Geometría Euclídea II - Escuela de Matemáticas

Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
GEOMETRIA EUCLIDEA II
Código: MAB303
Nivel: II
Ciclo lectivo: I
Modalidad: Ciclo
Naturaleza: Teórico-práctico
Tipo de curso: Regular
Área: Álgebra y Geometría
Requisito: MAB301 Geometría Euclídea I
Número de créditos: 04
Horas presenciales: 05
Horas docente: 05
Horas teoría: 03
Horas prácticas: 02
Horas estudio independiente: 06
Número de horas totales semanales: 11
Unidad Académica que imparte el curso: Escuela de Matemática
Descripción
En este curso se desarrollarán conceptos fundamentales de Geometría Superior en el
plano y en el espacio. Los contenidos del curso incluyen los tópicos geométricos del
programa de secundaria, desarrollados desde una perspectiva formal, propia de un
nivel universitario.
Se propone la Geometría como alternativa que facilite la
visualización, formulación de conjeturas y el establecimiento de relaciones entre
conceptos matemáticos.
Éste es el segundo curso de Geometría Superior que, sobre el sustento de los
conocimientos construidos en el primer curso y apoyado en elementos de
axiomatización, lógica-matemática, teoría de conjuntos y teoría de funciones entre
otros, avanza primero en el estudio de la Geometría Euclídea Plana, para incursionar
luego en el ámbito tridimensional.
Objetivos
Que el estudiante:
Desarrolle la habilidad para visualizar conceptos y propiedades geométricas del plano y
el espacio mediante interpretaciones gráficas.
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Plan de estudios
Demuestre resultados geométricos en el plano y en el espacio mediante diferentes
métodos aplicando los conceptos estudiados.
Resuelva problemas asociados con variedad de situaciones, que se describen mediante
conceptos y propiedades geométricas en el plano y en el espacio.
Desarrolle habilidades intelectuales de identificación, comparación e interpretación para
su desarrollo profesional y personal.
Comunique sus ideas, en forma oral y escrita, haciendo uso de un lenguaje formal
simbólico-matemático.
Adquiera conciencia de la importancia de la Geometría Euclídea como un área de
desarrollo del pensamiento lógico la cual es útil en aplicaciones de la vida real.
Contenidos
Polígonos, regiones poligonales y función área
Definiciones: Poligonal, polígono o poligonal cerrada; perímetro de un polígono,
polígonos convexo, cóncavos y regular. Teoremas referentes a sus propiedades
fundamentales. Definiciones: interior y exterior de un polígono convexo, figura cerrada
plana; región plana, cuadrada, rectangular, poligonal y regiones triangulares
congruentes. Función área: axiomas de la función área y teoremas de áreas para
triángulos y cuadriláteros. Aplicaciones de la teoría de áreas: Teoremas de Thales, de
Pitágoras y Teorema de Herón.
Elementos básicos de circunferencia y círculo
Definiciones: circunferencia, circunferencias concéntricas, radio, cuerda, diámetro,
interior y exterior de la circunferencia, recta tangente, punto de contacto o punto de
tangencia, recta secante, segmento tangente, segmento secante, circunferencias
congruentes, distancia del centro de una circunferencia a una cuerda, cuerdas
equidistantes del centro, circulo. Teoremas relacionados. Definiciones: tangente común
(exterior e interior) a dos circunferencias, circunferencias secantes, circunferencias
tangentes (interior y exterior), puntos concíclicos, circunferencia concéntrica mayor y
menor, circunferencia exterior, circunferencia interior, semi-circunferencia, semi-circulo,
rayo secante y rayo tangente. Teoremas relacionados.
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Ángulos, arcos en la circunferencia y medida angular.
Definiciones: ángulo central, arco menor, arco mayor, arcos conjugados, medida
angular de un arco, arcos congruentes en una misma circunferencia, arcos subtendidos
o determinados por una cuerda de una circunferencia. Ángulo inscrito, seminscrito y
circunscrito, ángulos interiores y exteriores de una circunferencia, ángulos interiores
opuestos, arcos intersecados o subtendidos por un ángulo en una circunferencia,
teoremas relacionados. Definiciones: triángulo y cuadrilátero inscrito en una
circunferencia, teoremas relacionados.
Semejanza en la circunferencia y el círculo.
Definiciones: potencia de un punto relativa a una circunferencia, punto equipotencial a
dos circunferencias, eje radical de dos circunferencias. Teoremas relacionados con la
semejanza en la circunferencia y el círculo.
Medida lineal del arco, longitud de la circunferencia, número S
Definiciones: poligonal inscrita en un arco y su longitud. Conjunto de las longitudes de
todas las poligonales inscritas en un arco. Teoremas relacionados. Definiciones:
longitud o medida lineal de un arco, longitud de la circunferencia. Teoremas
relacionados. Definición de la medida en radianes del ángulo central. Teoremas
relacionados.
Circunferencia inscrita y circunscrita a un polígono
Definiciones: polígono inscrito y circunscrito a una circunferencia, circunferencia inscrita
y circunscrita a un polígono. Teoremas relacionados. Definiciones: centro y radio de un
polígono regular, diagonal de un polígono. Teoremas relacionados. Definiciones:
apotema y ángulo central de un polígono regular. Teoremas relacionados. Definición de
ángulo externo de un polígono convexo. Teoremas relacionados.
Área del círculo y puntos de concurrencia de rectas notables
Definiciones: sector circular, arco de un sector circular, radio de un sector circular,
segmento circular, anillo circular o corona, teoremas relacionados. Definiciones:
incentro, circuncentro, ortocentro, baricentro,triángulo medial y teoremas relacionados.
Definición de triángulos homotéticos y teoremas relacionados. Definiciones: triángulos
órticos, triángulos ortológicos, centros de ortología y teoremas relacionados. Definición
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Plan de estudios
de circunferencia de los nueve puntos o circunferencia de Feurbach y teoremas
relacionados. Definiciones: circunferencias inscritas, circunscritas, exinscritas y
teoremas relacionados.
Perpendicularidad en el espacio
Definiciones: recta perpendicular a un plano, punto equidistante de dos puntos y
teoremas relacionados: teorema fundamental de la perpendicularidad, distancia de un
punto a un plano, entre otros.
Paralelismo en el espacio
Definiciones: recta paralela a un plano, planos paralelos y planos secantes. Teoremas
relacionados. Definición de distancia entre dos planos paralelos y teoremas
Relacionados.
Función proyección central
Definiciones: ángulo diedros, folios, aristas, interior y exterior de un ángulo diedro y
teoremas relacionados. Definiciones: ángulo plano de un ángulo diedro, medida de un
ángulo diedro, planos perpendiculares y teoremas relacionados. Definiciones: ángulo
triedro (vértices, aristas, ángulos faciales, caras o folios), sección transversal de un
poliedro, ángulo poliedro convexo, ángulos poliedros congruentes y teoremas
relacionados. Definición de proyección central en el espacio y teoremas relacionados
(teorema de Desargues).
Elementos de estereometría
Definiciones: superficie prismática, aristas, caras o folios, generatriz, directriz, superficie
prismática cerrada convexa, sección transversal, secciones transversales paralelas y
teoremas relacionados. Definiciones: prisma, aristas, planos basales, polígonos
basales, regiones basales o bases, altura, vértices, caras laterales, área lateral del
prisma, áreas basales y teoremas relacionados. Definiciones de prisma recto, prisma
oblicuo, sección transversal paralela de un prisma, sección transversal recta de un
prisma y teoremas relacionados. Definiciones: prisma triangular, cuadrangular,
pentagonal y n-agonal, prisma regular, paralelepípedo, paralelepípedo regular, cubo,
diagonales de un paralelepípedo, diagonales de una cara, plano diagonal, dimensiones
de un paralelepípedo y teoremas relacionados. Definiciones: pirámide, aristas, plano
basal, polígono basal, base, vértice o cúspide, caras laterales y superficie lateral de una
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pirámide, triángulo lateral, altura, área lateral, área basal, pirámide regular, centro de
una pirámide, eje de la pirámide, pirámide regular recta, pirámide triangular,
cuadrangular, pentagonal, pirámide n-agonal, sección transversal de una pirámide y
teoremas relacionados. Definiciones: pirámide truncada, área basal y lateral de una
pirámide truncada y teoremas relacionados. Definiciones: superficie cilíndrica, superficie
cilíndrica cerrada, generatriz, sección transversal de una superficie cilíndrica cerrada,
superficie cilíndrica circular, cilindro, bases del cilindro, altura, cilindro circular recto,
teoremas relacionados. Definiciones: superficie cónica, sección transversal de una
superficie cónica, cono, cono circular y cono circular recto.
Función volumen
Definición de volumen, postulados de la función volumen, principio de Cavallieri y
teoremas relacionados con volúmenes de sólidos. Definiciones: esfera, radio de una
esfera, punto extremo exterior, cuerda de una esfera, diámetro de una esfera, interior y
exterior de una esfera, esferas concéntricas, plano tangente a una esfera, punto de
tangencia y teoremas relacionados.
Bibliografía
Clemens, S.; O’Daffer, P. & Cooney, T. (1997). Geometría con aplicaciones y solución
de problemas. México. Addison – Wesley Iberoamericana.
Eves, H. (1969). Estudio de las geometrías. México. UTEHA.
Hemmerling, E. (1990). Geometría Elemental. México. Editorial Limusa.
Moise, E. (1986). Geometría elemental desde un punto de vista avanzado. México.
Editorial Continental.
Moise, E. & Floyd, D. (1986). Geometría Moderna. México. Editorial Iberoamericana.
O’Daffer, P. & Clemens, S. (1992). Geometry: A investigative Approach. Menio Park,
C.A. Addison Wesley Piblishing Co.
Rich, B (1991). Geometría. México. Mc Graw – Hill.
Tsijli, T. (1999). Geometría Euclídea I. Editorial Universidad Estatal a Distancia.
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Plan de estudios
Varilly, J. (1988). Elementos de Geometría Plana. Editorial de la Universidad de Costa
Rica.
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