1. Una interpretación de una fórmula
F en la LPO consiste de un dominio D no vacı́o y
una asignación de valores a cada constante, variables, funciones y predicados en F como sigue:
1. Para cada constante, nosotros asignamos un
elemento en D.
2. Para cada función, nosotros asignamos desde Dn a D (note que Dn = {(x1 , . . . , xn)/x1 ∈
D, . . . , xn ∈ D})
3. Para cada predicado nosotros asignamos desde
Dn a {V, F }
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Definición 2. Para toda interpretación de una fórmula sobre un dominio D, la fórmula puede ser evaluada V(verdadera) o F (falsa) según las siguientes
reglas:
1. Si los valores de verdad de las fórmulas G y
H son evaladas, entonces los valores de verdad de
las fórmulas (G ∧ H),(G ∨ H), (G → H), y (G ↔ H)
son evaluados usando las tablas de verdad usadas
en la lógica proposicional.
2. (∀x)G es evaluada como V si el valor de verdad de G es evaluado como V para toda d ∈ D, de
otra manera es evaluado como F.
3. (∃x)G es evaluado como V si el valor de verdad de G es V para al menos un d ∈ D; de otra
manera es evaluado como F.
Ejemplo 6. Considere las siguientes fórmulas
(∀x)P (x) y (∃x) v P (x)
Definimos una interpretación para ambas fórmulas
( en este caso el predicado P debe tener asignación):
Dominio: D = {1, 2}
Asiganciones para el predicado P:
P(1) P(2)
V
F
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La primera fórmula (∀x)P (x) para que sea verdadera todos los x del dominio deben ser verdaderas bajo el predicado P. pero podemos observar que (∀x)P (x) es F por que P(2)=F.
la segunda fórmula (∃x) v P (x) es V en esta interpretación, por que al menos existe un elemento
en el dominio x=2 de tal forma que v P (2) es V.
Ejemplo 7. Considere la siguiente fórmula:
(∀x)(∃y)P (x, y)
y la interpretación:
D = {1, 2}
P(1,1) P(1,2) P(2,1) P(2,2)
V
F
F
V
Si x=1, nosotros podemos ver que existe un y tal
que P(1,y) sea V. y lo hay cuando y=1, es decir
P(1,1) es V.
Si x=2, debe existir un y tal que P(2,y) sea V, y
lo hay cuando y=2, es decir P(2,2) es V.
Por lo tanto como para todo x ∈ D existe un y tal
que la fórmula P(x,y) es V entonces (∀x)(∃y)P (x, y)
es V.
Ejemplo 8. Considere la fórmula:
G , (∀x)(P (x) → Q(f (x), a))
Encontrar el valor de verdad de G.
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Sea el dominio D = {1, 2} y la asignación para
la constante a=1
asignaciones para f :
f(1)
2
f(2)
1
Las asignaciones para los predicados P y Q:
P(1)
F
P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2)
V
V
V
F
V
Se debe verificar para todo x en el dominio que G
es verdadera
Si x=1, entonces
P (x) → Q(f (x), a) = P (1) → Q(f (1), a)
P (x) → Q(f (x), a) = P (1) → Q(2, 1)
P (x) → Q(f (x), a) = F → F = V
Si x=2, entonces
P (x) → Q(f (x), a) = P (2) → Q(f (2), a)
P (x) → Q(f (x), a) = P (2) → Q(1, 1)
P (x) → Q(f (x), a) = V → V = V
Por lo tanto dado que P (x) → Q(f (x), a) es V para
todo x ∈ D entonces G , (∀x)(P (x) → Q(f (x), a))
es V.
Ejercicio propuesto 1. Evalue el valor de verdad
para cada una de las siguientes fórmulas.
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a) (∃x)(P (f (x)) ∧ Q(x, f (a)))
b) (∃x)(∀y)(P (f (x), y) ∧ Q(x, y))
c) (∀x)(∃y)(∀z)((P (x) ∧ Q(x, y)) → R(x, z))
Tome como interpretación al dominio D = {1, 2},
a=1 y las siguientes asignaciones para f :
f(1)
2
f(2)
1
Las asignaciones para los predicados P y Q:
P(1)
F
P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2)
V
V
V
F
V
R(1,1) R(1,2) R(2,1) R(2,2)
V
V
V
V
3. VALIDEZ E INCONSISTENCIA EN LA LOGICA DE PREDICADOS
Todos los conceptos de validez, inconsistencia, invalidez y satisfactibilidad se definen análogamente
como en la lógica proposicional.
Definición 1. Una fórmula G es satisfactible si
y sólo si existe una interpreatción I tal que G es
evaluado V en I.
Definición 2. Una fórmula G es insatisfactible
si y sólo si no existe una interpretación que satisfaga a G.
Ejemplo 9. Demostrar que G , (∀x)P (x) ∧ (∃y) v
P (y) es insatisfactible.
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Se supone que G es verdadero y se llega a una
contradicción por lo tanto G debe ser inconsistente.
Bien entonces si (∀x)P (x) ∧ (∃y) v P (y) es V,
(∀x)P (x) es V para todo d ∈ D, P (d) es V
Ahora como G es V, (∃y) v P (y) es V, esto es
existe un un y ∈ D tal que v P (y) es V por tanto
P (y) es F ESTO ES UNA CONTRADICCIÓN por
que habiamos dicho que (∀x)P (x) es V POR LO
TANTO G debe ser FALSA y a su vez INCONSISTENTE.
Ejemplo 10. Demostrar que G , (∀x)P (x) → (∃y)P (y)
es válido.
Ejemplo 11. Considere las siguientes fórmulas:
F1 : (∀x)(P (x) → Q(x))
F2 : P (a)
Demostraremos que Q(a) es una CONSECUENCIA LOGICA de F1 y F2
Consideremos cualquier interpretación I que satisfaga a (∀x)(P (x) → Q(x)) ∧ P (a).
Asumamos que P (a) es V y Q(a) es F en esta interpretación entonces v P (a) ∨ Q(a) es decir P (a) → Q(a) es F en I. esto significa que en I
(∀x)(P (x) → Q(x)) es F. POR LO TANTO Q(a)
debe ser V para toda interpretación que satisfaga
a (∀x)(P (x) → Q(x)) ∧ P (a)
Esto significa que Q(a) es Consecuancia lógica de
F1 y F2 .
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4. FORMA NORMAL DE PRENEX EN LA LPO
En la lógica proposicional nosotros introducimos
las dos formas normales: la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva. En la lógica de
primer orden, hay también una forma normal es la
forma normal de Prenex la razón principal de esta forma es la simplificación de la fórmula original.
Definición 1. Una fórmula F en la lógica de primer
orden está en la Forma Normal de Prenex si y sólo
si la fórmula F está en la forma:
(Q1 x1 ) . . . (Qnxn)(M )
Donde todo (Qixi), i = 1, . . . , n es (∀xi) o (∃xi) y
M es una fórmula que no contiene cuantificadores.
(Q1 x1 ) . . . (Qnxn) es llamado el prefijo de M y M es
la matriz de la fórmula de F.
Ejemplo 12. Las siguientes fórmulas están en la
forma normal de prenex:
a) (∀x)(∀y)(P (x, y) ∧ Q(x, y)
b) (∀x)(∀y)(v P (x, y) → Q(x, y)
c) (∀x)(∀y)(∃z)(P (x, y) ∧ Q(z))
4.1 Propiedades para la transformación a la forma
normal de Prenex.
1) v ((∀x)F (x)) = (∃x)(v F (x))
2) v ((∃x)F (x)) = (∀x)(v F (x))
Suponga que las fórmulas F (x) y H(x) contienen
a x entonces:
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3) (∀x)F (x) ∧ (∀x)H(x) = (∀x)(F (x) ∧ H(x))
4) (∃x)F (x) ∨ (∃x)H(x) = (∃x)(F (x) ∨ H(x))
Cuando aparece (∀x)F (x) ∨ (∀x)H(x) es decir la
disyunción con el cuantificador ∀ se debe hacer
cambio de variable.
5) (∀x)F (x) ∨ (∀x)H(x) = (∀x)F (x) ∨ (∀z)H(z)
= (∀x)(∀z)(F (x) ∨ H(z))
6) (∃x)F (x) ∧ (∃x)H(x) = (∃x)F (x) ∧ (∃z)H(z)
= (∃x)(∃z)(F (x) ∧ H(z))
Otras leyes retomadas de la lógica proposicional
son:
F ↔ H = (F → H) ∧ (H → F )
(F → H) =v F ∨ H
v (v F ) = F
v (F ∨ H) =v F ∧ v H
v (F ∧ H) =v F ∨ v H
Ejemplo 13. Transformar la siguiente fórmula
(∀x)P (x) → (∃x)Q(x) a la forma normal de prenex.
(∀x)P (x) → (∃x)Q(x) =v ((∀x)P (x)) ∨ (∃x)Q(x)
= (∃x)(v P (x)) ∨ (∃x)Q(x)
= (∃x)(v P (x) ∨ Q(x))
POR LO TANTO, la forma normal de prenex de
(∀x)P (x) → (∃x)Q(x) es (∃x)(v P (x) ∨ Q(x))
Ejemplo 14. Obtener la forma normal de prenex
de la fórmula:
(∀x)(∀y)((∃z)(P (x, z) ∧ P (y, z)) → (∃u)Q(x, y, u))
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= (∀x)(∀y)(v (∃z)(P (x, z)∧P (y, z))∨(∃u)Q(x, y, u))
= (∀x)(∀y)(∀z)(v (P (x, z)∨ v P (y, z))∨(∃u)Q(x, y, u))
= (∀x)(∀y)(∀z)(∃u)(v P (x, z)∨ v P (y, z)∨Q(x, y, u))
5. FORMA ESTANDAR DE SKOLEM.
La idea es la de eliminar el cuantificador existencial de la forma normal de prenex y sedebe tener
en cuenta:
1) La fórmula se debe transformar a la forma normal de prenex.
2) La matriz no contiene cuantificadores y puede
ser tranformada a la forma normal conjuntiva.
3) Los cuantificadores existenciales deben ser eliminados.
Definición 1. Sea una fórmula en la forma normal
de prenex (Q1 x1 ) . . . (Qnxn)(M ), donde M está en
la forma normal conjuntiva. Suponga que Qr es un
cuantificador existencial en el prefijo (Q1 x1 ) . . . (Qnxn),
1 ≤ r ≤ n entonces:
1) Si no hay cuantificador universal antes de Qr
entonces se elige una nueva constante c diferente
a otras constantes ocurridas en M y reemplazamos
todo xr en M por c y borramos Qr xr del prefijo.
2) Si Qs1 . . . Qsm son todos los cuantificadores universales antes de Qr , 1 ≤ s1 < s2 · · · < sm < r, se
elige una nueva función diferentes de las que hay
en M y reemplazamos todo xr en M por f (xs1 , xs2 , . . . , xs1 ),
y se borra (Qr xr ) del prefijo.
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Ejemplo 15. Obtener la forma estándar de Skolem
de la fórmula:
(∃x)(∀y)(∀z)(∃u)(∀v)(∃w)P (x, y, z, u, v, w)
1) En esta fórmula como vemos, (∃x) no esta precedido por ningún cuantificador universal, por tanto se reemplaza la variable x por una contante a y
borramos (∃x) .
(∀y)(∀z)(∃u)(∀v)(∃w)P (a, y, z, u, v, w)
2) (∃u) está precedido por (∀y) y (∀z) por tanto
reemplazamos la variable u por una función f (y, z).
(∀y)(∀z)(∀v)(∃w)P (a, y, z, f (y, z), v, w)
3) Por último (∃w) está precedido por (∀y),(∀z) y
(∀v) por tanto se reemplaza la variable w por una
función que no este en P, es decir g(y, z, v) y por
tanto la forma estándar de Skolem queda ası̀:
(∀y)(∀z)(∀v)P (a, y, z, f (y, z), v, g(y, z, v))
Ejemplo 16. Obtener la forma estándar de Skolem
de la siguiente fórmula.
(∀x)(∃y)(∃z)((v P (x, y) ∧ Q(x, z)) ∨ R(x, y, z))
1) Se transforma M a la forma normal conjuntiva.
(∀x)(∃y)(∃z)((v P (x, y)∨R(x, y, z))∧(Q(x, z)∨R(x, y, z)))
2) obtenemos la forma estándar de Skolem reemplazando y por una función f (x) y se elimina (∃y).
(∀x)(∃z)((v P (x, f (x))∨R(x, f (x), z))∧(Q(x, z)∨R(x, f (x), z)))
3) y por último eliminamos (∃z) reemplazando z
por una función g(x) en M.
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(∀x)((v P (x, f (x))∨R(x, f (x), g(x)))∧(Q(x, g(x))∨
R(x, f (x), g(x))))
6. FORMA CLAUSULAR
Es importante obtener la forma clausular de la forma normal de Skolem.
Definición 1. Una cláusula es una disyunción finita de cero o mas literales.
Definición 2. Sea S el conjunto de cláusulas que
representan la forma estándar de una fórmula F.
Ejemplo 17. Sea la siguiente fórmula en la forma
estándar de Skolem
(∀x)((v P (x, f (x))∨R(x, f (x), g(x)))∧(Q(x, g(x))∨
R(x, f (x), g(x))))
Entonces el conjunto S tiene dos cláusulas
S = {v P (x, f (x)) ∨ R(x, f (x), g(x)), Q(x, g(x)) ∨
R(x, f (x), g(x))}
C1 =v P (x, f (x)) ∨ R(x, f (x), g(x))
C2 = Q(x, g(x)) ∨ R(x, f (x), g(x))
S = {C1 , C2 }
Ejemplo 18. obtener la forma clausular de:
(∀y)(∀z)(∀v)P (a, y, z, f (y, z), v, g(y, z, v))
S = {P (a, y, z, f (y, z), v, g(y, z, v))}