EP-9_LPO - FiloSevilla2012

Ejercicios sobre tableros semánticos
Lógica de primer orden
EP-9
Problema 1. Mediante el cálculo de tableros semánticos para la Lógica de Primer Orden prueba o refuta
lo que se indica en cada uno de los apartados siguientes (al terminar el tablero debes explicar en lenguaje
natural por qué dicho tablero nos ha permitido dar una prueba o una refutación, según corresponda):
(a) El conjunto de fórmulas {∀x(P x → Qx), ∃x¬Qx, ∀x¬P x} es simultáneamente satisfacible.
(b) La fórmula ∃x(P x ∧ (Sx ∧ ¬Rx)) es consecuencia lógica de las fórmulas ∀x((P x ∧ Qx) → ¬Rx) y
∃x(P x ∧ (Qx ∧ Sx)).
(c) La fórmula ∃x((Qx ∧ Sx) ∨ (Rx ∧ Sx)) es consecuencia lógica de las fórmulas ∀x(P x → (Qx ∨ Rx)) y
∃x(P x ∧ Sx).
(d) La fórmula ∃x((Qx ∨ Sx) ∧ (Rx ∨ Sx)) es consecuencia lógica de las fórmulas ∀x(P x → (Qx ∧ Rx)) y
∃x(P x ∨ Sx).
(e) La fórmula ∃y∀x(Rxy → ¬P x) → ∃y∀x(P x ∧ Qxy → ¬Rxy) es universalmente válida.
(f) {∀x(∃yRxy → ∀zRzx), ∃x∃yRxy} |= ∀xRxx
(g) |= (∃xP x → ∀yQy) ↔ ∀x(P x → ∀yQy)
(h) El conjunto {∀x(P x → Rx ∧ Qx), ∀x(Rx → (Qx → ¬Sx)), ∃x(P x ∧ ¬Sx)} es simultáneamente
satisfacible.
(i) El conjunto {∃x∀yRxy, ¬∀y∃xRxy} es simultáneamente satisfacible.
(j) ∀xRx → ∃xP x |= ∃x(Rx → P x)
Problema 2. Utilizar el cálculo de tableros semánticos para demostrar las siguientes equivalencias:
(a) ∀x(P x ∧ Qx) ≡ ∀xP x ∧ ∀xQx
(b) ∃x(P x ∨ Qx) ≡ ∃xP x ∨ ∃xQx
(c) ∀x(∃yQy ∧ P x) ≡ ∃yQy ∧ ∀xP x
(d) ∀x(∃yQy ∨ P x) ≡ ∃yQy ∨ ∀xP x
(e) ∃x(∃yQy ∧ P x) ≡ ∃yQy ∧ ∃xP x
Problema 3. Mediante tableros semánticos, encontrar modelos que demuestren lo siguiente:
(a) ∀x(P x ∨ Qx) 6≡ ∀xP x ∨ ∀xQx
(b) ∃x(P x ∧ Qx) 6≡ ∃xP x ∧ ∃xQx