Existe una fórmula para calcular la suma
1 + 4 + 9 + · · · + n2 .
Sabiendo que la fórmula es un polinomio de grado tres en la variable n, encuentre
dicha fórmula. Sugerencia: Proponga como fórmula
F (n) = A n3 + B n2 + C n + D
donde A, B, C y D son incógnitas. Dando los valores n = 1, n = 2, n = 3 y n = 4
y conociendo los resultados que dan esas sumas, plantea y resuelve el sistema.
Solución
Para n = 1 la suma da:
1
X
i2 = 12 = 1
i=1
Por tanto, la fórmula para n = 1 debe dar 1. La ecuación queda:
A 13 + B 12 + C 1 + D = A + B + C + D = 1
Para n = 2 la suma da:
2
X
i2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5
i=1
Por tanto, la fórmula para n = 2 debe dar 5. La ecuación queda:
A 23 + B 22 + C 2 + D = 8 A + 4 B + 2 C + D = 5
Para n = 3 la suma da:
3
X
i2 = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14
i=1
Por tanto, la fórmula para n = 3 debe dar 14. La ecuación queda:
A 33 + B 32 + C 3 + D = 27 A + 9 B + 3 C + D = 27
Para n = 4 la suma da:
4
X
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
i=1
Por tanto, la fórmula para n = 3 debe dar 14. La ecuación queda:
A 43 + B 42 + C 4 + D = 64 A + 16 B + 4 C + D = 30
Al resolver este sistema de 4 ecuaciones para A, B, C y D obtenemos:
1
1
1
A= ,B= ,C=
3
2
6
Por tanto, la fórmula de la sumatoria queda:
∀n ∈ N,
n
X
i=1
i2 =
1 3 1 2 1
n + n + n
3
2
6
0
