1 Existe una fórmula para calcular la suma 1+4+9+ ··· + n Sabiendo
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Existe una fórmula para calcular la suma 1 + 4 + 9 + · · · + n2 . Sabiendo que la fórmula es un polinomio de grado tres en la variable n, encuentre dicha fórmula. Sugerencia: Proponga como fórmula F (n) = A n3 + B n2 + C n + D donde A, B, C y D son incógnitas. Dando los valores n = 1, n = 2, n = 3 y n = 4 y conociendo los resultados que dan esas sumas, plantea y resuelve el sistema. Solución Para n = 1 la suma da: 1 X i2 = 12 = 1 i=1 Por tanto, la fórmula para n = 1 debe dar 1. La ecuación queda: A 13 + B 12 + C 1 + D = A + B + C + D = 1 Para n = 2 la suma da: 2 X i2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 i=1 Por tanto, la fórmula para n = 2 debe dar 5. La ecuación queda: A 23 + B 22 + C 2 + D = 8 A + 4 B + 2 C + D = 5 Para n = 3 la suma da: 3 X i2 = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14 i=1 Por tanto, la fórmula para n = 3 debe dar 14. La ecuación queda: A 33 + B 32 + C 3 + D = 27 A + 9 B + 3 C + D = 27 Para n = 4 la suma da: 4 X i2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 i=1 Por tanto, la fórmula para n = 3 debe dar 14. La ecuación queda: A 43 + B 42 + C 4 + D = 64 A + 16 B + 4 C + D = 30 Al resolver este sistema de 4 ecuaciones para A, B, C y D obtenemos: 1 1 1 A= ,B= ,C= 3 2 6 Por tanto, la fórmula de la sumatoria queda: ∀n ∈ N, n X i=1 i2 = 1 3 1 2 1 n + n + n 3 2 6
