PDF (Tesis) - Repositorio Institucional Centro Atómico Bariloche e

TRABAJO ESPECIAL CARRERA DE INGENIERIA NUCLEAR Estudio numérico de la transición a la turbulencia en flujos paralelos, por el método de elementos finitos Gabriel Sebastián Campo Director Dr. Fernando Guillermo Basombrı́o Co-Director Dr. Enzo Alberto Dari Instituto Balseiro Comisión Nacional de Energı́a Atómica Universidad Nacional de Cuyo Junio 2005 A mi gente, a la que está y a la que ya no... V Resumen En el presente trabajo se estudia numéricamente la transición subcrı́tica que experimentan los flujos paralelos al pasar del regimen laminar, estacionario, al estado de turbulencia plena. En particular, el estudio está orientado al flujo Couette plano desarrollado entre dos placas planas con velocidad relativa entre sı́ y, especialmente, al flujo de Hagen-Poiseuille dentro de un tubo. Ambos están caracterizados por una dinámica semejante descripta por la teorı́a de los sistemas dinámicos, que es uno de los marcos conceptuales del trabajo junto con la mecánica de fluidos. La técnica numérica utilizada consiste en el método de elementos finitos con igual interpolación para velocidad y presión, estabilizado en forma consistente. Este estudio abarca el modelado de la transición subcrı́tica, pero está especialmente enfocado a observar y documentar las dificultades numéricas que presenta el cálculo de órbitas turbulentas, dada su condición de caoticidad, caracterizada por exponentes de Lyapunov negativos y positivos. Esta dificultad trae aparejada la inviabilidad de obtener cálculos puntuales de velocidad en forma confiable en flujos turbulentos. En consecuencia, sólo se puede realizar un estudio parcial de la dinámica del sistema, observando los aspectos no-normales y no-lineales caracterı́sticos del mismo, la formación de los denominados “streaks” y la desestabilización de los mismos, que llevan al sistema a un estado turbulento, el cual sólo puede ser abordado en forma cualitativa. Es importante notar el hecho de que los trabajos sobre modelado numérico de flujos turbulentos, en general no se interesan por valores puntuales de velocidad, sino por magnitudes estadı́sticas, que comparan razonablemente bien con valores experimentales. Sin embargo, esta concordancia es de hecho, y no cuenta con un sustento teórico adecuado que permita afirmar que cálculos con errores lleven a resultados estadı́sticos provenientes del problema fı́sico que se desea modelar. VII Abstract This work is concerned with the numerical study of the subcritical transition to turbulence in shear flows. In particular, it considers plane Couette flow between paralell moving walls and Hagen-Poiseuille pipe flow, which are both expected to experiment similar dymamics. The conceptual framework of this study is based on the fluid dynamics and dynamical systems theories. The stabilized finite element numerical technique has been used, with equal order in velocity and pressure interpolation. This study deals with the analysis of the subcritical transition with a focus on numerical difficulties that arise in computations of chaotic-turbulent orbits and the no-feasability of trustable results. These difficulties only allow us to carry out a partial study of the dynamics of the system, observing its main issues. Non-normality and non-linearity features are observed, followed by the formation of “streaks” and their breakdown, driving the system to a turbulent state which leads to a qualitative study of this last stage. An important issue must be addressed, concerning the fact that in computational fluid dynamics of turbulent flows, no attention is paid to the velocity in a particular point of the domain, and only statistical mean values are taken into account which agree with experimental data. However, there are no sound theoretical results that bear the fact that solutions with numerical errors lead to acceptable statisticals results interpreting the physics of the problem to be modelled. Índice general 1. Introducción 1.1. La experiencia de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Dispositivo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Modelo del sistema en estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. La transición desde el punto de vista de la teorı́a de los sistemas dinámicos 1.3.1. Conceptos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Un sistema dinámico simple: La ecuación de Landau . . . . . . . 1.3.3. Escenario global en donde se desarrolla la transición del flujo Hagen-Poiseuille y Couette plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. El estado turbulento pensado como una estructura dentro del espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. El método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Motivaciones y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Motivación general para el estudio de los mecanismos de transición en distintos flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Motivación del presente trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 6 9 9 10 13 16 18 19 19 19 20 2. Caos transitorio y su computabilidad 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Modelo reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Herramientas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Errores numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Precisión de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Sensibilidad de la vida media a perturbaciones en la condición inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 22 23 23 24 24 24 3. Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Trabajo de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Aspectos del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 IX 26 32 ÍNDICE GENERAL X 3.3.1. Algunas definiciones 3.3.2. Mallas . . . . . . . . 3.3.3. Condición inicial . . 3.4. Resultados . . . . . . . . . . 3.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 35 36 37 48 4. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Aspectos del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Algunos conceptos y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Condición inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Parámetros numéricos y convergencia de los resultados . . . . . 4.3.2. Comparación de la performance del código de elementos finitos con la de uno espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Aspectos de la dinámica del sistema ante perturbaciones (2D+3D) 4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 49 49 50 51 52 52 5. Conclusiones generales 75 A. Detalles del modelo utilizado en el capı́tulo 2 A.1. Vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Ecuaciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 79 B. Aspectos organizativos y económicos del trabajo especial B.1. Planificación del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Aspectos económicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 85 86 65 66 74 Bibliografı́a 87 Índice de Figuras 91 Índice de Tablas 97 Agradecimientos 99 Capı́tulo 1 Introducción En muchos flujos la transición a la turbulencia se desarrolla vı́a una secuencia de bifurcaciones supercrı́ticas hacia estados de mayor complejidad, tanto espacial como temporal. En particular, en algunos flujos como, por ejemplo, el desarrollado entre dos placas planas y calentado por debajo (flujo convectivo de Rayleigh-Bénard), o el flujo entre dos cilindros que rotan en forma relativa, el estudio analı́tico y experimental de ellos ha llevado a la identificación y verificación de varias rutas a la turbulencia, que tı́picamente involucran una transición desde un flujo laminar estacionario a otro modulado espacialmente y luego hacia estados más complicados. Un ejemplo de ello, es la ruta clásica de Ruelle-Takens que siguen los flujos mencionados anteriormente [1][2]. Sin embargo, los llamados flujos paralelos no parecen seguir el proceso descripto. En ellos la transición se da, en general, en forma repentina, sin pasar por estadı́os intermedios de incremento gradual de complejidad. Más aún, flujos como los de HagenPoiseuille dentro de un tubo o Couette plano entre dos placas planas paralelas con velocidad relativa entre sı́, tienen la particularidad de ser linealmente estables para todo valor del número de Reynolds, por lo que no se espera una sucesión de bifurcaciones a partir de la desestabilización del estado laminar base. Sin embargo, los experimentos y la vida diaria muestran claramente que estos flujos presentan estados turbulentos. Para ubicar en forma resumida los alcances del trabajo, diremos que se aborda el estudio de estos flujos, en particular el de Hagen-Poiseuille, en forma numérica, explorando los mecanismos que generan la transición. Paralelamente, se analiza la confiabilidad de los cálculos DNS (Direct Numerical Simulation), en particular para la computabilidad de órbitas turbulentas. Este capı́tulo introductorio tiene como fin establecer los elementos principales que hacen al entendimiento del presente trabajo. En primer término, se describe la experiencia de Reynolds como una introducción histórica al problema del estudio de la transición a la turbulencia que experimenta el flujo de Hagen-Poiseuille dentro de un tubo, ya que Reynolds, en 1883, publicó sus experimentos sobre dicha transición, dando el puntapié inicial para su investigación. Luego se presenta el modelado fı́sico del problema, basado en la mecánica de fluidos, estableciendo el problema matemático que se debe resolver. Posteriormente, se presenta la teorı́a de los sistemas dinámicos como el marco conceptual en el cual se enmarca el trabajo. Además, basados en trabajos previos, se describe Gabriel S. Campo 2 el escenario donde ocurrirı́a la transición. Prosiguiendo, se hace una presentación e introducción de la herramienta de cálculo. Luego se expresan las motivaciones generales que llevan a estudiar la transición en distintos flujos y, en particular, las motivaciones del presente trabajo, lo que lleva al planteo de los objetivos del mismo. 1.1. La experiencia de Reynolds Osborne Reynolds nació en Belfast, Irlanda, el 23 de agosto de 1842 en el seno de una familia perteneciente al clero y con antecedentes dentro del ámbito académico, ya que tres generaciones de Reynolds fueron rectores de Debach-with-Boulge, incluido su padre, un sacerdote de la iglesia anglicana y matemático graduado en Cambridge en 1837. Figura 1.1: Osborne Reynolds (1842-1912). Luego de recibir su educación secundaria, Reynolds entró en 1861 de aprendiz en una firma de ingenierı́a en la que permaneció por un año, ya que en 1862, y por una fuerte tendencia hacia la ingenierı́a y las matemáticas reflejada en sus propias palabras: “my attention (was) drawn to various mechanical phenomena, for the explanation of which I discovered that a knowledge of mathematics was essential.” ingresó a Cambridge para estudiar matemática, donde se recibió en 1867. Un año después de recibirse, Reynolds se presentó para ocupar el cargo recién creado de profesor de ingenierı́a en el Owens College, que posteriormente se convertirı́a en la universidad de Manchester. En ese ámbito es donde se desarrolló profesionalmente. Sus trabajos iniciales fueron en el área de la fı́sica básica, ya que al principio la institución no contaba con instalaciones experimentales, y en temas de electromagnetismo y teorı́a cinética de los gases. Luego, a partir de 1873, se concentró en temas de hidraúlica e hidrodinámica, donde sus contribuciones han sido extremadamante importantes para lograr el avance en dichas áreas e inclusive, alguna de ellas, como su teorı́a de lubricación, son usadas ampliamente hoy en dı́a. Introducción 3 Uno de sus trabajos más importantes y recordados es uno publicado en 1883 [3]: ‘An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous and of the law of resistance in parallel channels’. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Es un muy lindo trabajo en el que describe su famoso experimento con el cual estudia, por primera vez en la historia, la transición a la turbulencia, “sinuous flow” denominaba Reynolds a este régimen, que experimenta el flujo dentro de un tubo de sección circular, dando los aspectos más relevantes de esta transición. A continuación se describe su experiencia. 1.1.1. Dispositivo experimental El dispositivo experimental utilizado originalmente por Reynolds se muestra en la figura 1.2. En él se puede observar un tubo de vidrio largo, transparente para facilitar la visualización del flujo a través de la inyección de colorante por su extremo izquierdo. En este mismo extremo tenı́a una embocadura suave en forma de trompeta, hecha de madera, para evitar perturbaciones al entrar el fluido, que era agua. El otro extremo estaba unido a un caño de hierro por el cual se realizaba la descarga, controlando finamente el caudal con el gran brazo de palanca de la válvula ubicada en su terminación. El tubo de vidrio se encontraba dentro en un gran tanque de vidrio para facilitar la inyección de colorante, y para tener una gran masa de agua que evite variaciones de temperatura durante el experimento. La medición de caudal se realizaba indirectamente midiendo el nivel de la superficie. Además se tomaban mediciones de temperatura en varios puntos del tanque. Todo el conjunto se encontraba a aproximadamente 2 m del suelo y a 1.20 m se hallaba una plataforma para los observadores. Figura 1.2: Bosquejo del dispositivo experimental utilizado por Reynolds para el estudio de la transición laminar-turbulenta del flujo dentro de un tubo de sección circular (Del trabajo original de Reynolds [3], Fig. 13). Gabriel S. Campo 4 1.1.2. Resultados Lo que observó Reynolds se sintetiza en las siguientes lı́neas, desprendidas de su propio trabajo: Cuando la velocidad era suficientemente baja, el colorante se extendı́a en una lı́nea recta a lo largo del tubo (Fig.1.3 a). Si la velocidad era incrementada gradualmente, se llegaba a una situación en la que en algún punto del tubo, lejos de la entrada, el colorante se mezclaba con el agua de su alrededor, ocupando de ahı́ en más todo el tubo (Fig.1.3 b). Luego, un incremento en la velocidad generaba que el punto de mezcla o ruptura se acercara a la entrada, pero con ningún valor de velocidad se conseguı́a llegar a ella. Observando el flujo con una lámpara estroboscópica, se puede notar el patrón de flujo en la zona de mezcla en forma de vórtices (Fig.1.3 c). Si se mantenı́a una temperatura constante, la velocidad crı́tica a la cual aparecı́an los vórtices era proporcional a la inversa del radio del tubo. En un tubo dado, la velocidad crı́tica disminuı́a al aumentar la temperatura, y lo hacı́a según lo hallado en el experimento de Poiseuille años anteriores: Tomando "!"#%$ . T la temperatura en grados Celsius, La ley que regı́a el comportamiento de la velocidad crı́tica era: / ' 1023 , valor hallado experimentalmente. &(' +) $ *-., , con Figura 1.3: Bosquejos originales del trabajo de Reynolds ([3], Fig. 3, 4 y 5) en los cuales muestra los patrones de flujo que observaba al cambiar la velocidad u otros parámetros. Introducción 5 / El valor de ' es proporcional a lo que hoy se conoce como el número de Reynolds. Obteniendo el coeficiente de proporcionalidad, el valor hallado por Reynolds del número que hoy en dı́a lleva su nombre para el cual ocurrı́a la transición, fue de 11301. Sin embargo, él intuyó que el valor de la velocidad crı́tica asociada a ese Reynolds era muy alta. Además notó que los resultados eran muy susceptibles a perturbaciones, lo que se desprende de sus propias palabras: “...; and it was only by the greatest care as the uniformity of the temperature of the tank and the stillness of the water that consistent results were obtained. This showed that the steady motion was unstable for large disturbances long before the critical velocity was reached...” (Pag. 943) También notó que el flujo era inestable ante perturbaciones finitas de cierta magnitud y estable para otras menores, y describió además el fenómeno de intermitencia precediendo a la turbulencia. Este comportamiento era más marcado en los tubos de menor diámetro y se manifestaba apareciendo turbulencia en un cierto punto del tubo, en forma local, que se extiguı́a un tiempo después, volviendo a reaparecer; esto podı́a suceder en varios puntos según retrató Reynolds en su trabajo (Fig.1.4). Figura 1.4: Bosquejo del trabajo original de Reynolds ([3], Fig. 16) en el cual muestra el carácter intermitente del flujo precediendo a la turbulencia. Este comportamiento era más marcado en tubos de menor diámetro. Posteriormente, Reynolds obtuvo otro valor del parámetro crı́tico del orden de 2000, bajo condiciones menos controladas. Este valor fue obtenido partiendo de una condición turbulenta, disminuyendo la velocidad. De la experiencia de Reynolds se pueden extraer las primeras caracterı́sticas del flujo cuya transición se intenta describir. Ellas son: El sistema presenta una dinámica gobernada por un parámetro adimensional, el número de Reynolds. Existe un valor del número de Reynolds, denominado crı́tico, a partir del cual el flujo de Hagen-Poiseuille se desestabiliza, pasando a un régimen turbulento. El número de Reynolds crı́tico hallado experimentalmente es sensible a perturbaciones. Luego la transición depende del nivel de ellas. Gabriel S. Campo 6 1.2. Modelo del sistema en estudio El sistema en estudio es un fluido incompresible y homogéneo dentro de un tubo de sección circular de radio y longitud infinita, simulando esta caracterı́stica a través de condiciones de contorno periódicas impuestas sobre las tapas de un cilindro de longitud L (Fig.1.5). Y r Z=L R geff X Vista superior L R Z Z=0 X Vista lateral Figura 1.5: Esquema del dominio de cálculo. Las ecuaciones que modelan el sistema son las ecuaciones de continuidad (1.2.1) y la de Navier-Stokes incompresible (1.2.2): (1.2.1) (1.2.2) donde y son los campos de velocidad y presión respectivamente, la viscosidad cinemática y la fuerza externa por unidad de masa. Los campos mencionados dependen tanto del espacio como del tiempo, utilizando como coordenadas espaciales ! . Estas ecuaciones tienen asociadas condiciones de borcoordenadas cilı́ndricas: de que son velocidad nula en las paredes del cilindro y de periodicidad en sus tapas. Introducción 7 Para asegurar la unicidad de la solución, dado que la presión está definida a menos de una constante, ya que en (1.2.2) aparece su gradiente, se fija esa constante como cero, imponiendo ese valor en algún punto del dominio. Además se deben dar los valores iniciales de los campos. Matemáticamente, todas estas condiciones quedan expresadas por: ! !(1 ! 1 ! ! "! 1 ! ! ! (1.2.3) donde los subı́ndices “0” indican un valor fijo dado. Resulta interesante adimensionalizar la ecuación de Navier-Stokes incompresible (1.2.2), ya que al hacerlo aparece como único número adimensional el número de Reynolds, que es, según se desprende de la experiencia de Reynolds, el parámetro que gobierna la dinámica del sistema. Para realizar la adimensionalización, se toma una velocidad de referencia & y una longitud caracterı́stica . Luego en base a estas magnitudes, las cantidades dimensionales pueden ser definidas en función de las adimensionales, indicadas con supraı́ndice “*”, como: & (1.2.4) Introduciendo estas magnitudes en (1.2.2) se obtiene la ecuación de evolución adimensionalizada: (1.2.5) en donde aparece el número de Reynolds como único número adimensional, desprendiéndose además las siguientes definiciones: & & & & (1.2.6) Una observación es que el número de Reynolds puede ser visto, en general, como ) y el término viscoso ( & un cociente entre el término de inercia ( & ) de (1.2.2). Sin embargo, al buscar una solución laminar-estacionaria para el flujo en estudio, se observa que el término inercial es nulo debido a la geometrı́a en donde se desarrolla, lo que lleva a que la forma de la solución sea independiente del número de Reynolds. Esto es lo que caracteriza a los flujos paralelos o shear flows como el flujo de Hagen-Poiseuille o Couette plano. Volviendo a la descripción del modelo de nuestro sistema, el gradiente de presión, que es el equivalente a una fuerza impulsora volumétrica (o másica, al dividir por la densidad) es nulo, y se introduce en su reemplazo una fuerza por unidad de masa ( ) que tiene unidades de aceleración, y que es la aceleración gravitatoria ( ), cuya dirección es paralela al eje axial del tubo, coincidente con el eje (Fig.1.5). Matemática y Gabriel S. Campo 8 fı́sicamente, la condición de imponer esta aceleración constante y uniforme es equivalente a imponer un gradiente de presión constante. La intensidad de la aceleración gravitatoria, dada por , es tal que la solución estacionaria de Hagen-Poiseuille tenga el número de Reynolds deseado. El número de Reynolds para este caso queda expresado por (1.2.6) con & la velocidad máxima ( ) y el radio ( ). Para obtener el valor de se debe obtener el campo de velocidades del flujo de Hagen-Poiseuille, luego la velocidad máxima, reemplazarla en la expresión del número de Reynolds y finalmente despejar . Para obtener el campo de velocidades estacionario correspondiente al flujo HagenPoiseuille se reescriben las ecuaciones (1.2.1) y (1.2.2) en coordenadas ([4], ! ! ! cilı́ndricas ! , (1.2.1) Apéndice D). En particular, si se reescribe: ! ! ! (1.2.7) Si el campo no depende de ni de , considerando simetrı́a azimutal y flujo totalmente ! ! ! ! desarrollado, entonces y (1.2.7) se transforma en: ! lo que implica que es una constante, e imponiendo como condición de borde ! velo ! . cidad nula sobre las paredes laterales, que sea nula. Entonces Si ahora se toma la ecuación de momento en la dirección azimutal: ! (1.2.8) y se la reescribe convenientemente, se obtiene: ! ! 1 (1.2.9) que es un caso particular de la ecuación de Euler cuya solución es: (1.2.10) Imponiendo sobre esta solución la condición de finitud y nulidad sobre el borde del dominio, se deduce que debe ser nula. ! ! Finalmente se tiene que se obtiene integrando dos veces la ecuación y de momento en la dirección de : con las condiciones de borde ! 1!( ! (1.2.11) Introducción obteniendo ası́ 9 0 ! y la velocidad máxima, en módulo, buscada: 0 (1.2.12) (1.2.13) Reemplazando (1.2.13) en la expresión del número de Reynolds para este flujo y despejando se obtiene: 0 (1.2.14) Durante el trabajo se adoptó el sistema M.K.S. de unidades y las siguientes propiedades y dimensiones, salvo aclaración: * * * * * 2 # 2 # 1.3. La transición desde el punto de vista de la teorı́a de los sistemas dinámicos La teorı́a de los sistemas dinámicos es el marco conceptual dentro del cual pensaremos el comportamiento del sistema fı́sico en estudio: un fluido homogéneo e incompresible, en este caso agua, dentro de un tubo de radio y longitud infinita. Esta teorı́a establece conceptos y herramientas que permiten una sistematización del estudio de las ecuaciones diferenciales que generalmente modelan algún sistema fı́sico. A continuación se explican algunos conceptos relevantes que hacen al entendimiento del trabajo, haciendo referencia constante a ellos a lo largo del mismo. Es solo una introducción para aquel lector que nunca ha tomado ningún curso sobre sistemas dinámicos. Puede que sea no del todo precisa, por lo que puede omitirse en caso de ya contar con una noción de los conceptos que serán mencionados. 1.3.1. Conceptos relevantes En cuanto a los conceptos relevantes dentro de la teorı́a de los sistemas dinámicos, se debe de tener en claro lo que es el espacio de las fases, que es el espacio de todos los posibles estados del sistema, generado por el conjunto de variables que determinan totalmente el estado del mismo. Gabriel S. Campo 10 Las posibles evoluciones temporales del sistema, asociadas a distintas condiciones iniciales del mismo, están representadas por las órbitas (o trayectorias) dentro del espacio de las fases. Éstas no son más que curvas dentro del mismo, parametrizadas por el tiempo. Por determinismo, toda condición inicial dada tiene asociada una única órbita. Los puntos fijos son soluciones estacionarias del sistema, o sea, su órbita asociada no es más que un punto. Vinculado a las órbitas, y en particular a los puntos fijos, aparece el concepto de estabilidad. Un punto fijo se dice Lyapunov-estable, si para cualquier bola de radio , existe otra de radio , contenida en la anterior, tal que las órbitas asociadas a cualquier condición inicial dentro del último entorno, permanecen dentro del primero para todo tiempo. Si además, a tiempo infinito, la órbita tiende al punto fijo, a éste se lo denomina asintóticamente Lyapunov-estable. Un punto fijo inestable es aquel que no es Lyapunov-estable. El mismo concepto es aplicable a órbitas en general y a conjuntos invariantes, siendo éstos regiones dentro del espacio de las fases tales que para toda condición inicial dentro de ella, su órbita asociada se mantiene dentro del conjunto para todo tiempo, futuro o pasado. De los objetos inestables, es de particular interés el denominado saddle, que se caracteriza por tener en un entorno del mismo oŕbitas que confluyen a éste (variedad estable) y otras que se alejan del mismo (variedad inestable). Otro concepto importante está asociado con el hecho de que todo sistema fı́sico en general esta caracterizado por una serie de parámetros. Cambiando los valores de estos parámetros pueden crearse o destruirse soluciones o bien cambiarse las propiedades de estabilidad de las mismas. Cuando ello ocurre, se dice que el sistema ha experimentado una bifurcación. Las bifurcaciones son cambios estructurales del sistema dinámico, dependientes de uno o más parámetros. Por último, aparece el concepto de atractor. Un conjunto invariante A se denomina atractor, si existe algún entorno B que lo contiene tal que la órbita asociada a toda condición inicial dentro de B, permanece en este conjunto para todo tiempo futuro y tiende asintóticamente a A. La cuenca de atracción asociada a un atractor, es el conjunto de condiciones iniciales dentro del espacio de fases tales que tienen asociadas órbitas que tienden asintóticamente al atractor. Para profundizar en la teorı́a de los sistemas dinámicos ver [5][6] entre otros. 1.3.2. Un sistema dinámico simple: La ecuación de Landau Para presentar las ideas fundamentales que hay detrás de la transición en estudio, se presenta un modelo simple basado en una ecuación diferencial ordinaria y que es básicamente el introducido por Landau en 1944 como primer modelo de estabilidad hidrodinámica. Este modelo permite introducir globalmente el escenario donde ocurre la transición. Considérese la siguiente ecuación diferencial: (1.3.1) Introducción 11 ! donde con , el parámetro de control y la constante de Landau. De acuerdo al signo de esta constante se tienen dos escenarios muy distintos. Caso Primero se obtienen los puntos fijos del sistema igualando el miembro derecho de (1.3.1) a cero, resultando tres valores: & & $ 1 ! Para estudiar la estabilidad de esas soluciones, se coloca al sistema en el punto fijo cuya estabilidad se quiere estudiar y se lo perturba ligeramente en una cantidad . & en (1.3.1) y linealizándola, considerando Haciendo el cambio de variables apartamientos infinitesimales desde el punto fijo & , se obtiene la ecuación de evolución para : & ! De acuerdo al signo de & ! el punto fijo considerado será estable (signo negativo) o inestable (signo positivo). En particular, la solución nula ( & $ ) es estable para e inestable para . En cuanto a las soluciones & , éstas sólo estań definidas para y son estables. Con esta información es posible construir el diagrama de bifurcaciones del sistema para (Fig.1.6), donde se observa una bifurcación denominada supercrı́tica en . Para la solución asintótica sólo depende del signo de la condición inicial y no de su magnitud, y para la solución asintótica es la misma para toda condición inicial. 2 Cuenca de atracción de la solución nula . 1 Cuenca de atracción de la solución nula . Cuenca de atracción de la solución nula . Figura 1.6: Diagrama de bifurcaciones correspondiente a la ecuación de Landau (1.3.1) . Se muestran las soluciones estables (lı́nea continua) e inestables (lı́nea a para trazas) y los lı́mites de las cuencas de atracción (lı́nea punteada azul). Gabriel S. Campo 12 Caso Los puntos fijos del sistema son: & $ ! & resultando del análisis de estabilidad que & $ es estable para , inestabilizándose en . Por otro lado las soluciones & están definidas sólo para siendo las mismas inestables dentro de ese rango. El diagrama de bifurcaciones (Fig.1.7) muestra la llamada bifurcación subcrı́tica que se caracteriza por tener un umbral por debajo del cual la solución asintótica es nula, y por arriba del mismo la solución diverge. 2 Cuenca de atracción de . la solución nula 1 Figura 1.7: Diagrama de bifurcaciones correspondiente a la ecuación de Landau (1.3.1) . Se muestran la solución estable (lı́nea continua) e inestables (lı́nea a trazas) para y los lı́mites de la cuenca de atracción (lı́nea punteada azul). Introducción 13 1.3.3. Escenario global en donde se desarrolla la transición del flujo Hagen-Poiseuille y Couette plano Como se ha visto, la ecuación de Landau para presenta una bifurcación del tipo subcrı́tica, caracterizada por la existencia de un umbral que limita dos regiones cuyas soluciones son bien distintas entre sı́: una solución es la trivial y la otra diverge. Ahora bien, en sistemas más complejos puede darse la situación de que superado el umbral, en vez de que la solución diverja, el sistema tienda a otra solución estable, que sólo serı́a alcanzable mediante una perturbación finita (Fig.1.8), constituyendo un escenario denominado globalmente subcrı́tico. En la figura 1.8, hace referencia a una distancia entre soluciones, convenientemente definida, medida a partir de un estado base o de referencia, que corresponderı́a a la solución estacionaria de Hagen-Poiseuille o Couette. Esa distancia es habitualmente la energı́a ( ) de la perturbación aplicada sobre esa solución base. La denominación de escenario globalmente subcrı́tico se relaciona con el hecho de que para encontrar la solución distinta a la de base se debe investigar todo el espacio de fases, y no sólo un entorno de dicha solución. La solución distinta a la de base nace en general de una bifurcación del tipo saddle-node (de ahı́ la notación ' del gráfico) y convive con ella en su rango estable en un intervalo del parámetro de control : ' . es el valor del parámetro de control donde se inestabiliza la solución base ante perturbaciones infinitesimales de la misma, y puede ser obtenido del análisis lineal, resolviendo la ecuación de Orr-Sommerfeld ([7],[2] entre otros). a) b) D D Figura 1.8: Distintos escenarios denominados globalmente subcrı́ticos, llamados ası́ ya que en una región del parámetro de control coexiste con el estado base otra solución también estable. Estos dos estados estables son alcanzables el uno al otro a través de una perturbación finita. El escenario globalmente subcrı́tico presentado en la figura 1.8 es el más acorde a la hora de describir transiciones para las cuales existe una amplitud finita crı́tica o umbral que se debe superar para disparar la transición, como sucede en el flujo de Hagen-Poiseuille y también en el Couette plano, mostrando [8] y [9] las respectivas evidencias experimentales. Gabriel S. Campo 14 Otra caracterı́stica importante que comparten los flujos mencionados, es que son linealmente estables frente a perturbaciones infinitesimales para todo número de Reynolds. Esto fue demostrado analı́ticamente por Romanov en 1973 [10] para el flujo Couette plano y observado numéricamente por Salwens y otros [11] en 1980 para el flujo Hagen-Poiseuille. Esto lleva a que en la figura 1.8 esté en el infinito. Hay que hacer notar que a la hora de describir la transición a la turbulencia de estos flujos mediante este escenario globalmente subcrı́tico, la solución distinta a la de base que muestra la figura 1.8, alcanzable vı́a una perturbación finita, puede ser la turbulenta o bien podrı́a ser que ésta fuera una solución no caótica, por ejemplo periódica, y que luego vı́a sucesivas bifurcaciones se transforme en la turbulenta (Fig.1.9). D( ) Soluciones laminares y/o turbulentas Solución base Figura 1.9: Escenario acorde para describir la transición a la turbulencia de los flujos Hagen-Poiseuille y Couette plano. es una distancia dentro del espacio de funciones que mide apartamientos desde la solución base, y es generalmente la energı́a de la perturbación aplicada sobre esa solución. En esos flujos la solución laminar base es estable para todo número de Reynolds y otras soluciones, que en principio pueden no ser turbulentas, son alcanzables mediante perturbaciones finitas. Hay que notar del gráfico de la figura 1.9 que por debajo de ' cualquier perturbación, por grande que sea, se extinguirá, tendiendo la solución asintóticamente a la solución base. Se dice en este caso que la solución base es globalmente estable por debajo de ' y llamaremos a ' . Para determinar este valor del parámetro de control , se debe ası́ como también toda la riqueza de estructuras que existe entre y investigar todo el espacio de fases, y la única forma de hacerlo parcialmente hasta el presente, es en forma numérica o experimental. Un hecho importante para la existencia de este escenario es que, como muestran Henningson & Reddy en [12], el operador linealizado de Navier-Stokes ( ) debe ser no y por ende se tiene un escenario sunormal. De lo contario, se prueba que percrı́tico, como sucede por ejemplo en el flujo convectivo de Rayleigh-Bénard, donde la transición se da vı́a una sucesión de bifurcaciones de la solución base. Para definir normalidad de un operador se debe definir previamente un producto in- Introducción 15 terno, por ejemplo, el definido en [12]: ! (1.3.2) es todo el espacio fı́sico del sistema, y en base a éste definir el operador addonde , al operador se lo define como normal o simétrico, de lo junto ( ). Luego si contrario, no-normal. En particular, se ha probado que el operador lineal asociado al flujo de Hagen-Poiseuille y al Couette plano son no-normales. La no-normalidad de estos operadores puede ser entendida observando la ecuación de evolución de las perturbaciones: ! ! ! ! ! una perturbación sobre , con la soluci ón base y Sea & & ! ! ! una perturbación sobre la presión, todas estas variaésta, y sea ! y ! en (1.2.5) se obtiene la ecuación bles adimensionalizadas. Introduciendo para la perturbación : & & y su versión linealizada, & & (1.3.3) (1.3.4) A las dos ecuaciones anteriores debe sumarse la condición de incompresibilidad. En el primer término del segundo miembro de (1.3.4) se observa que las perturbaciones son transportadas por el flujo base laminar y por ende sus autofunciones tienen una preferencia a ubicarse en su dirección, por lo que no son mutuamente ortogonales y esto lleva al operador a ser no-normal. El segundo término representa la advección de la solución base con la perturbación, y es muy sensible al perfil de la primera a través de la matriz & . Esta matriz es generalmente asimétrica: tiene ceros en la diagonal, denotando simetrı́a de traslación en la dirección del flujo laminar base, y no-ceros fuera de ella, ya que el flujo base varı́a perpendicularmente a su dirección. Esta asimetrı́a se traslada al operador llevándolo a ser no-normal. La distorsión del flujo laminar, manifestada en este término, no con & puede tener en principio cualquier signo, de manera que serva la energı́a: puede perder energı́a o bien ganarla, extrayendo energı́a del flujo laminar base, dando lugar al denominado crecimiento algebraico [7] [13]. Sin embargo, pensando en el flujo Hagen-Poiseuille o Couette plano, debido a que son linealmente estables para todo Reynolds, el crecimiento que puede experimentar una perturbación por este mecanismo, asociado puramente al operador lineal, es sólo transitorio, ya que finalmente las perturbaciones decaen, por lo que cualquier intento de explicar la transición por este mecanismo lineal solamente falla, como bien señala Waleffe en [14] y Dauchot & Manneville en [15]. Luego, para disparar la turbulencia, se le debe sumar otro fenómeno al crecimiento algebraico que impida que las perturbaciones decaigan. Este fenómeno viene de la mano de la no-linealidad de la ecuación de evolución (1.3.3) y la forma en que estos dos mecanismos interactúan lo explica en forma muy didáctica Grossmann en [13]. Gabriel S. Campo 16 Ahora bien, el crecimiento algebraico en presencia de la no-linealidad no implica que la solución perturbada este impedida de regresar a la solución estacionaria de HagenPoiseuille o Couette plano, según el caso, ya que la interacción efectiva entre estos dos ). Entonces existe una región mecanismos se da recién para un cierto valor de ( , tal que la soluci por debajo , limitada inferiormente por ón experimenta un cre cimiento algebraico y luego decae. Por debajo de todas las perturbaciones decaen monótonamente (Fig.1.10). D ( ) Crecimiento algebraico Soluciones laminares y/o caóticas Solución base Figura 1.10: Esquema cualitativo del diagrama de bifurcaciones asociado al flujo dentro de un tubo de sección circular o entre dos placas planas con velocidad relativa entre sı́. Las soluciones base son los flujos de Hagen-Poiseuille y Couette plano respectivamente. En este esquema se reflejan las caracterı́sticas de estos flujos: estabilidad lineal para todo Reynolds ( ), existencia de crecimiento algebraico de las perturbaciones so ) y existencia de un crı́tico o global bre el flujo base en un cierto rango de ( ( ) por debajo del cual la única solución estable es la del flujo laminar base. 1.3.4. El estado turbulento pensado como una estructura dentro del espacio de fases Existen dos posturas a la hora de conceptualizar a la turbulencia dentro del marco de la teorı́a de los sistemas dinámicos. Ellas son: Atractor extraño (turbulento): Esta postura establece que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se crea un atractor turbulento, por lo que cualquier Introducción 17 condición inicial dentro de su cuenca de atracción condenará al sistema a un comportamiento caótico hasta la eternidad [16]. Turbulencia sustentada por ruido (NST, Noise Sustained Turbulence): Otra postura es pensar que no existe un atractor turbulento [17][18], sino que se tiene un objeto caótico e inestable, del tipo saddle, con su variedad estable e inestable asociada. Ahora bien, una condición inicial próxima a su variedad estable, generará un comportamiento caótico del sistema cuya vida media dependerá tanto de la cercanı́a de la condición inicial a la variedad estable como del número de Reynolds. Esa vida media es el tiempo que le lleva a la órbita en encontrar la salida, con la ayuda de la variedad inestable del saddle, para alejarse de este objeto hacia el estado de equilibrio estable del sistema, que serı́a el flujo laminar de Hagen-Poiseuille o Couette plano. El proceso descripto es lo que se conoce como caos transitorio. Si a tal proceso se le agrega un mecanismo, por ejemplo con ruido externo, que coloque continuamente al sistema en las cercanı́as de la variedad estable del saddle, se observarı́a turbulencia sostenida (Fig.1.11). Estructura Caótica Inestable Saddle Ruido Externo Caos transitorio Vida media Turbulencia = Sustentada por Ruido Función de la C.I. y Reynolds Figura 1.11: Esquema ilustrativo de la turbulencia sostenida por ruido externo (NST, Noise Sustained Turbulence). Sin embargo, estas dos posturas pueden unificarse haciendo la observación de que la segunda de ellas es en realidad un estadı́o en la evolución hacia la formación del atractor. A la hora de pensar como nace o muere un atractor caótico, surge una posibilidad propuesta por Grebogi, Ott & Yorke a principios de los 80’ llamada crisis [19]. Se define crisis a la colisión entre un atractor caótico y un punto fijo u órbita inestable. Se puede 18 Gabriel S. Campo pensar que para un cierto valor del parámetro de control del sistema ( ), el número de Reynolds en nuestro caso, coexiste un atractor caótico y un punto fijo inestable [20]. Al bajar hasta un valor denominado crı́tico, el punto fijo inestable se va desplazando hasta tocar la frontera de la cuenca de atracción del atractor, destruyéndolo por su propia definición y generando la llamada crisis. Una caracterı́stica importante de este proceso es que, luego de destruido el atractor, las órbitas cuyas condiciones iniciales estén próximas a la variedad estable del remanente del atractor, que es un saddle, presentan caos transitorio. Es decir, se observa un comportamiento caótico similar a como si estuviese presente el atractor pero con una vida media finita, cuya extensión depende de cuan cerca esté la condición inicial de la variedad estable del saddle y de cuan cerca esté el parámetro de control del valor crı́tico para el cual se destruyó el atractor. De la descripción hecha anteriormente, cae de maduro el hecho de que ambos conceptos son valederos y entonces, al observar turbulencia, la pregunta se traslada a si lo observado es un fenómeno transitorio, sustentado eventualmente por ruido, o si en verdad se ha formado el atractor. Sin embargo esta pregunta es casi filosófica y no es relevante, ya que para la verificación de su respuesta serı́an necesarios experimentos fı́sicos con tubos infinitos o experimentos numéricos con tiempo de cálculo infinito. 1.4. El método de elementos finitos En las secciones anteriores se han establecidos los marcos conceptuales en los que se establece el trabajo. Ellos son la mecánica de fluidos y la teorı́a de los sistemas dinámicos. En base a ellos se ha planteado el modelo a estudiar y el escenario en donde interpretar los resultados. Ahora falta establecer cómo se estudiará el modelo planteado. La herramienta elegida es numérica y es el método de elementos finitos, implementado en el código paralelizado nsfracimp desarrollado en la división de Mecánica Computacional (MECOM) del Centro Atómico Bariloche (CAB). Este código va a permitir realizar experimentos numéricos, los cuales serán cuidadosamente estudiados en cuanto a su validez, y permitirán elaborar o corroborar teorı́as acerca de la transición en estudio. El método de elementos finitos no es más que un método numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales. Conceptualmente consiste en aproximar la solución del problema, que en principio vive en un espacio funcional de dimensión infinita, por una que se encuentra inmersa en un espacio finito convenientemente elegido. En otras palabras, se busca la proyección de la solución real del problema en dicho espacio. Para llegar al esquema numérico, se debe plantear la formulación variacional del problema y discretizarlo, tanto temporal como espacialmente. La formulación elegida contempla el uso de iguales interpolantes para la presión como para cada una de las componentes del campo de velocidades. Esto trae como consecuencia la aparición de modos espúrios de presión, por lo que deben introducirse términos de estabilización en la formulación. La formulación elegida se detalla en [21]. Introducción 19 1.5. Motivaciones y objetivos 1.5.1. Motivación general para el estudio de los mecanismos de transición en distintos flujos Hay un considerable interés en resolver el problema del control de la turbulencia en el ámbito ingenieril. La motivación de ı́ndole práctica se basa en el hecho de que hay situaciones en las que es deseable el estado turbulento y otras en las que no. En aplicaciones en las que se requiera mezclado o remoción de calor en forma eficiente, como por ejemplo en reactores quı́micos o en la refrigeración de los elementos combustibles de un reactor nuclear, es deseable la presencia de turbulencia. En cambio, existen otras situaciones en las cuales la presencia de turbulencia resulta desventajosa para la eficiencia del sistema. Por ejemplo, en la estela detrás de un auto, en el flujo alrededor de un ala de avión o dentro de un tubo que transporta algún fluido, dado que se incrementan las pérdidas por fricción. Para resolver este problema se necesita aclarar dos puntos: Entender cómo influyen las perturbaciones externas en la generación de estructuras del flujo vinculadas a la transición. Diseñar estrategias para introducir modificaciones al flujo que refuercen o relajen la estabilidad del flujo. Luego el conocer los mecanismos de desestabilización es de fundamental importancia a la hora de controlar la turbulencia. El control de la turbulencia, y del caos en general, es un área en la cual se ha estado trabajando activamente [22], y es muy atractiva: Por ejemplo, se estima que si se mantuviera el flujo laminar alrededor de todo el ala de un avión de gran porte, se generarı́a un ahorro del 25 % de combustible. Para dar una idea de los trabajos que giran entorno al control de la transición, aparecen trabajos sobre el control de flujos convectivos [23], sobre el control del desprendimiento de la capa lı́mite en alas de aviones [24] y en el retardo de la aparición de la turbulencia en caños [25][26][27]. 1.5.2. Motivación del presente trabajo En primer término, no existe una comprensión cabal de todos los fenómenos hidrodinámicos que ocurren en la transición. No se conocen en detalle las estructuras que conviven en el espacio de las fases y que determinan toda la dinámica del sistema. Por otro lado, de la investigación bibliográfica, surgen muy pocos trabajos numéricos fuera de los métodos espectrales. En particular, aparece un trabajo utilizando diferencias finitas [28] y un solo trabajo referido al estudio de la transición de interés utilizando el método de elementos finitos [29]. Sin embargo, ese último trabajo no brinda demasiada información y genera cierta desconfianza. Además, no queda claro la aplicabilidad del método de elementos finitos a este tipo de problemas, y si éste compite en eficiencia con los métodos espectrales, sistemáticamente adoptados. Gabriel S. Campo 20 1.5.3. Objetivos En base a las motivaciones planteadas, se establece una serie de objetivos a desarrollar: Familiarizarse con el escenario global que determina la dinámica del sistema, esto mediante la consulta de la bibliografı́a existente sobre el tema. Este objetivo fue desarrollado en la introducción. Concientizarse, mediante un modelo sencillo, de los errores que entran en juego en el cálculo, en particular, en el cálculo de órbitas turbulentas. Es decir, hasta que punto los resultados obtenidos con la computadora representan fenómenos hidrodinámicos contenidos en la ecuación de Navier-Stokes. Esto se desarrolla en el segundo capı́tulo. Observar el comportamiento del método de elementos finitos para reproducir resultados de perturbaciones 2D sobre el flujo de Hagen-Poiseuille, comparando los resultados con trabajos de referencia. Observar también la robustez de los resultados ante cambios de parámetros numéricos como ser malla y paso temporal. Esto se desarrolla en el capı́tulo tercero. Observar el comportamiento del método de elementos finitos para reproducir la desestabilización al introducir perturbaciones 3D sobre el flujo de HagenPoiseuille, nuevamente comparando los resultados con trabajos de referencia. Ya obtenida una solución turbulenta, someterla a cambios de paso temporal, malla, pararámetros de estabilización, etc., para observar eventuales dificultades en el cálculo DNS de órbitas turbulentas. Los dos últimos puntos se desarrollan en el cuarto capı́tulo. Finalmente, en el capı́tulo quinto, se exponen las conclusiones finales del trabajo. Capı́tulo 2 Caos transitorio y su computabilidad 2.1. Introducción Este capı́tulo es un paso previo a estudios numéricos posteriores. Se pretende poner en relieve el cuidado que requiere el cálculo de órbitas que presentan caos transitorio, o sea, el cálculo de órbitas turbulentas. Este estudio se basa en un modelo simplificado de la ecuación de Navier-Stokes aplicado al flujo Couette plano, el cual es resuelto numéricamente haciendo hincapié en los errores numéricos que perturban fuertemente los cálculos, poniendo de manifiesto la delicadeza numérica con que éstos deben efectuarse. Esto aparece vinculado con la construcción de los mapas de vida media vs. número de Reynolds y amplitud de la perturbación, caracterı́sticos de las transiciones de doble umbral, como los son las que ocurren en el flujo Hagen-Poiseuille y Couette plano. En la figura 2.1 se muestran ejemplos de estos mapas obtenidos en forma numérica (a) y experimental (b). Estos mapas dicen mucho acerca de la transición. Expresan el hecho de que para un número de Reynolds fijo (eje de abcisas), existe un umbral de perturbación mı́nimo para disparar la transición, existiendo además un valor del Reynolds tal que, por debajo de él, la transición no se produce, cualquiera sea el nivel de la perturbación. Por otro lado, dada una amplitud de perturbación (eje de ordenadas), aparece un Reynolds mı́nimo necesario para que se dispare la transición. En particular, el mapa de la figura 2.1-a) es obtenido en forma numérica para el flujo Couette plano de la siguiente manera [30]: Dado un Reynolds y una amplitud de la perturbación, se hace evolucionar el sistema y se observa alguna magnitud caracterı́stica del mismo, por ejemplo, su energı́a total. Si ésta experimenta un comportamiento caótico durante todo el tiempo de simulación (T), se pinta el punto en el plano Reynolds-Amplitud de negro; si presenta dicho comportamiento durante un tiempo inferior al 10 % de ese tiempo, se pinta de blanco. A soluciones caóticas cuyo tiempo de vida se encuentre en se le asigna un color en la escala de grises correspondiente a la el rango interpolación lineal entre negro y blanco. Gabriel S. Campo 22 a) Amplitud Amplitud b) Reynolds Reynolds Figura 2.1: Mapas de vida media vs. número de Reynolds y amplitud de la perturbación, caracterı́sticos de las transiciones de doble umbral. En a) se muestra este mapa obtenido en forma numérica para el flujo Couette plano [30] y en b) un mapa obtenido experimentalmente para el flujo Hagen-Poiseuille [8]. Además de explorar como entran en juego los errores de cálculo en los resultados, éstos últimos detectaron errores en algunos trabajos relativamente recientes, que hacen referencia a la fractalidad, o aparente variación discontinua, de la vida media al mover los parámetros Reynolds y amplitud [31]. Ver figura 2.1-a) y subsección 2.3.2. 2.2. Modelo reducido Para familiarizarse con el caos transitorio, y en particular tomar conciencia del cuidado que requiere todo cálculo numérico, se trabajó con un modelo reducido aplicado al flujo Couette plano, propuesto por Bruno Eckhardt y Alois Mersmann en 1999 y que tiene la caracterı́stica de presentar caos transitorio [30]. El modelo consiste en una aproximación de Galerkin de la ecuación de Navier-Stokes. Se obtiene de expandir el campo de velocidades en sus modos de Fourier espaciales: ! ! (2.2.1) e introducir esta cantidad en la ecuación de conservación de masa y momento: ! ! ! ! ! (2.2.2) Caos transitorio y su computabilidad donde 23 y es la transformada de Fourier de la presión y la fuerza respectivamente. Eligiendo inteligentemente unos pocos modos de acuerdo a la geometrı́a del flujo, y con la intención de que aparezcan acoplamientos no lineales entre modos, se tiene una base, que luego de ser proyectada en otra, se obtiene en forma neta, explotando simetrı́as, un sistema de 19 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales para estos coeficientes de proyección ( ). Por más detalles ver [30]. En base a los , que se obtienen de resolver el sistema de E.D.O. no lineal1 , la energı́a por unidad de masa se calcula como: $ $ (2.2.3) Este es el observable que se tomó como referencia para estudiar la evolución del sistema. Como parámetros, se adoptó una velocidad de pared igual a la unidad, una distancia entre placas de y una viscosidad acorde al valor de Reynolds deseado y dada por: (2.2.4) 2.2.1. Condiciones iniciales Del análisis del sistema de ecuaciones diferenciales que constituye el sistema dinámico en estudio, se deduce la existencia de un punto de equilibrio: " " "" " " "" " " " " ! el cual es independiente del Reynolds y corresponde a la aproximación de la solución laminar. Como condición inicial se tomó: !( $ (2.2.5) con la amplitud de la perturbación y un vector al azar , de norma , o sea, se consideraron apartamientos del punto de equilibrio en la dirección en el espacio de fases y de longitud , con alguna norma conveniente. 2.2.2. Herramientas de cálculo Dado que se pretende realizar un estudio de la influencia de los errores en los resultados numéricos, se requiere un código que permita tener control de esos errores y que pueda operar con precisión numérica arbitraria, es decir, que tenga tantos dı́gitos a disposición como uno desee. Basados en los requerimientos expuestos, se trabajó con dos programas comerciales: el Mathematica 4.1 y el Mapple V. 1 Ver apéndice A Gabriel S. Campo 24 Dentro del primer entorno se utilizó el comando NDSolve para la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, el cual adopta en forma estándar una estrategia de resolución tipo LSODE (Livermore Stiff Ordinary Differential Equations), eligiendo entre un algoritmo tipo Adams para ecuaciones non-stiff y un método tipo Gear para ecuaciones stiff. Cuando se muestre alguna curva obtenida dentro de este entorno, se utilizará la notación A/P/W, donde A (AccuracyGoal) es el número de dı́gitos de la solución que garantiza el programa como válidos considerando el error absoluto, y P (PrecisionGoal) considerando el error relativo. W (WorkingPrecision) es el número de dı́gitos de cálculo, que están libres de error de redondeo. En el entorno de Mapple V se utilizó el comando dsolve y se eligió un algoritmo RungeKutta-Fehlberg 4-5. Al referirse a una curva calculada con este programa, se utilizará la # es el error absoluto, # el relativo y D son los dı́gitos notación A/R/D, donde de trabajo. Ambos programas fueron ejecutados en una máquina Pentium IV de 2.8 GHz y 2.0 Gb de memoria RAM. Es notoria la diferencia de tiempo de cálculo de ambos programas. Los cálculos más precisos que se efectuaron, tardaron del orden de 12 minutos en el Mathematica 4.1 y 2 dı́as y medio en el Mapple V. 2.2.3. Errores numéricos A la hora de resolver un problema en forma numérica, hay dos fuentes de errores a tener en cuenta. La primera de ellas es inherente al método numérico, que trata de aproximar la solución del sistema a resolver (error de discretización). La otra fuente de error, se debe al redondeo generado al trabajar con un número finito de dı́gitos. Para aislar ambos errores y tener control sobre ellos, se estableció una diferencia del orden de 10 dı́gitos entre el dı́gito sujeto a error de redondeo y el afectado por el error propio del método numérico, ubicándose este último a la izquierda del anterior. 2.3. Resultados 2.3.1. Precisión de cálculo Lo primero que se realizó fueron cálculos de la energı́a del sistema con una misma condición inicial y distintas precisiones de trabajo para un Reynolds de 400. Esto tiene por objetivo final conocer con qué precisión se debe trabajar en cada entorno para obtener cálculos de órbitas caóticas relativamente confiables dentro de cada uno de ellos. A partir de ahora, al hacer referencia a la precisión, se habla de la terna A/P/W o A/R/D, según corresponda, como fue explicitado anteriormente. #%$ , por lo que se espera, La condición inicial utilizada fue (2.2.5) con dado el Reynolds elegido, un comportamiento cáotico. Ver figura 2.1-a. La figura 2.2 muestra las curvas obtenidas con el Mathematica 4.1. Como descripción general, se observa que la energı́a experimenta caos transitorio, por lo que su valor medio baja debido a una mayor disipación, tomando luego el valor correspondiente a la solución estacionaria del flujo Couette plano, obtenido con mediante (2.2.3). Por otro lado, tomando la curva calculada con mayor precisión como referencia, las curvas Caos transitorio y su computabilidad 25 perturbadas, entendiéndose por ellas a aquellas con precisión más baja, acompañan a la anterior hasta un punto donde se separan bruscamente en lo que se denomina un diverting point [32]. Luego la precisión de trabajo para obtener resultados sólidos debe ser aquella en la que este punto esté más allá del tiempo de cálculo de interés. El gráfico superior de la figura muestra curvas obtenidas con precisión insuficiente, mientras que del inferior se desprende que en este entorno es necesaria una precisión de, por lo menos, 21/21/33 para obtener un cálculo confiable. Es decir, con una precisión de 21/21/33 los resultados son razonablemente comparables, lo que por lo menos permite afirmar que son relativamente confiables dentro del entorno de trabajo. 0.175 Energia 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 0 0 1000 2000 Tiempo 3000 4000 0.175 Energia 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Tiempo Figura 2.2: Evolución de la energı́a asociada a una órbita, calculada en el entorno Mathematica 4.1, con distintas precisiones de cálculo. La figura superior muestra cálculos con precisión 6/6/17 (roja), 12/12/22 (verde), 14/14/24 (azul), 16/16/30 (negra) y 18/18/30 (marrón), observando que estas precisiones son insuficientes. La figura inferior muestra resultados más confiables. En ellos se utilizó una precisión de 19/20/30 (roja), 20/20/32 (verde) y 21/21/33 (azul). Gabriel S. Campo 26 Energı́a Como posteriormente se quiere estudiar la sensibilidad de la vida media a perturbaciones en la condición inicial, y reforzar esos resultados haciendo los cálculos con ambos programas, se estudió la precisión necesaria en el Mapple V para obtener resultados confiables dentro de ese entorno. Para ello se calcularon curvas con distinta precisión y con la misma condición inicial a la de la figura 2.2 (Fig.2.3). Tiempo Figura 2.3: Evolución de la energı́a asociada a una órbita, calculada en el entorno Mapple V, con distintas precisiones de cálculo. La figura muestra cálculos con precisión 19/20/30 (roja derecha), 20/20/32 (azul), 21/21/33 (verde), 22/22/34 (roja izquierda) y 23/23/35 (negra), observando convergencia de los resultados sólo en las dos últimas. 2.3.2. Sensibilidad de la vida media a perturbaciones en la condición inicial Debido a las caracterı́sticas del flujo en estudio, dado un Reynolds y la condición inicial, se tiene un tiempo de vida media turbulenta asociado a la órbita en cuestión, como fue señalado en la introducción, obteniéndose mapas como los mostrados en la figura 2.1-a. La vida media es medida observando la componente normal a la pared. Si ésta cae por debajo de un cierto umbral, la perturbación decae como describe las Caos transitorio y su computabilidad 27 ecuaciones linealizadas [33]. Si la vida media es superior a un tiempo de observación apropiadamente largo, se puede decir que el sistema es turbulento bajo esas condiciones de Reynolds y perturbación, entendiéndose por ésta a la distancia, medida en alguna norma, de la condición inicial al punto de equilibrio estable del sistema, en este caso. Ahora cabe preguntarse cómo depende esa frontera o umbral a la turbulencia tanto con el Reynolds como con la amplitud de la perturbación. Es decir, dado un número de Reynolds fijo, cómo se comporta la vida media de la órbita turbulenta al cambiar la perturbación o, dada una perturbación fija, cómo cambia al mover el Reynolds. Según algunos trabajos recientes [33][30], en particular el que presenta el modelo aquı́ utilizado, dicha frontera es un conjunto fractal, es decir, no es diferenciable, presentando dependencia no continua con los parámetros involucrados: Reynolds y amplitud. Uno de sus argumentos se basa en la figura 2.4, donde se muestra el comportamiento de la vida media en función de la amplitud de la perturbación, observando, en principio, una dependencia no-continua con la misma y autosimilaridad de escalas. Si verdaderamente dicha curva es un conjunto fractal, se espera que por más bajo que sea el nivel de perturbación de una condición inicial que tenga asociada una órbita turbulenta, no exista dependencia suave de la vida media con la amplitud de la perturbación. Vida media Amplitud Figura 2.4: Vida media de la órbita caótica en función de la amplitud de la perturbación para Reynolds 200. Esta es la figura 7 de [30], similar a la 4 de [33]. En esta gráfico se apoyan los autores para anunciar el carácter fractal de la curva vida media vs. amplitud de la perturbación. Gabriel S. Campo 28 Motivado por la verificación de lo anterior, se calculó la evolución de órbitas levemente perturbadas con un Reynolds fijo de 400. Para ello se tom ó una órbita de referen $ $ . Las cia cuya condición inicial estaba dada por (2.2.5) con órbitas perturbadas $ #%$ , con respecto a la anterior, presentaban una condición inicial con $ 0 " en el Mathematica 4.1 y " solamente en el Mapple V, tomando debido a los enormes tiempos de cálculo empleados por este último. De esta forma se obtienen apartamientos en la condición de referencia en una cantidad dada por #%$ ), medida en unidades de ,inicial ( con alguna norma conveniente. En ambos entornos se trabajó con una precisión tal que los cálculos de vida media fueran confiables dentro de ellos, es decir, por la experiencia recogida de cálculos anteriores, 21/21/33 en el Mathematica 4.1 y 23/23/35 en el Mapple V . Los resultados de este estudio, en ambos entornos, se muestran en la figura 2.5 y 2.6 respectivamente. 0.175 Energia 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Tiempo 0.048 Energia 0.046 0.044 0.042 0.04 975 1000 1025 1050 Tiempo 1075 1100 Figura 2.5: Evolución de la energı́a para órbitas con condición inicial levemente perturbada con respecto a la órbita de referencia: órbita con condición inicial dada (2.2.5) $ (roja). Las 1 #%$ ), enpor con perturbaciones están equiespaciadas en ( unidades $ $ $ #%$ , con (verde), 0 de , y tienen un valor de A dado por (negra), (naranja) y (violeta). Los cálculos fueron realiza(azul), dos en el entorno Mathematica 4.1 con una precisión de 21/21/33. El gráfico inferior muestra una ampliación de la zona de separación violenta de órbitas, observando una convergencia monótona al disminuir la amplitud de la perturbación. Caos transitorio y su computabilidad Energı́a 29 Energı́a Tiempo Tiempo Figura 2.6: Evolución de la energı́a para órbitas con condición inicial levemente perturbada con $respecto a la órbita de referencia: órbita con condición inicial dada por (2.2.5) $ 1 1 #%$ , con (roja). Las perturbaciones tienen un valor de A dado por $ $ (negra) y (azul). Esto corresponde a apartamientos de la condición inicon #%$ ) y ( #%$ ) respectivamente, en unidades de . cial en una cantidad de ( Los cálculos fueron realizados en el entorno Mapple V con una precisión de 23/23/35. El gráfico inferior muestra una ampliación de la zona de separación violenta de órbitas, observando una convergencia monótona al disminuir la amplitud de la perturbación. Gabriel S. Campo 30 En las figuras anteriores (Fig.2.5 y 2.6 ) se observa que las órbitas perturbadas acompañan a la de referencia hasta un punto donde se separan bruscamente. Luego la vida media asociada a cada órbita es muy dispar. Sin embargo, el carácter de fractalidad queda descartado dado que se observa convergencia monótona hacia la órbita de re $ $ (roja), al disminuir la perturbación sobre ella, hecho totalmente ferencia con incompatible con el comportamiento fractal [31] y, en particular, con la figura 2.4 tomada de [30]. Por otro lado, ambos entornos dan resultados similares reforzando la anterior afirmación. Las figuras 2.7 y 2.8 reafirman los resultados anteriores. La primera de ellas muestra algunas de las curvas de la figura 2.5 pero obtenidas con una mayor precisión: 24/24/36, obteniéndose la misma conclusión; nótese que estas curvas coinciden con las calculadas con el Mapple V (Fig.2.6). 0.175 Energia 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Tiempo 0.048 Energia 0.046 0.044 0.042 0.04 975 1000 1025 1050 Tiempo 1075 1100 Figura 2.7: Evolución de la energı́a para órbitas con condición inicial levemente perturbada con $respecto a la órbita de referencia: órbita con condición inicial dada por (2.2.5) $ 1 #%$ , con (roja). Las perturbaciones tienen un valor de A dado por $ $ (negra) y (violeta). Esto corresponde a apartamientos de la condicon #%$ ) y ( #%$ ) respectivamente, en unidades ción inicial en una cantidad de ( de . Los cálculos fueron realizados en el entorno Mathematica 4.1 con una precisión de 24/24/36, mayor que la figura 2.5. El gráfico inferior muestra una ampliación de la zona de separación violenta de órbitas, observando nuevamente una convergencia monótona al disminuir la amplitud de la perturbación. Caos transitorio y su computabilidad 31 La figura 2.8 muestra una perturbación de la órbita de referencia dos órdenes me #%$ , observando que acompaña a ella por un tiempo mayor, del nor, dada por orden de 1300. Luego es de esperar una convergencia hacia la órbita de referencia al disminuir aún más la perturbación, ilustrando la imposibilidad de un comportamiento fractal. 0.175 Energia 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Tiempo 0.048 Energia 0.046 0.044 0.042 0.04 975 1000 1025 1050 Tiempo 1075 1100 Figura 2.8: Evolución de la energı́a para órbitas con condición inicial levemente perturbada con respecto a la órbita de referencia: órbita con condición inicial dada por $ $ (roja). En este caso las perturbaciones tienen un valor de A dado por (2.2.5)$ con 1 $ #%$ (azul) y 1 $ $ #%$ (verde). Esta última corresponde a un apartamiento de la condición inicial de referencia más fino que los mostrados en la figura 2.5. Los cálculos fueron realizados en el entorno Mathematica 4.1 con una precisión de 21/21/33. El gráfico inferior muestra una ampliación de la zona de separación violenta de la órbita con perturbación más fuerte con respecto a la de referencia, observándose que la órbita perturbada más levemente sigue a la misma, tapándola en el gráfico, y separándose de ella en un tiempo posterior del orden de 1300. Luego, es de esperar que una órbita con una perturbación suficientemente chica, más chica que la aquı́ mostrada, presente una vida media similar a la del la órbita de referencia, ilustrando la inexistencia de un comportamiento fractal. 32 Gabriel S. Campo 2.4. Conclusiones Las órbitas obtenidas como resultado del modelo de dimensión finita del flujo Couette plano, utilizado en este capı́tulo, presentan comportamiento de caos transitorio o spots turbulentos como muestran los experimentos [9]. Sin embargo, el cómputo de la vida media de las órbitas caóticas es muy delicado en cuanto a perturbaciones de ı́ndole numérica, provocadas por errores propios de los métodos numéricos, lo cual requiere de algoritmos de paso adaptativo que permitan controlar el error de cálculo. Estudiando el comportamiento de la vida media de la órbita para pequeñas perturbaciones de la condición inicial, se encuentra una gran sensibilidad ante estos cambios. Sin embargo, existe convergencia monótona con la amplitud de la condición inicial, hecho incompatible con el comportamiento fractal anunciado en los trabajos de Eckhardt [33][30]. En particular, en la figura 7 de [30] (Fig.2.4 del presente capı́tulo) y 4 de [33], # , varios órdenes de magnitud por los autores utilizan una perturbaci ón no menor a + % # $ arriba de la utilizada aquı́ ( ). Los gráficos mostrados en las mencionadas figuras, han sido obtenidos con una precisión de cálculo insuficiente, no mayor a 16 dı́gitos. Sin embargo, las figuras mostradas producto de los cálculos realizados, sólo ilustran el hecho de la inexistencia de fractalidad, pero estos cálculos en verdad no son necesarios, dado que existen teoremas matemáticos relacionados a sistemas diferenciales ordinarios de ecuaciones, aplicables al modelo utilizado, que conducen a la incompatibilidad entre la dependencia continua de los resultados con las condiciones iniciales y la fractalidad. Para más detalles recurrir a [31]. En sistemas con más grados de libertad, se espera que esta situación de extrema sensibilidad a errores de cálculo empeore. Sin embargo, en la literatura especializada, con frecuencia se consignan razonables coincidencias con observables estadı́sticos, tanto numéricos como experimentales. Pero esta coincidencia es de hecho, y no cuenta con una fundamentación adecuada. Como moraleja de este capı́tulo queda claro el hecho de que usar herramientas computacionales desprevenidamente, resulta peligroso a la hora de obtener resultados que deben ser confiables. La robustez requerida se logra empleando estrategias que permitan poner a prueba la confiabilidad de la solución, entendiéndose por ella a la repetibilidad de la solución ante cambios de parámetros del algoritmo, de malla y/o paso temporal, precisión de cálculo, etc. Capı́tulo 3 Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille 3.1. Introducción Debido a la periodicidad en la dirección axial y azimutal de la geometrı́a, se puede realizar un desarrollo en series de Fourier de las perturbaciones en esas direcciones, siendo k y n los números de onda respectivos. Las perturbaciones sobre el flujo de Hagen-Poiseuille analizadas en este capı́tulo, tienen la caracterı́stica de ser axialmente ), de ahı́ la denominación 2D, y son de gran interés ya que, en parinvariantes ( , experimentan un mayor crecimiento ticular las que presentan número azimutal algebraico con respecto a las 3D ( ) y a las de mayor orden azimutal [34]. Por otro lado, de la ecuación de evolución para la perturbación (1.3.3), se puede ver que este tipo de perturbaciones se mantienen independientes de la coordenada axial para todo tiempo. Este capı́tulo tiene por objetivo estudiar cómo responde el código de elementos finitos nsfracimp, desarrollado en la división Mecánica Computacional (MECOM) del Centro Atómico Bariloche (CAB) para la resolución de la ecuación de Navier-Stokes, al introducir perturbaciones 2D sobre el flujo de Hagen-Poiseuille. La forma precisa de la perturbación óptima, en cuanto a que logra la mayor amplificación, consiste en un par de vórtices alineados axialmente (streamwise vortices) con un 40 % de la energı́a en la componente radial y un 60 % en la azimutal [35]. Una aproximación de ella es la aquı́ utilizada, en coincidencia con los trabajos de Meseguer [36][37], y muy similar a la empleada por Zikanov en [38]. Esos trabajos se tomaron como referencia para contrastar los resultados obtenidos. Gabriel S. Campo 34 3.2. Trabajo de referencia Los trabajos de referencia utilizados para contrastar los resultados, fueron principalmente los de Meseguer del año 2001 y 2003 [36][37]. En ellos se resuelve la ecuación de evolución de la perturbación (1.3.3) utilizando una formulación espectral de PetrovGalerkin, descomponiendo la perturbación en series de Fourier en la variable azimutal y axial, y en polinomios de Chebyshev en la radial: !( donde ! # # # ! ! es una base solenoidal de la forma: !( ! (trial bases) . Esta descomposición es introducida en la ecuación (1.3.3) y luego ésta con ecuación es proyectada sobre otra base, también solenoidal (test bases). Para mayor información ver [39] [36]. 3.3. Aspectos del cálculo 3.3.1. Algunas definiciones A continuación se introducen dos definiciones que serán de uso frecuente de aquı́ en más, además de ser utilizadas en los trabajos de referencia. Ellas son la energı́a ón ( ). de la perturbación ( ) y el factor de amplificaci ! ) se la define A la energı́a de la perturbación ( relativa a la del flujo laminar de Hagen-Poiseuille ( , ) como [37]: !( $ $ , , , (3.3.1) donde ! es el dominio de cálculo. Notar que esta cantidad depende del tiempo a través de . ! ) como [37]: Se define el factor de amplificación ( ! !( 1! $ ! ! ! ! $ (3.3.2) Estas definiciones valen para el resto del trabajo, salvo aclaración. Sin embargo, el código nsfracimp no está escrito en las variables perturbadas, sino en las totales. Luego, para obtener cálculos que involucren a las pertubaciones, se les debe restar el campo base de Hagen-Poiseuille a las soluciones resultantes de correr el código. Ası́, las magnitudes antes definidas se calculan como: !( , $ $ ! ! , , , , (3.3.3) Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille !( ! 1! $ $ 35 ! ! ! ! 1! , ! 1! , ! , , (3.3.4) La energı́a es calculada dentro del código en cada paso temporal junto a otras magnitudes que se explicitarán en su momento. Para ello, dentro del archivo de condiciones iniciales, además del campo de velocidad a tiempo cero, se encuentra el campo de velocidades , el cual es resultado de una corrida previa con perturbación nula y Reynolds requerido. Ese campo se utiliza para hacer la resta y ası́ obtener el campo de velocidad de la perturbación. Por coherencia, se debe restar el campo de HagenPoiseuille discreto, y no su expresión analı́tica. 3.3.2. Mallas En todo el trabajo se utilizaron mallas de cuboides, generadas por la traslación axial de una malla 2D de cuadriláteros en forma de cı́rculo (Fig.3.1). Estas mallas presentaban condición de periodicidad, es decir, la numeración de los nodos de la capa inferior (z=0) coincidı́an con los de la capa superior (z=L). Y Z Y X X Traslacion axial Figura 3.1: Generación de la malla de cuboides utilizada mediante la traslación axial de una malla 2D de cuadriláteros en forma de disco. En particular, para el estudio de las perturbaciones 2D de interés en este capı́tulo, y debido a su independecia axial para todo tiempo, se adoptaron mallas de longitud 2.0 y pocas capas, del orden de 10, para acelerar el proceso de cálculo. De todas formas, se constató con corridas previas que la pobre discretización axial no afecta los resultados. Se utilizaron dos mallas, denominadas MA y MB (Fig.3.2). La primera tiene, por capa, 289/276 (nodos/elementos), y un total de 2601/2484. La segunda posee 529/512 (nodos/elementos) por capa y un total de 4761/4608. Gabriel S. Campo 36 MA MB Figura 3.2: Mallas utilizadas para el cálculo. A la izquierda, se muestra la malla MA con 289/276 (nodos/elementos) por capa y, a la derecha, la malla MB, más densa, con 529/512 (nodos/elementos) por capa. 3.3.3. Condición inicial Como condición inicial se utilizó el campo de velocidades del flujo de HagenPoiseuille, resultado de una corrida previa con el número de Reynolds deseado, al cual se le sumó una perturbación analı́tica dada por: . !( "! ! ! ! (3.3.5) con A un factor elegido tal que su energı́a ( ), dada por (3.3.1), tenga el valor deseado. Esta condición inicial es idéntica a la utilizada por Meseguer [36][37], . $$ según su notación, siendo el complejo conjugado. El aspecto de esta condición inicial es mostrado en la figura 3.3, observando dos vórtices antiparalelos alineados axialmente (streamwise vortices). Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille 37 Y X Figura 3.3: Aspecto de la perturbación introducida al flujo Hagen-Poiseuille. Son dos vórtices antiparalelos alineados axialmente (streamwise vortices). Es la misma perturbación 2D analizada por Meseguer en [36] [37]. 3.4. Resultados Se realizaron cálculos observando la evolución de la energı́a de la perturbación en el tiempo. Esta perturbación fue impuesta sobre el flujo base de Hagen-Poiseuille correspondiente a distintos valores del número de Reynolds, producto de corridas previas. Por otro lado, también se probó con distintos valores de la amplitud inicial de la perturbación ( ). En todos los gráficos que involucran el tiempo, a éste se lo ha adimensionalizado según (1.2.6), con la velocidad de referencia & , la máxima del flujo laminar base en , consideración, y la longitud , el radio. El paso temporal adoptado fue de adimensional, y se utilizó la malla MA, salvo aclaración. Como resultados de esos cálculos, la figura 3.4 muestra la evolución del factor de amplificación (G(t)), definido en (3.3.2), para distintos niveles de perturbación y para un número de Reynolds de 2945. Gabriel S. Campo 38 Figura 3.4: Evolución del factor de amplificación de la perturbación para distintos valores de su energı́a inicial ( ). Los cálculos fueron hechos con la malla MA, perturbando el flujo base de Hagen-Poiseuille con un número de Reynolds de 2945. Se utilizó un paso de tiempo (adimensional) de 0.1. En la figura 3.4 se pueden observar varios aspectos de la dinámica no-normal y nolineal de la transición: # ) presenta En primer término, se observa que la perturbación más chica ( una amplificación máxima de 573.86 a un tiempo de 138.8, mientras que el análisis lineal establece, para la perturbación óptima, un valor del orden de 620 a un tiempo de 147 aproximadamente [35]. El error es de un 7 %, debido a dos motivos: la condición inicial es una aproximación a la óptima y el número de Reynolds es levemente inferior a 3000. Por otro lado, globalmente, se ven dos comportamientos diferenciados notablemente en cuanto a su tiempo de desarrollo. En el primero, relativamente de poca duración, se observa un crecimiento de las perturbaciones al ritmo con el que lo hace la curva # ). Este crecimiento finaliza cuando asociada al comportamiento lineal ( empiezan a actuar mecanismos no-lineales. El otro estadı́o corresponde al de la extinción de la perturbación, relativamente largo con respecto al anterior. Otro aspecto a recalcar, es que el crecimiento algebraico relativo que experimentan las perturbaciones es más marcado cuanto más pequeñas son las amplitudes iniciales de ellas. Esto indica que la no-normalidad, responsable de ese crecimiento, es más acentuada para pequeñas perturbaciones, hecho que es de esperar, ya que la propiedad de Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille 39 no-normalidad esta asociada al operador de evolución linealizado. La reducción de efectividad del mecanismo de amplificación, al aumentar la energı́a de la perturbación durante su evolución, puede ser entendida desde el punto de vista de que entran en juego mecanismos no-lineales que modifican el flujo base. Volveremos a esto en un instante. Para observar la convergencia de los cálculos de la figura 3.4, se recalculó la curva con # con una malla más fina (MB) y un paso temporal menor, , observando consistencia de los resultados (Fig.3.5). Por otro lado, la figura 3.4 coincide razonablemente bien con la obtenida por Meseguer en [37] (Fig.3.6). Las diferencias se deben a que el Reynolds utilizado fue 2945, menor en un 1.8 % al de dicho trabajo, y se sabe que al bajar el Reynolds disminuye el crecimiento máximo ası́ como se retarda su aparición. Figura 3.5: Comparación del factor de amplificación de la perturbación con # de la figura 3.4, con el calculado sobre una malla más fina (MB) y un paso temporal de 0.05, mitad del anterior. 40 Gabriel S. Campo Figura 3.6: Comparación de los resultados mostrados en la figura 3.4 con los obtenidos por Meseguer en [37], Fig.1 (en negro). Meseguer utilizó un paso temporal de 0.1, 9 modos azimutales y 6 radiales. La modificación del flujo base al evolucionar la perturbación, hecho mencionado hace un instante, se puede observar en la figura 3.7 donde se grafica la energı́a de la perturbación asociada a cada componente, mostrando que toda la energı́a de la perturbación, inicialmente contenida en el plano X-Y, se dirige hacia la componente axial del flujo. Mientras tanto, los vórtices impuestos como condición inicial se extinguen. Esto es de esperar, ya que se puede ver que estructuras axialmente independientes finalmente terminan decayendo [38][40]. Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille 41 Energía de la perturbación 0.1 0.01 1E-3 1E-4 Ex Ey Ez 1E-5 0 50 100 150 200 Tiempo [adimensional] Figura 3.7: Evolución de la energı́a de la perturbación por componente. Se observa que la amplificación sólo se manifiesta en la componente axial, donde la energı́a inicial es nula, mientras que las otras componentes decaen monótonamente, extinguiéndose los vórtices impuestos como condición inicial. La figura 3.8 muestra como cambia la componente axial de la velocidad al introducir al flujo base, con número de Reynolds 2945, una perturbación de energı́a inicial # . A tiempo inicial se observa un perfil correspondiente al flujo de Hagen-Poiseuille, ya que la perturbación sólo tiene componentes en el plano X-Y. Al evolucionar en el tiempo, y como se observó en la figura 3.7, la perturbación se orienta hacia la componente axial del flujo, modulándolo y formando los denominados streaks [38]. Los streaks son estructuras caracterizadas por la existencia de una zona de velocidad relativamente alta o baja con respecto a su entorno. Se forman debido a que los vórtices impuestos como condición inicial, arrastran fluido con velocidad axial relativamente alta del centro hacia las paredes, trayendo de vuelta fluido relativamente lento (Lift-up effect). Una caracterı́stica importante de estas estructuras, es que tienen la particularidad de que su perfil presenta puntos de inflexión, dando lugar a la aparición de inestabilidades invı́scidas, generadas por eventuales perturbaciones 3D, significando esto, aquı́ y para el resto del trabajo, perturbaciones con dependencia axial. La ruptura de los streaks muestra, en su evolución temporal, un mecanismo tı́pico de desestabilización en flujos paralelos [37][38]. Se observa que estas estructuras aparecen a un tiempo adimensional del orden de 75, que llevado a una situación realista: caño de 1cm de radio por el cual circula agua con 2 # y con un Reynolds de 3000, equivale a un tiempo fı́sico del orden de 2 segundos. Gabriel S. Campo 42 t=0 t=15 t=20 t=75 t=150 t=200 Figura 3.8: Evolución de la componente axial de velocidad para una perturbación con # , impuesta sobre el flujo de Hagen-Poiseuille con un Reynolds de 2945. La evolución del flujo y las estructuras observadas (streaks) son muy similares a las publicadas por Meseguer en [37]. Esto puede verse en la figura 3.9, donde se muestra la componente axial del campo de velocidades a distintos tiempos, obtenida por Meseguer, junto con la calculada aquı́. Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille 0.1 0.3 0.5 (a) 43 (b) 0.7 0.6 0.2 0.4 0.7 0.9 0.8 0.6 0.8 0.5 0.9 0.7 0.8 0.9 0.4 0.3 0.2 0.1 (c) (d) 0.7 0.6 0.7 0.7 0.6 0.7 0.5 0.7 0.5 0.3 0.3 0.4 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 Figura 3.9: Comparación de los resultados obtenidos con los del trabajo de Meseguer [37] (abajo), referidos a la evolución de la componente axial de la velocidad y de las , (b) (inferior) estructuras formadas a distintos tiempos: (a) , (b) (superior) 2 2 12 , (c) y (d) . Las lı́neas de nivel están referidas a la velocidad máxima +# ). del flujo de Hagen-Poiseuille aquı́ considerado ( Gabriel S. Campo 44 Ahora bien, si se toma un Reynolds y un tiempo adimensional fijo, digamos 2945 y 75 respectivamente, al graficar el flujo axial para distintos niveles de perturbación inicial, se observa que se requiere una energı́a mı́nima de ella para formar los streaks (Fig.3.10). Figura 3.10: Componente axial de la velocidad para un tiempo fijo de 75 y perturbaciones con distinta energı́a inicial, impuestas sobre el flujo base de Hagen-Poiseuille que tiene asociado un número de Reynolds de 2945. Se observa que se requiere un mı́nimo # . de energı́a de la perturbación para la formación de los streaks del orden de Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille 45 Como la presencia de los streaks es condición necesaria para desestabilizar el flujo ya que crea las condiciones para ello (puntos de inflexión en el perfil), se desprende # de la figura 3.10 que para el Reynolds considerado (2945), el valor aproximado de serı́a el umbral mı́nimo de perturbación para la transición, al que luego hay que sumarle la energı́a asociada a la perturbación 3D, que terminarı́a por hacer efectiva la desestabilización del flujo. También se observó que, formados los streaks, cuanto mayor es el nivel de la perturbación que les dió origen, más cerca se encuentran éstos de la pared, es decir, el efecto de lift-up es más intenso, apareciendo además diferencias en el flujo secundario desarrollado (Fig.3.11). Figura 3.11: Streaks producto de perturbar al flujo laminar base de Hagen-Poiseuille con # (arriba) y Reynolds 2945. Las perturbaciones impuestas presentan una energı́a de # (abajo). Los tiempos correspondientes a estas soluciones son 197.7 y 56 respectivamente. 46 Gabriel S. Campo Por último, se estudió como cambia el factor de amplificación máximo (Gmax) con el número de Reynolds para distintos niveles de perturbación. Esos resultados se recopilan en la figura 3.12. Se observa que, dado un nivel de perturbación, la amplificación crece con el número de Reynolds. También se deduce, como se vió en la figura 3.4, que la efectividad de la amplificación se ve disminuida con la energı́a de la misma. Cabe mencionar que esta figura fue hecha también con la malla MB, arrojando los mismos resultados. En particular, los valores de Gmax coinciden con los obtenidos por Meseguer en [37] y los de Zikanov en [38]. Figura 3.12: Factor de amplificación máximo en función del número de Reynolds, para distintos niveles de perturbación. La lı́nea a trazos es sólo una guı́a para el ojo, diferenciando la región donde tiene lugar la aparición de los streaks (de ella hacia abajo). Finalmente, para tener idea de los tiempos de cálculo involucrados, la figura 3.13 muestra la velocidad de cálculo, en pasos por minuto, para la malla MA y MB, en función del número de máquinas empleadas. En cuanto a memoria RAM utilizada, esta fue de 30 Mb y 50 Mb respectivamente. Perturbaciones 2D sobre el flujo Hagen-Poiseuille 47 Figura 3.13: Velocidad de cálculo al trabajar con ambas mallas. La memoria utilizada para el cálculo fue de 50 Mb al trabajar con MA y 30 Mb con MB. En la figura se muestran los nombres de las máquinas utilizadas, donde el “+” significa que a las máquinas anteriores se les agrega la presente. Las caracterı́sticas de los procesadores con los cuales se realizó la figura 3.13 son: cabmec8: Pentium IV de 2.8 Ghz cabmec2: AMD Athlon xp 2400 de 2.0 Ghz cabmec17: AMD Sempron 2400 de 1.6 Ghz cabmec18: Pentium IV de 3.0 Ghz cabmec12: AMD Athlon xp 2400 de 2.0 Ghz 48 Gabriel S. Campo 3.5. Conclusiones A la vista de los resultados, el método de elementos finitos parece responder solidamente a la hora de reproducir la dinámica del sistema en estudio ante perturbaciones 2D del flujo base de Hagen-Poiseuille, basándose para ello en la comparación de los resultados con trabajos ampliamente citados [37][38]. Sin embargo, se estima que esta situación es muy benigna y el verdadero reto vendrá a la hora de observar la desestabilización de los streaks al introducir perturbaciones 3D, esperando generar estados turbulentos. En cuanto a los aspectos de la dinámica en sı́, se pudo observar y cuantificar la importante amplificación que sufren las perturbaciones sin dependencia axial, antes de su inevitable extinción. Esta extinción se observó en los resultados y es respaldada por aspectos teóricos, basados en los métodos de energı́a [7]. Se estudió también como depende esa amplificación del nivel de perturbación, siendo menos efectiva cuanto mayor es la energı́a inicial de la misma. Además se vió como, dada una energı́a inicial de perturbación, a medida que crece durante su evolución, la amplificación se va reduciendo. Esta pérdida de efectividad en la amplificación de la perturbación destierra algunas teorı́as sobre la transición basadas en ella, según se detalla en [14] y [15]. Por otro lado, se pudo ver el cambio que sufre el flujo base de Hagen-Poiseuille al introducir este tipo de perturbaciones, dando lugar al nacimiento de los streaks, estructuras cuya formación es necesaria para la aparición eventual de turbulencia. Sin embargo, la aparición de las mismas esta condicionada tanto al valor del número de Reynolds ası́ como de la amplitud o energı́a de la perturbación, hecho totalmente esperable para este flujo, caracterizado por un doble umbral para su transición. Capı́tulo 4 Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 4.1. Introducción Como se ha visto en el capı́tulo anterior, perturbaciones axialmente invariantes sobre el flujo de Hagen-Poiseuille presentan una gran amplificación y generan una distorsión del perfil de velocidades. Sin embargo, estas perturbaciones terminan inevitablemente decayendo y el flujo relaminarizándose. A pesar de ello, esas perturbaciones son imprescindibles para poder desestabilizar el flujo [41], ya que si presentan suficiente energı́a inicial, acorde al número de Reynolds considerado, desarrollan los llamados streaks que son estructuras inestables ante perturbaciones 3D, axialmente dependientes. En este capı́tulo se analiza la respuesta del código de elementos finitos nsfracimp al introducir perturbaciones 3D junto a las 2D, ya analizadas en el capı́tulo anterior, al flujo de Hagen-Poiseuille, haciendo hincapié en la evaluación de la confiabilidad de los resultados. Se espera que estas perturbaciones, si tienen una energı́a suficiente, lleven al flujo a un estado turbulento, por lo que se analizarán las dificultades de cálculo que se vislumbraron en el segundo capı́tulo. También se analiza la performance que presenta el código de elementos finitos para el problema en consideración frente a la de un código espectral. Por último, se observarán algunos aspectos propios de la dinámica del sistema en consideración. 4.2. Aspectos del cálculo 4.2.1. Algunos conceptos y definiciones Debido a que al observar un estado turbulento no se sabe si éste es un fenómeno transitorio o no, cuando se dice que una solución es turbulenta, se debe especificar el tiempo de simulación durante el cual se observa ese comportamiento, lo que finalmente se traduce a afirmar que la solución presenta un carácter turbulento por lo menos Gabriel S. Campo 50 durante ese tiempo. En los trabajos de referencia [37][38], aprovechando que su código es espectral, toman como observable la proyección sobre ciertos modos. En cambio, en el presente trabajo, se observa la velocidad en un punto del dominio, cerca del eje, que cambia levemente de malla en malla. Se observa además la energı́a de la perturbación definida en (3.3.1) para cada componente del campo de velocidades. En cuanto a la variable temporal, siempre que se haga referencia a ésta, se estará hablando del tiempo adimensionalizado según (1.2.6), con la velocidad de referencia & , la máxima del flujo laminar base, y la longitud , el radio. En lo referente a las velocidades, se las expresa en forma relativa a la máxima correspondiente a la del flujo laminar en consideración. En cuanto a la energı́a, ésta es siempre relativa a la del flujo de Hagen-Poiseuille con el número de Reynolds acorde al flujo base considerado en cada situación particular. Uno de los aspectos que se analizarán de los resultados es la disipación numérica. Para ello se calculan los dos miembros correspondientes a la ecuación de balance de energı́a: (4.2.1) El primer término del miembro derecho, es el trabajo por unidad de tiempo de la fuer za impulsora ( gravedad, y el segundo corresponde a la disipación viscosa ( ' ), donde es la), lafunci ón disipación [4]. La diferencia entre ambos miembros se atribuye a la disipación numérica. A ésta se la expresa en sus unidades correspondientes, no se la ha adimensionalizado. 4.2.2. Mallas Las mallas utilizadas para realizar los cálculos en este capı́tulo son M1 y M2. Las mismas son mostradas en la figura 4.1, y sus respectivas caracterı́sticas son: * M1: 40733/39424 (nodos/elementos). 1020 # . + * . # . . M2: 112597/109872 (nodos/elementos). 22 # . + 0 # . Se quiere expresar las dimensiones en unidades de pared ( ! $ ! $ ! $ $ ), definida como [4]: (4.2.2) donde es la llamada velocidad de corte. Haciendo las cuentas, para un número de 3 +# m. En esta unidad, las dimensiones Reynolds de 3000, corresponde a resultan: * M1: * M2: 1 + . . 3 Por lo que la capa lı́mite está muy bien resuelta en el caso de M2. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille M1 51 M2 Figura 4.1: Mallas utilizadas para los cálculos de este capı́tulo. A la izquierda, se muestra la malla M1 con 40733/39424 (nodos/elementos) y, a la derecha, la malla M2, mucho más densa, con 112597/109872. 4.2.3. Condición inicial La condición inicial utilizada es una perturbaci . sobre el flujo de Hagen-Poiseuille ! . ón que, en forma general, se escribe: , o sea, es una perturbación 2D y 3D simultáneas. La perturbación 2D tiene el mismo aspecto que la utilizada en el capı́tulo anterior: . !( . ! ! ! ! (4.2.3) y tiene como fin generar los streaks que luego desestabilizarán las perturbaciones 3D, cuya expresión analı́tica es: . ! . . . ! ! ! ! (4.2.4) Las constantes y son reales y calculadas de forma tal de obtener la energı́a requerida para cada tipo de perturbación , dada por (3.3.1). El factor es un número aleatorio cuyo valor es -0.43256481152822. 52 Gabriel S. Campo 4.3. Resultados La sección de los resultados está dividida en tres subsecciones. En la primera de ellas se impuso una perturbación sobre el flujo de Hagen-Poiseuille correspondiente a un número de Reynolds de 3000 que se sabe, por trabajos previos, que desestabiliza el flujo, tornándolo turbulento por un perı́odo de observación de 600 unidades temporales (u.t.). Luego se intentó reproducir ese resultado, ajustando para ello los parámetros numéricos propios de la formulación [21] e, inclusive, calculando con una formulación anterior a la empleada en el nsfracimp, que es utilizada en el trabajo especial de Pablo Mueller [42] para simular flujos turbulentos, pero que aquı́ se la utilizó sin emplear ningún modelo turbulento como sı́ es usado en dicho trabajo. De ese estudio se llegó a la conclusión de la imposibilidad de lograr resultados bien convergidos en cuanto a la discretización espacial y temporal, imposibilidad dada, en principio, por los tiempos involucrados en los cálculos. Esto lleva a que no se logre una convergencia puntual de los resultados, hecho que era esperable de acuerdo a lo observado en el capı́tulo 2 sobre la delicadeza del cálculo de órbitas turbulentas. A pesar de los resultados de esta primer subsección, hay que destacar que a la hora de las aplicaciones en general, no interesan tanto valores de velocidad en un punto particular del dominio, sino variables estadı́sticas, que, aunque sin sustento teórico, son reproducibles y comparables con resultados experimentales, como muestran muchos trabajos en la literatura. En la segunda subsección se realiza una comparación con un código espectral, que es el utilizado por Faisst en su tesis doctoral [43]. Los códigos espectrales son los más usados para estudiar la transición de interés. En la tercer subsección se trata de observar algunos aspectos de la transición, al menos en forma cualitativa. 4.3.1. Parámetros numéricos y convergencia de los resultados Para analizar la respuesta del código ante perturbaciones que lleven al sistema a estados turbulentos, se impuso una perturbación con energı́a asociada a la parte 2D y # y # respectivamente, sobre el flujo de Hagen-Poiseuille co3D de rrespondiente a un número de Reynolds de 3000 (2967 para ser exactos). Por trabajos previos [37], se sabe que esta perturbación lleva al flujo a un estado turbulento durante todo el perı́odo de simulación: 600 unidades temporales (u.t.). Luego se quiere ver si este aspecto es reproducido por el código y cuan sensibles son los resultados ante cambios en los parámetros numéricos de éste y, más aún, también ante cambio de código. En esta subsección todos los cálculos se realizan con la malla M1, salvo aclaración. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 53 En primer lugar se obtuvieron resultados con la versión vieja del código de elementos finitos que se venı́a utilizando en la división MECOM [42], comparándolos con los del nsfracimp. Los parámetros numéricos de cada código se establecieron, dentro del archivo gpfep.cfg, en los siguientes valores: Código viejo: epsilon = 0.0 upwf = 0.05 estab1 = 0.0 estab2 = 10.0 theta = 0.5 beta = 0.0 Nsfracimp: upwf = 0.0 theta = 0.5 beta = 0.5 estabp = 0.5 Estos están vinculados con el método de avance temporal y con la estabilización del código. Recurrir a las referencias citadas por más detalles. El paso temporal utilizado en ambos fue de 0.05, el mismo que Meseguer en [37]. La figura 4.2 muestra la componente en de la velocidad calculada con ambos códigos en un punto del dominio sobre el eje, observando que el tiempo de duración de la turbulencia es superior en la solución calculada con el nsfracimp, dando a intuir que éste presenta menos disipación numérica. Gabriel S. Campo 54 Figura 4.2: Velocidad en en un nodo cerca del eje obtenida con una versión vieja del código [42], comparada con la calculada con el nsfracimp. Se observa que el estado turbulento es mantenido por mucho más tiempo con el último código, por lo que se intuye que presenta menos disipación numérica. Esto es confirmado en la figura 4.3. La figura 4.3 muestra que, efectivamente, el código viejo presenta una mayor disipación numérica, graficando para ello ambos miembros de la ecuación de balance (4.2.1), donde la diferencia entre los mismos es debido a ese fenómeno. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 55 Figura 4.3: En el gráfico superior están representados ambos miembros de la ecuación de balance (4.2.1) asociados a la solución obtenida con el código viejo, y en el inferior los relacionados con la solución del código nsfracimp. La diferencia de esos miembros es debido a la presencia de disipación numérica, siendo ésta mucho menor en el código nsfracimp. Sin embargo, a pesar de que la figura 4.2 muestra que la solución calculada con el nsfracimp presenta turbulencia por más tiempo, este comportamiento no se mantiene durante las 600 unidades de tiempo que señalan los trabajos, extinguiéndose hacia el final, por lo que se piensa que la disipación numérica aún es alta. Esto lleva a modificar 56 Gabriel S. Campo el parámetro estabp, llevándolo de 0.5 a 0.005, observando la diferencia de comportamiento del código en la figura 4.4, donde se observa que la turbulencia es sostenida durante el tiempo requerido. Figura 4.4: Soluciones calculadas con el nsfracimp con parámetros numéricos idénticos a los de la figura 4.2, salvo el estabp, reduciéndolo dos órdenes. La figura 4.5 muestra ambos miembros de la ecuación de balance que se desprenden de los cálculos con ambos valores de estabp, observando que la disipación numérica es menor al bajar dicho parámetro. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 57 Figura 4.5: En el gráfico superior están representados ambos miembros de la ecuación de balance (4.2.1) asociados a la solución obtenida con el valor de estabp de 0.5, y en el inferior con valor de 0.005. La disipación numérica es inferior en el último caso, donde ambas curvas casi se superponen. Ahora bien, la figura 4.4 muestra que se obtiene un comportamiento turbulento durante el tiempo que señalan los trabajos, sin embargo, se debe verificar que esta solución este bien calculada, recalculándola con cambios en el paso temporal y/o de malla. Con ese fin, la figura 4.6 muestra la solución con un paso mitad al utilizado al calcular Gabriel S. Campo 58 la curva mostrada en la figura 4.4, con estabp 0.005, superponiendo ambos resultados. Los parámetros numéricos utilizados para calcular las curvas mostradas en dicha figura fueron: upwf = 0.0 theta = 0.5 beta = 0.5 estabp = 0.005 difiriendo solo en el paso temporal utilizado: 0.05 y 0.025, observando que los resultados no están convergidos. Figura 4.6: Soluciones calculadas con parámetros numéricos idénticos, salvo el paso temporal, observando una separación de las soluciones a un tiempo del orden de 57.8 u.t., lo que muestra que el cálculo no está convergido en el tiempo. El gráfico inferior derecho corresponde a una ampliación del gráfico central. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 59 Con el mismo objetivo de observar cuan sólidos son los resultados, se mantuvieron los últimos parámetros numéricos y se rehizo el cálculo sobre la malla M2, mucho más fina, mostrando la figura 4.7 los resultados. En ella se observa que se mantiene el comportamiento global del sistema, refiriéndose con esto a que se observa un estado turbulento durante las 600 unidades de tiempo. Figura 4.7: Solución calculada con el nsfracimp sobre la malla M2, empleando los mismos parámetros numéricos de la figura 4.6, salvo el paso temporal: 0.15. Cabe aclarar que al cambiar de malla el punto en donde se observa la velocidad sigue estando sobre el eje, pero no es exactamente el mismo. Sin embargo, aunque se observa un comportamiento global similar, tampoco existe convergencia en los resultados, como muestra el gráfico de la figura 4.8, en donde se superponen soluciones calculadas sobre M2 con distinto paso temporal: 0.15 y 0.05, separándose ambas curvas a un tiempo del órden de 52.7. 60 Gabriel S. Campo Figura 4.8: Comparación entre la solución mostrada en la figura 4.7 y la misma recalculada con un paso menor. Los resultados no están convergidos, observándose una separación entre las soluciones a un tiempo del orden de 52.7. Ambos resultados han sido obtenidos sobre M2. El gráfico inferior derecho corresponde a una ampliación del gráfico central. Con el sustento de lo observado en el capı́tulo 2 para un sistema de baja dimensionalidad con respecto al aquı́ estudiado (19 grados de libertad contra 162932 o 450388, dependiendo la malla), probablemente el comportamiento que se manifiesta al cambiar el paso temporal es debido a que los cálculos son realizados con precisión insuficiente. Cambiar el paso temporal es semejante a cambiar la precisión de cálculo, y el comportamiento que se observa al variar el mismo es semejante al observado en la figura 2.2 del capı́tulo 2. Para realizar un paralelismo con ella, la figura 4.9 muestra distintas curvas de la com ponente en de la velocidad en un punto dado del dominio cerca del eje, obtenidas con distinto paso temporal (dt), sobre la malla M2. En ella se observa que las curvas siguen a la de referencia, siendo ésta la calculada con el menor paso temporal (dt=0.025), hasta un punto en que se separan, ocurriendo esto más hacia la derecha cuanto menor es el paso en cuestión. Este comportamiento es totalmente equivalente al de la mencionada figura del capı́tulo 2 y a figuras mostradas en el trabajo de Estep & Johnson para el sistema de Lorenz [32]. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 61 Figura 4.9: Soluciones calculadas sobre la malla M2 con distintos pasos temporales. Se observa que cuanto más chico es el mismo, la solución sigue por más tiempo a la solución tomada como referencia: aquella con paso temporal 0.025. Achicar el paso temporal es equivalente a aumentar la precisión de cálculo, observando el mismo comportamiento que la figura 2.2 del capı́tulo 2. Obsérvese de la figura 4.9 el gráfico inferior derecho en el cual se grafican dos soluciones obtenidas con paso temporal 0.025 y 0.05. Comparando dicho gráfico con el de la figura 4.6, se oberva un tiempo de separación mayor, lo que es esperable, ya que el cálculo se realizó sobre M2, la cual está más resuelta que M1 con la cual se efectuaron los cálculos de la figura 4.6, teniendo en consecuencia una mayor precisión de cálculo, lo que lleva a una separación a un tiempo posterior. Gabriel S. Campo 62 Luego cabe hacerse la siguiente pregunta: Digamos que se requiere realizar el cálculo de la velocidad en un punto dado del dominio en forma confiable, y que ella presenta un comportamiento caótico, ¿Cuantos dı́gitos de precisión del algoritmo se necesitan para calcularla en forma precisa durante un dado tiempo de simulación?. Esto suponiendo que el error de redondeo esté más allá del anterior. Para responderla, se tomó un tiempo de simulación de 300 u.t., la condición inicial que se venı́a utilizando, un paso temporal de 0.05 y la malla M2, y se obtuvo una solución empleando los siguientes parámetros numéricos: upwf = 0.0 theta = 0.5 beta = 0.5 estabp = 0.005 Luego a esa solución se la tomó como referencia y se hicieron cálculos modificando la condición inicial en distintas cifras, multiplicando la perturbación dada como con y 0 2 . Estos dición inicial por un factor (1+C), con resultados se muestran en la figura 4.10. De ella se desprende que la condición inicial debe ser buena en al menos 7 dı́gitos, siendo ésta una apreciación gruesa para estimar el error total (truncamiento + redondeo) del cálculo. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 63 Figura 4.10: Soluciones calculadas sobre la malla M2, modificando la condición inicial en distintas cifras. Los cambios en las cifras de la condición inicial se realizan modificando la perturbación inicial por un factor (1+C). Se observa que las soluciones perturbadas siguen a la curva de referencia (C=0) por más tiempo cuanto menor es la perturbación. De esta figura puede estimarse la precisión requerida para el cálculo de una órbita turbulenta durante 300 unidades temporales a Reynolds 3000, elevándose a una exactitud en 7 dı́gitos. Gabriel S. Campo 64 De los resultados expuestos se concluye que, con la capacidad de cálculo disponible, es imposible obtener resultados puntuales sólidos, bien convergidos, en un tiempo de simulación de 600 unidades de tiempo. Esta imposibilidad se presenta, en principio, por los tiempos de cálculo involucrados. Para tener una noción de los mismos, el gráfico de la figura 4.11 muestra la velocidad de cálculo para la solución más refinada en función del número de máquinas utilizadas, cuyas caracterı́sticas se encuentran en el cápitulo anterior, salvo las últimas: cabmec1: AMD Athlon xp 2000+ de 1.6 Ghz cabmec4: AMD Athlon de 1.0 Ghz cabmec5: AMD Athlon de 1.0 Ghz Figura 4.11: Velocidad de cálculo al trabajar sobre la malla M2. La memoria total necesaria para el cálculo es de 398 Mb al trabajar con M1 y 1.1 Gb con M2. En la figura se muestran los nombres de las máquinas utilizadas, donde el “+” significa que se agrega la presente a las ya empleadas. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 65 4.3.2. Comparación de la performance del código de elementos finitos con la de uno espectral A partir de la figura 4.11 se realizó una comparación de la performance del código de elementos finitos con la del código espectral utilizado en la tesis doctoral de Holger Faisst [43]. Dicho figura fue obtenida calculando la solución sobre la malla M2 con un paso tem2 ), el tiempo de poral de 0.025. Luego con la máxima velocidad posible ( CPU se eleva a 4 dı́as y medio para la simulación de 600 unidades temporales, aunque se vio que utilizando ese paso el cálculo no estaba convergido. Bajo la hipótesis que con un paso mitad al empleado se logre convergencia, el cálculo llevarı́a del orden de 9 dı́as. Para tener una idea de la imposibilidad de este cálculo, en este trabajo nunca se ha podido calcular por más de 6 dı́as aproximadamente por distintos motivos. Esto ronda entorno al concepto de computabilidad del caos: “capacidad de cálculo disponible para lograr una precisión determinada” (Estep & Johnson 1998). Teniendo en cuenta los grados de libertad (DOF:Degrees Of Freedom) asociados a la ma # ' . . lla M2 (450388), se tiene un tiempo de cálculo mı́nimo de ' En la tabla 4.1 se muestra la performance lograda con el código nsfracimp y la del método espectral utilizado por Faisst [43], para su posterior comparación. ********************** ********************** Discretización espacial Paso temporal Tiempo de simulación Tiempo de CPU Número de procesadores Método espectral 49 modos azimutales 41 modos axiales 60 polinomios de Legendre 2000 u.t. 25 dı́as 1 Método de elementos finitos 112597 nodos 0.025 u.t. 600 u.t. 4.5 dı́as 6 Cuadro 4.1: Performance lograda con el código de elementos finitos y con un código espectral [43]. El tiempo de CPU que se consigna en el caso del método de elementos finitos, se corresponde a la máxima velocidad alcanzable según la figura 4.11. La siglas u.t. corresponden a unidades temporales. El trabajo de Faisst consigna en sus páginas 39 y 40 que con una discretización espacial correspondiente a emplear 33 modos azimutales, 29 axiales y 50 polinomios de Legendre, se obtienen 34000 coeficientes de velocidad, o sea, 34000 DOF. Tomando el factor de proporcionalidad entre los modos totales: 33x29x50 y los grados de libertad asociados, se tiene que la discretización espacial utilizada en sus cálculos más precisos, consignada en la tabla 4.1, corresponde a 85650 DOF. Este número vale bajo la hipótesis que se mantenga el coeficiente de proporcionalidad con la discretización. De todas formas vale como una estimación. Suponiendo además que utiliza un paso temporal de 0.05 u.t., al igual que en los cálculos con el método de elementos finitos y el empleado en el trabajo de Mes- Gabriel S. Campo 66 seguer, que también utiliza un código espectral, se tiene un tiempo de cálculo de # ' . , un orden superior al empleado por el método de elementos fini ' +# ' . . tos utilizando un solo procesador: ' Sin embargo, los métodos espectrales son, sin duda, los más utilizados en la actualidad para el estudio del problema transicional planteado. Esto seguramente es debido a la geometrı́a en consideración, a la cual se adaptan muy bien estos métodos, lo que lleva a que necesiten menos grados de libertad con respecto a los empleados en el método de elementos finitos en general. Luego la comparación final vendrı́a de conocer cuánto es el factor que vincula los grados de libertad entre ambos métodos para obtener una solución con error comparable. Lamentablemente, aunque la tesis de Faisst es un hermoso y muy valioso trabajo, nunca muestra, para el cálculo de soluciones turbulentas, resultados de la velocidad en un punto dado del dominio ni hace referencia al error de cálculo ni precisión empleada, más allá del número de modos y polinomios usados. Sı́ aduce convergencia de magnitudes estadı́sticas, que comparan razonablemente bien con resultados experimentales. A pesar de ello no existe ningún sustento teórico que establezca que, a pesar de la existencia de errores de cálculo, las magnitudes estadı́sticas que se desprenden de ellos tengan validez, es decir, que estén contenidas en las soluciones de Navier-Stokes. 4.3.3. Aspectos de la dinámica del sistema ante perturbaciones (2D+3D) Luego del estudio de confiabilidad y performance de cálculo desarrollado en las anteriores subsecciones, se quiso observar, al menos en forma cualitativa, algunos aspectos de la transición de interés. Primero perturbación de energı́a . se tom # óy el . cálculo correspondiente # sobre el flujo ade una Hagen-Poiseuille con un número de Reynolds de 2967. La evolución se calculó sobre la malla M1 con los siguientes parámetros numéricos: upwf = 0.0 theta = 0.5 beta = 0.5 estabp = 0.005 y un paso temporal de 0.05. Estos valores se utilizaron para obtener todos los resultados mostrados en esta subsección. La figura 4.12 muestra la energı́a total y la asociada a cada componente, obtenidas de dicho cálculo y además, para su comparación, el caso en que sólo está presente la perturbación 2D. El último caso se trajo del capı́tulo anterior. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 67 Figura 4.12: Energı́a total (arriba) y la asociada a cada componente (abajo). Las figuras a la izquierda corresponden a una perturbación 2D y las de la derecha a una (2D+3D) sobre el flujo de Hagen-Poiseuille con Reynolds 2967. De la figura 4.12 puede observarse que al introducirse la perturbación 3D la energı́a asociada a las componentes transversales de velocidad ya no decaen monótonamente, como sucede ante perturbaciones 2D solamente. Pareciera que al desestabilizarse los streaks, llevando al sistema a un estado turbulento, se reinyecta energı́a a dichas componentes, como tratando de regenerar los vórtices impuestos como condición inicial y que dieron origen a los streaks. Esto tiene semejanza con el ciclo regenerativo propuesto por Waleffe para el flujo Couette plano a Reynolds bajo [14], en el cual los streamwise vortices dan lugar a la formación de los streaks los cuales, luego de inestabilizarse, vuelven a generar los streamwise vortices, cerrando el ciclo. Sin embargo, en este caso el ciclo no se cierra pues el sistema entra en un estado turbulento. Al estar presente sólo la perturbación 2D, no hay lugar para la desestabilización de los streaks, luego la energı́a puesta en juego por la perturbación termina disipándose por viscosidad. Gabriel S. Campo 68 La figura 4.13 muestra la componente axial a distintos tiempos, en un corte X-Z conteniendo al eje central. Inicialmente se observa el perfil correspondiente al flujo Hagen-Poiseuille, siguiendo con la formación de los streaks a un tiempo de 17 u.t., los cuales posteriormente se desestabilizan, llevando al flujo a un estado turbulento. t=0 t=6 t=17 t=34 t=49 t=65 Figura 4.13: Evolución de la componente axial en un corte X-Z, conteniendo al eje de simetrı́a. Se observa la formación y posterior ruptura de los streaks, llevando al sistema a un estado turbulento. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 69 La figura 4.14 muestra la componente en e tanto en un punto cerca del eje como en uno más cercano a la pared, mostrando un comportamiento turbulento. Se observa la pérdida de información acerca de la condición inicial de cada componente, que lleva a ellas a un comportamiento cualitativamente similar. Figura 4.14: Velocidad en e relativa a la máxima del flujo laminar en un punto sobre el eje y en otro a más cercano a la pared, a aproximadamente 0.67 radios del anterior. La figura 4.15 muestra la evolución del campo de velocidades correspondiente sólo a la perturbación, restando al campo que se tiene como solución del código el flujo base de Hagen-Poiseuille. Las flechas indican la velocidad sobre el plano X-Y y en código de colores la velocidad axial, relativa a la máxima del flujo laminar +3 # ( , ) . En su figura superior izquierda se observa la condición inicial correspondiente a los streamwise vortices, que es la perturbación 2D analizada en Gabriel S. Campo 70 el capı́tulo anterior, y. que predomina sobre por las energı́as iniciales asociadas a . la3D # # . A su derecha, se observa como cada una de ellas: y los vórtices arrastran fluido relativamente lento de la pared inferior hacia la parte central, llevando de ella fluido relativamente más rápido hacia la pared superior, dando lugar a la formación de los streaks. A la izquierda y abajo, se observa la desestabilización de los streaks y la ruptura de simetrı́a del flujo secundario. A su derecha se observa una situación ya turbulenta, donde han aparecido estructuras de dimensión más pequeñas, observando también un achatamiento del perfil medio con respecto a la situación laminar. t=0 t=17 t=62.5 t=137.5 Figura 4.15: Cuadros correspondientes al campo de velocidad propio de la perturbación, tomados a distintos tiempos. Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 71 La figura 4.16 muestra la distribución espacial de la energı́a de la perturbación, observando como se concentra en los puntos de inflexión del perfil, causando la desestabilización del flujo. y y x x Figura 4.16: Velocidad axial y distribución de la energı́a sobre un plano X-Y del tubo ) correspondiente a un tiempo de 37 u.t.. ( Por último se quiso observar el hecho de que, dado un Reynolds, se necesita un umbral mı́nimo de perturbación 3D para desestabilizar los streaks y ası́ llevar al sistema a un estado turbulento. Para ello se impuso una perturbación con energı́a 2D y 3D de # y # respectivamente, con " 0 , sobre el flujo de Hagen-Poiseuille 0 conduce con un número de Reynolds asociado de 2012. Según Meseguer [37], solo a la desestabilización de los streaks, generando un comportamiento caótico del flujo durante un tiempo finito, del orden de 300. La figura 4.17 muestra tanto la energı́a asociada a cada componente como la velocidad en un punto central del dominio, cerca del eje axial, para cada valor de , observando un decaimiento monótono de la energı́a en las componentes X e Y para valores de b de 0 . En cuanto a los tiempos de vida de los transitorios 6 y 8 y no tan monótono para observados, éstos corresponden a tiempos aproximados de 160, 160 y 200 u.t. para " y 4 respectivamente (valores subjetivos basados en observar el momento en que cesan las oscilaciones en la componente X de la velocidad observada en las figuras de la izquierda), concordando bastante bien con los de Meseguer, salvo el valor de vida media asociado a b=4. 72 Gabriel S. Campo Figura 4.17: Velocidad en la dirección X en un punto sobre el eje axial (izquierda) y energı́a de la perturbación asociada a cada componente (derecha). Se muestran los gráficos correspondientes a los distintos valores de energı́a de la perturbación 3D, impuestas sobre el flujo de Hagen-Poiseuille con un número de Reynolds de 2012 junto a +# . la perturbación 2D de energı́a Perturbaciones (2D+3D) sobre el flujo Hagen-Poiseuille 73 Observando la evolución del campo de velocidades correspondiente a los distintos valores de b, en figuras equivalentes a la 4.13, se observa una desestabilización del flujo para b=6 y 4, no ası́ para 8, por lo que el umbral de energı́a para la perturbación 3D # y # . estarı́a entre Hay que hacer notar dos cosas. La primera referente a que el umbral para la desestabi # ) para un número de Reynolds lización es menor que el hallado por Meseguer ( de 2000. Esto puede ser debido a que el Reynolds es un poco superior: 2012. Lo segundo es que el tiempo de vida media para b=4 es menor que en dicho trabajo en un 33 %. Probablemente esto se deba a que al desestabilizarse el flujo aumenta la disipación, bajando la energı́a cinética, llevando a un descenso de la velocidad media axial y por consiguiente del número de Reynolds (Fig.4.18). Observando la figura 4.18, uno podrı́a pensar que la perturbación muere debido a que el número de Reynolds baja hasta un valor por debajo de los valores tı́picos transicionales. Para develar esto habrı́a que hacer cálculos con un flujo volumétrico constante, similar a los experimentos de Darbyshire & Mullin [8] o a los cálculos numéricos de, por ejemplo, Faisst [43]. Esto quedarı́a para la implementación en un trabajo posterior. Sin embargo, Meseguer también utiliza un gradiente de presión constante como fuerza impulsora y en el trabajo de Darbyshire & Mullin encuentran que las caracterı́sticas asociadas a la transición a la turbulencia en sus experimentos con caudal volumétrico constante son similares a las reportadas en experimentos con gradiente de presión constante. Luego la diferencia de la vida media se podrı́a deber a que ésta, aunque de manera continua, podrı́a depender muy fuertemente tanto del Reynolds como de la amplitud de la perturbación. Figura 4.18: Evolución del número de Reynolds para las perturbaciones 3D consideradas. 74 Gabriel S. Campo 4.4. Conclusiones En este capı́tulo se observó la inviabilidad de obtener resultados determinı́sticos, en flujos turbulentos, de la velocidad en un punto del dominio en forma confiable, ya que no se logró convergencia en los resultados. Esta imposibilidad se debe, en principio, a causa de los tiempos de cálculo empleados: para la convergencia de los resultados se necesitarı́an mallas y pasos de tiempos más finos que harı́an inmanejables los tiempos de CPU, al menos con nuestra capacidad de cálculo. Sin embargo, aunque se pudiera esperar el tiempo necesario, aún queda la duda, a la luz de los resultados del capı́tulo 2, de que la acumulación del error de redondeo no vuelva a esa barrrera infranqueable. Se realizó también una comparación de la performance del método de elementos finitos con los métodos espectrales, cuyo uso es ampliamente difundido en este tipo de problemas. De esa comparación surge que el tiempo de cálculo entre ambos métodos es comparable, desempatando a favor de los espectrales el hecho de que se estima que éstos necesitan menos grados de libertad en comparación a los necesarios emplear con el método de elementos finitos. Se observaron distintos aspectos de la dinámica del sistema ante perturbaciones (2D+3D) impuestas sobre el flujo de Hagen-Poiseuille. Se vio que el agregado de las perturbaciones 3D a las 2D desestabilizan efectivamente al flujo, rompiendo los streaks y llevando al sistema a un estado turbulento. Sin embargo, dado un número de Reynolds del flujo laminar, se observó que se requiere un nivel mı́nimo de la energı́a de la perturbación 3D para llegar a la desestabilización del mismo, que disminuye al aumentar el número de Reynolds. También se vió que, dependiendo del número de Reynolds y energı́a de la perturbación, y como se consigna en los trabajos de Meseguer, el estado turbulento puede tener una vida media menor al tiempo de simulación, o sea, es un comportamiento transitorio (caos transitorio). Sin embargo no se sabe, al observar turbulencia durante todo el tiempo de simulación, si se ha formado el atractor turbulento o es sólo un comportamiento transitorio de vida media suficientemente larga. Capı́tulo 5 Conclusiones generales En este trabajo se estudiaron los aspectos principales de la transición a la turbulencia en el flujo Hagen-Poiseuille desarrollado dentro de caño de sección circular, como un caso particular de un flujo paralelo. Estas caracterı́sticas hacen referencia a la nonormalidad y no-linealidad del operador de evolución del sistema que combinadas, y aplicando el tipo y nivel de perturbación adecuado, que depende en parte del número de Reynolds, conducen finalmente a la desestabilización del flujo. Se estudió en particular la evolución del sistema al introducir perturbaciones axialmente invariantes sobre el flujo laminar base, observando el crecimiento algebraico que ellas experimentan antes de su inevitable extinción, aspecto tı́pico de los flujos paralelos. Además se vio cómo estas perturbaciones llevan a la modificación del perfil del flujo, formando los denominados streaks, estructuras necesarias para una posterior desestabilización del mismo, ya que crea las condiciones para ello: puntos de inflexión en el perfil. Se observó que al introducir perturbaciones con dependendencia axial se logra hacer efectiva la transición del flujo a un estado turbulento, siempre y cuando dicha perturbación presente un nivel energético acorde al número de Reynolds del flujo laminar base, dando lugar a la caracterı́stica de doble umbral del flujo Hagen-Poiseuille, también manifiesta en el Couette plano. Esta transición se genera al desestabilizarse los streaks. La ruptura de ellos muestra, en su evolución temporal, un mecanismo tı́pico de desestabilización en flujos paralelos. Se vio que el estado final turbulento puede tener una duración temporal finita, es decir, el sistema puede experimentar caos transitorio. Sin embargo, al desestabilizarse el flujo, ya en un estado turbulento, se observó la inviabilidad de obtener resultados determinı́sticos confiables de la velocidad en un punto dado del dominio. Esto en principio se debe a los tiempos de CPU empleados, tornándose inmanejables, al menos con nuestra capacidad de cálculo. Cabe aclarar que en la literatura especializada, con frecuencia se consignan razonables coincidencias con observables estadı́sticos, tanto numéricos como experimentales. Pero esta coincidencia es de hecho, y no cuenta con una fundamentación adecuada. 76 Gabriel S. Campo Más allá del tiempo de cálculo requerido, es de esperar que la imposibilidad mencionada se mantenga debido a la limitación en la precisión de cálculo dada al trabajar con doble precisión. Esta conclusión es producto de un cuidadoso análisis sobre la confiabilidad de las soluciones, apoyado en un estudio previo efectuado sobre el flujo Couette plano con un modelo de baja dimensionalidad. En dicho estudio se confirmó que el cómputo de la vida media de las órbitas caóticas es muy delicado en cuanto a perturbaciones de ı́ndole numérica, provocadas por errores propios de los métodos numéricos, lo cual requiere de algoritmos de paso adaptativo que permitan controlar el error de cálculo. Resultados de ese estudio permitieron develar un aspecto erróneo en trabajos recientes y ampliamente citados, vinculados a la transición del flujo Couette plano, y que hacen referencia a la fractalidad, o aparente discontinuidad, de la frontera hacia la turbulencia en el plano Reynolds-Amplitud. Se realizó también una comparación de la performance del método de elementos finitos con los métodos espectrales, cuyo uso es ampliamente difundido en este tipo de problemas. De esa comparación surge que el tiempo de cálculo entre ambos métodos es comparable, desempatando a favor de los espectrales el hecho de que se estima que éstos necesitan menos grados de libertad en comparación a los necesarios emplear con el método de elementos finitos. Sin embargo, es valioso rescatar que el método de elementos finitos es una herramienta numérica valedera, aunque con las limitaciones observadas, a la hora de estudiar el problema aquı́ considerado, reproduciendo los procesos básicos involucrados en la transición laminar-turbulenta del flujo de HagenPoiseuille, hecho en cierto sentido cuestionado por investigadores abocados a este tema y por la ausencia de trabajos empleando este método. Por último, queda expresar las posibles lı́neas de investigación para realizar un estudio más profundo del tema, requiriendo un tiempo acorde para ello. En primer término, se podrı́a evaluar la utilización de otras condiciones de contorno distintas a las periódicas, para observar aspectos como la aparicición de los puffs y slugs precediendo a la turbulencia [8]. En cuanto al cómputo de vidas medias para la confección de los mapas que muestran a ella en función del número de Reynolds y amplitud de la perturbación, y que son caracterı́sticos de transiciones de doble umbral como la que aquı́ nos compete, habrı́a que implemetar algún algoritmo de integración temporal con paso adaptativo y, eventualmente, incorporar alguna biblioteca para trabajar con precisión numérica arbitraria. Sin embargo, esto último traerá un gran costo computacional, por lo que serı́a conveniente realizar una evaluación previa antes de su implementación. Además habrı́a que imponer un caudal volumétrico constante, para tener un buen control sobre el número de Reynolds. Referente a un aspecto más fı́sico del problema, se podrı́a hacer un intento por dilucidar la formación efectiva o no del atractor turbulento, mediante alguna técnica como la que utiliza Faisst & Eckhardt en [44]. Conclusiones generales 77 En cuanto a interés ingenieril, serı́a deseable conocer hasta dónde es posible engrosar la malla o aumentar el paso temporal, captando aún los aspectos principales de la dinámica del sistema en flujos con número de Reynolds tı́picamente transicionales, del orden de 2000 para el flujo Hagen-Poiseuille. Este estudio ya fue encarado y está en una etapa avanzada. 78 Gabriel S. Campo Apéndice A Detalles del modelo utilizado en el capı́tulo 2 En este apéndice se muestra todo lo referente, y no expresado en el capı́tulo 2, del modelo allı́ utilizado. A.1. Vector aleatorio El vector aleatorio que da la dirección de apartamiento del punto de equilibrio es: 223 2 2 2 0030302 23 33 2 032+ 0 22 3 2 0 30 + 0 2 2222 2 3 32222 33222 2 3 33 + 3 2++ 3 0 0 232 03 2 002 + 0 3 023 2 0 3 2 3 + 33 23 2+ 22+ 2 2 32 23 2+ 32 2 032 0 0 2 0 32 ! Se lo escribe en forma fraccionaria para que los programas utilizados lo tomen como una expresión exacta, o sea, con precisión infinita. $ $ +33+ . Su norma vale 2.5783 y su norma infinito vale $ A.2. Ecuaciones del modelo A continuación se muestra el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales que derivan del modelo. Se le agradece al Dr. B. Eckhardt por enviarnos las mismas. Gabriel S. Campo 80 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $$ $ $ $ 3 0 $ $$ $ $ $ $ $ $ $$ $ $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ 3 $ $ $ $$ $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $$ $ $ $ $ $ $ $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $$ 0 $ $ $ $ 0 $$ $ $ $ $ $ Detalles del modelo utilizado en el capı́tulo 2 $ $ $ $ $ $ 0 $ $ 0 81 $ $ $ $$ $ $ $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ $ $ $ 0 $ $ $ $ $ 0 $ $ $ $ $ 0 $ $ $ $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ 0 $ 0 $ $ $ 0 $ $ $ $ $ $ $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 0 $ 0 $ 0 0 $ 0 $ $ 0 $ $ $ 0 $ $ $ $ 0 $ $ $ Gabriel S. Campo 82 $ $ $ 0 $ $ $ $ $ 0 $ $ $ $$ $ $ $ $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 0 $ $ $ $ 0 $ 0 $ $ 0 0 $ 0 $ $ 0 $ $ $ 0 $ $ $ $ $ 0 $$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 0 $ 0 0 $ $ $ $$ $ $ $ $ $ $ 0 $ $ Detalles del modelo utilizado en el capı́tulo 2 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 2 $ $ 2 $ $ $ 83 $ $ $ $ $ $ $ $$ $ $ 2 $ $ $ $ $ $ $ $ 0 $ $ $ $ $ 0 $ $ $ 0 $ $ $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ 2 $ $ $ $ 2 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Gabriel S. Campo 84 $ $ $ $ $ $ 0 0 $ 0 $ $ 0 $ $ $ $ $ Apéndice B Aspectos organizativos y económicos del trabajo especial El presente trabajo se realizó en la división Mecánica Computacional (MECOM) del Centro Atómico Bariloche (CAB) bajo la dirección de los doctores Fernando G. Basombrı́o y Enzo A. Dari durante el perı́odo comprendido entre febrero del 2004 y junio del 2005. Tuvo como fin formar e inculcar al autor metodologı́as de trabajo que conciernen al ámbito cientı́fico e ingenieril y con el objetivo final de obtener el tı́tulo de Ingeniero Nuclear, otorgado en conjunto por el Instituto Balseiro y la U.N.Cu.. B.1. Planificación del proyecto Para llevar a cabo los objetivos del trabajo, puntualizados en el capı́tulo introductorio, se requirió de una serie de pasos, expresados a continuación: Búsqueda de material bibliográfico referente al tema de interés y de acuerdo al objetivo perseguido en cada etapa. Cursado de materias formativas. Aprendizaje del uso de software de la división. Realización de mallas y pos-procesamiento de las soluciones. Análisis de resultados. Escritura del trabajo especial. En la tabla B.1 se da una estimación de la cantidad de horas empleadas en ellos y en otras tareas anexas. Gabriel S. Campo 86 Tarea Búsqueda de material bibliográfico Cursado de materias Asistencia a congresos Aprendizaje del software Realización de mallas y pos-procesamiento de soluciones Preparación de las corridas Análisis de los resultados Consultas con los directores u otros Escritura del trabajo especial TOTAL Horas estimadas 80 hs 800 hs 80 hs 40 hs 300 hs 80 hs 300 hs 120 hs 300 hs 2100 hs Cuadro B.1: Horas empleadas en las tareas requeridas para cumplir los objetivos del trabajo especial. B.2. Aspectos económicos En la tabla B.2 se explicita una estimación de los costos del trabajo especial. Descripción del recurso Costo Costo de oficina con sus gastos por 18 meses $9000 Computadoras (6) $18000 Amortización 3 años Costo por 18 meses $9000 Consultas a directores u otros $30 por hora Costo total por 120 hs $3600 Cursado de materias $10 por hora Costo total por 800 hs $8000 Asistencia a congresos $1500 Artı́culos de oficina $500 Beca de estudiante $600 mensuales Costo total por 18 meses $10800 TOTAL en 18 meses $42400 Cuadro B.2: Costos estimativos del trabajo especial. Los fondos para afrontar los costos provinieron de la CNEA y subsidios del CONICET. Bibliografı́a [1] P. K. Kundu. Fluid Mechanics. Academic Press, 1990. [2] P. Drazin. Introduction to Hydrodynamic Stability. Cambridge University Press, 2002. [3] O. Reynolds. An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous and of the law of resistance in parallel channels. Phil. Trans. R. Soc., 174:935–982, 1883. [4] F.M. White. Fluid Mechanics. 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Bosquejo del trabajo original de Reynolds ([3], Fig. 16) en el cual muestra el carácter intermitente del flujo precediendo a la turbulencia. Este comportamiento era más marcado en tubos de menor diámetro. . . . . . 5 1.5. Esquema del dominio de cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a la ecuación de Landau . Se muestran las soluciones estables (lı́nea continua) e (1.3.1) para inestables (lı́nea a trazas) y los lı́mites de las cuencas de atracción (lı́nea punteada azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a la ecuación de Landau . Se muestran la solución estable (lı́nea continua) e (1.3.1) para inestables (lı́nea a trazas) y los lı́mites de la cuenca de atracción (lı́nea punteada azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8. Distintos escenarios denominados globalmente subcrı́ticos, llamados ası́ ya que en una región del parámetro de control coexiste con el estado base otra solución también estable. Estos dos estados estables son alcanzables el uno al otro a través de una perturbación finita. . . . . . . . 13 1.9. Escenario acorde para describir la transición a la turbulencia de los flujos Hagen-Poiseuille y Couette plano. es una distancia dentro del espacio de funciones que mide apartamientos desde la solución base, y es generalmente la energı́a de la perturbación aplicada sobre esa solución. En esos flujos la solución laminar base es estable para todo número de Reynolds y otras soluciones, que en principio pueden no ser turbulentas, son alcanzables mediante perturbaciones finitas. . . . . . . . . . . . . . . 14 Gabriel S. Campo 92 1.10. Esquema cualitativo del diagrama de bifurcaciones asociado al flujo dentro de un tubo de sección circular o entre dos placas planas con velocidad relativa entre sı́. Las soluciones base son los flujos de HagenPoiseuille y Couette plano respectivamente. En este esquema se reflejan las caracterı́sticas de estos flujos: estabilidad lineal para todo Reynolds ( ), existencia de crecimiento algebraico de las perturbaciones sobre el ) y existencia de un crı́tico flujo base en un cierto rango de ( o global ( ) por debajo del cual la única solución estable es la del flujo laminar base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11. Esquema ilustrativo de la turbulencia sostenida por ruido externo (NST, Noise Sustained Turbulence). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Mapas de vida media vs. número de Reynolds y amplitud de la perturbación, caracterı́sticos de las transiciones de doble umbral. En a) se muestra este mapa obtenido en forma numérica para el flujo Couette plano [30] y en b) un mapa obtenido experimentalmente para el flujo Hagen-Poiseuille [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Evolución de la energı́a asociada a una órbita, calculada en el entorno Mathematica 4.1, con distintas precisiones de cálculo. La figura superior muestra cálculos con precisión 6/6/17 (roja), 12/12/22 (verde), 14/14/24 (azul), 16/16/30 (negra) y 18/18/30 (marrón), observando que estas precisiones son insuficientes. La figura inferior muestra resultados más confiables. En ellos se utilizó una precisión de 19/20/30 (roja), 20/20/32 (verde) y 21/21/33 (azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Evolución de la energı́a asociada a una órbita, calculada en el entorno Mapple V, con distintas precisiones de cálculo. La figura muestra cálculos con precisión 19/20/30 (roja derecha), 20/20/32 (azul), 21/21/33 (verde), 22/22/34 (roja izquierda) y 23/23/35 (negra), observando convergencia de los resultados sólo en las dos últimas. . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Vida media de la órbita caótica en función de la amplitud de la perturbación para Reynolds 200. Esta es la figura 7 de [30], similar a la 4 de [33]. En esta gráfico se apoyan los autores para anunciar el carácter fractal de la curva vida media vs. amplitud de la perturbación. . . . . . . . . . . . 27 2.5. Evolución de la energı́a para órbitas con condición inicial levemente perturbada con respecto a la órbita de referencia: órbita con condición ini $ $ (roja). Las perturbaciones están equiescial dada por (2.2.5) con % # $ paciadas en ( ), en unidades de , y tienen un valor de A dado $ % # $ 0 (azul), (negra), por , con (verde), $ (naranja) y (violeta). Los cálculos fueron realizados en el entorno Mathematica 4.1 con una precisión de 21/21/33. El gráfico inferior muestra una ampliación de la zona de separación violenta de órbitas, observando una convergencia monótona al disminuir la amplitud de la perturbación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Aspectos organizativos y económicos del trabajo especial 93 2.6. Evolución de la energı́a para órbitas con condición inicial levemente perturbada con respecto a la órbita de referencia: órbita con condición ini $ $ (roja). cial dada por (2.2.5) con Las perturbaciones tienen un valor $ % # $ (negra) y (azul). de A dado por , con $ Esto corresponde a apartamientos de la condición inicial en una canti % # $ % # $ dad de ( )y( ) respectivamente, en unidades de . Los cálculos fueron realizados en el entorno Mapple V con una precisión de 23/23/35. El gráfico inferior muestra una ampliación de la zona de separación violenta de órbitas, observando una convergencia monótona al disminuir la amplitud de la perturbación. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Evolución de la energı́a para órbitas con condición inicial levemente perturbada con respecto a la órbita de referencia: órbita con condición ini$ Las perturbaciones tienen un valor cial dada por (2.2.5) con $ #%$ (roja). $ 1 (negra) y (violeta). Esde A dado por , con $ to corresponde a apartamientos de la condición inicial en una cantidad % # $ % # $ de ( )y( ) respectivamente, en unidades de . Los cálculos fueron realizados en el entorno Mathematica 4.1 con una precisión de 24/24/36, mayor que la figura 2.5. El gráfico inferior muestra una ampliación de la zona de separación violenta de órbitas, observando nuevamente una convergencia monótona al disminuir la amplitud de la perturbación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Evolución de la energı́a para órbitas con condición inicial levemente perturbada con respecto a la órbita$ de referencia: órbita con condición ini $ (roja). En este caso las perturbaciones cial dada por (2.2.5) con 1 tienen un valor de A dado por $ $ #%$ (azul) y 1 $ $ #%$ (verde). Esta última corresponde a un apartamiento de la condición inicial de referencia más fino que los mostrados en la figura 2.5. Los cálculos fueron realizados en el entorno Mathematica 4.1 con una precisión de 21/21/33. El gráfico inferior muestra una ampliación de la zona de separación violenta de la órbita con perturbación más fuerte con respecto a la de referencia, observándose que la órbita perturbada más levemente sigue a la misma, tapándola en el gráfico, y separándose de ella en un tiempo posterior del orden de 1300. Luego, es de esperar que una órbita con una perturbación suficientemente chica, más chica que la aquı́ mostrada, presente una vida media similar a la del la órbita de referencia, ilustrando la inexistencia de un comportamiento fractal. . . . . . . . . . 29 30 3.1. Generación de la malla de cuboides utilizada mediante la traslación axial de una malla 2D de cuadriláteros en forma de disco. . . . . . . . . . 3.2. Mallas utilizadas para el cálculo. A la izquierda, se muestra la malla MA con 289/276 (nodos/elementos) por capa y, a la derecha, la malla MB, más densa, con 529/512 (nodos/elementos) por capa. . . . . . . . . . . . 3.3. Aspecto de la perturbación introducida al flujo Hagen-Poiseuille. Son dos vórtices antiparalelos alineados axialmente (streamwise vortices). Es la misma perturbación 2D analizada por Meseguer en [36] [37]. . . . . . 31 35 36 37 Gabriel S. Campo 94 3.4. Evolución del factor de amplificación de la perturbación para distintos valores de su energı́a inicial ( ). Los cálculos fueron hechos con la malla MA, perturbando el flujo base de Hagen-Poiseuille con un número de Reynolds de 2945. Se utilizó un paso de tiempo (adimensional) de 0.1. . 3.5. Comparación del factor de amplificación de la perturbación con # de la figura 3.4, con el calculado sobre una malla más fina (MB) y un paso temporal de 0.05, mitad del anterior. . . . . . . . . . . . 3.6. Comparación de los resultados mostrados en la figura 3.4 con los obtenidos por Meseguer en [37], Fig.1 (en negro). Meseguer utilizó un paso temporal de 0.1, 9 modos azimutales y 6 radiales. . . . . . . . . . . . . . 3.7. Evolución de la energı́a de la perturbación por componente. Se observa que la amplificación sólo se manifiesta en la componente axial, donde la energı́a inicial es nula, mientras que las otras componentes decaen monótonamente, extinguiéndose los vórtices impuestos como condición inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Evolución de la componente axial de velocidad para una perturbación # , impuesta sobre el flujo de Hagen-Poiseuille con un con Reynolds de 2945. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Comparación de los resultados obtenidos con los del trabajo de Meseguer [37] (abajo), referidos a la evolución de la componente axial de la , (b) velocidad y de las estructuras formadas a distintos tiempos: (a) 2 12 12 (superior) , (b) (inferior) , (c) y (d) . Las lı́neas de nivel están referidas a la velocidad máxima del flujo de Hagen-Poiseuille +# ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aquı́ considerado ( 3.10. Componente axial de la velocidad para un tiempo fijo de 75 y perturbaciones con distinta energı́a inicial, impuestas sobre el flujo base de Hagen-Poiseuille que tiene asociado un número de Reynolds de 2945. Se observa que se requiere un mı́nimo de energı́a de la perturbación pa +# . . . . . . . . . . . . . . . . ra la formación de los streaks del orden de 3.11. Streaks producto de perturbar al flujo laminar base de Hagen-Poiseuille con Reynolds 2945. Las perturbaciones impuestas presentan una energı́a # (arriba) y # (abajo). Los tiempos correspondientes a estas sode luciones son 197.7 y 56 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Factor de amplificación máximo en función del número de Reynolds, para distintos niveles de perturbación. La lı́nea a trazos es sólo una guı́a para el ojo, diferenciando la región donde tiene lugar la aparición de los streaks (de ella hacia abajo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Velocidad de cálculo al trabajar con ambas mallas. La memoria utilizada para el cálculo fue de 50 Mb al trabajar con MA y 30 Mb con MB. En la figura se muestran los nombres de las máquinas utilizadas, donde el “+” significa que a las máquinas anteriores se les agrega la presente. . . 38 39 40 41 42 4.1. Mallas utilizadas para los cálculos de este capı́tulo. A la izquierda, se muestra la malla M1 con 40733/39424 (nodos/elementos) y, a la derecha, la malla M2, mucho más densa, con 112597/109872. . . . . . . . . . . . . 43 44 45 46 47 51 Aspectos organizativos y económicos del trabajo especial 95 4.2. Velocidad en en un nodo cerca del eje obtenida con una versión vieja del código [42], comparada con la calculada con el nsfracimp. Se observa que el estado turbulento es mantenido por mucho más tiempo con el último código, por lo que se intuye que presenta menos disipación numérica. Esto es confirmado en la figura 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. En el gráfico superior están representados ambos miembros de la ecuación de balance (4.2.1) asociados a la solución obtenida con el código viejo, y en el inferior los relacionados con la solución del código nsfracimp. La diferencia de esos miembros es debido a la presencia de disipación numérica, siendo ésta mucho menor en el código nsfracimp. . . . . . . . . 4.4. Soluciones calculadas con el nsfracimp con parámetros numéricos idénticos a los de la figura 4.2, salvo el estabp, reduciéndolo dos órdenes. . . . 4.5. En el gráfico superior están representados ambos miembros de la ecuación de balance (4.2.1) asociados a la solución obtenida con el valor de estabp de 0.5, y en el inferior con valor de 0.005. La disipación numérica es inferior en el último caso, donde ambas curvas casi se superponen. . . 4.6. Soluciones calculadas con parámetros numéricos idénticos, salvo el paso temporal, observando una separación de las soluciones a un tiempo del orden de 57.8 u.t., lo que muestra que el cálculo no está convergido en el tiempo. El gráfico inferior derecho corresponde a una ampliación del gráfico central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Solución calculada con el nsfracimp sobre la malla M2, empleando los mismos parámetros numéricos de la figura 4.6, salvo el paso temporal: 0.15. Cabe aclarar que al cambiar de malla el punto en donde se observa la velocidad sigue estando sobre el eje, pero no es exactamente el mismo. 4.8. Comparación entre la solución mostrada en la figura 4.7 y la misma recalculada con un paso menor. Los resultados no están convergidos, observándose una separación entre las soluciones a un tiempo del orden de 52.7. Ambos resultados han sido obtenidos sobre M2. El gráfico inferior derecho corresponde a una ampliación del gráfico central. . . . . . . . . 4.9. Soluciones calculadas sobre la malla M2 con distintos pasos temporales. Se observa que cuanto más chico es el mismo, la solución sigue por más tiempo a la solución tomada como referencia: aquella con paso temporal 0.025. Achicar el paso temporal es equivalente a aumentar la precisión de cálculo, observando el mismo comportamiento que la figura 2.2 del capı́tulo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Soluciones calculadas sobre la malla M2, modificando la condición inicial en distintas cifras. Los cambios en las cifras de la condición inicial se realizan modificando la perturbación inicial por un factor (1+C). Se observa que las soluciones perturbadas siguen a la curva de referencia (C=0) por más tiempo cuanto menor es la perturbación. De esta figura puede estimarse la precisión requerida para el cálculo de una órbita turbulenta durante 300 unidades temporales a Reynolds 3000, elevándose a una exactitud en 7 dı́gitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 55 56 57 58 59 60 61 63 Gabriel S. Campo 96 4.11. Velocidad de cálculo al trabajar sobre la malla M2. La memoria total necesaria para el cálculo es de 398 Mb al trabajar con M1 y 1.1 Gb con M2. En la figura se muestran los nombres de las máquinas utilizadas, donde el “+” significa que se agrega la presente a las ya empleadas. . . . 4.12. Energı́a total (arriba) y la asociada a cada componente (abajo). Las figuras a la izquierda corresponden a una perturbación 2D y las de la derecha a una (2D+3D) sobre el flujo de Hagen-Poiseuille con Reynolds 2967. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. Evolución de la componente axial en un corte X-Z, conteniendo al eje de simetrı́a. Se observa la formación y posterior ruptura de los streaks, llevando al sistema a un estado turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Velocidad en e relativa a la máxima del flujo laminar en un punto sobre el eje y en otro a más cercano a la pared, a aproximadamente 0.67 radios del anterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Cuadros correspondientes al campo de velocidad propio de la perturbación, tomados a distintos tiempos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16. Velocidad axial y distribución de la energı́a sobre un plano X-Y del tubo ) correspondiente a un tiempo de 37 u.t.. . . . . . . . . . . . . . . ( 4.17. Velocidad en la dirección X en un punto sobre el eje axial (izquierda) y energı́a de la perturbación asociada a cada componente (derecha). Se muestran los gráficos correspondientes a los distintos valores de energı́a de la perturbación 3D, impuestas sobre el flujo de Hagen-Poiseuille con un número de Reynolds de 2012 junto a la perturbación 2D de energı́a # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18. Evolución del número de Reynolds para las perturbaciones 3D consideradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 67 68 69 70 71 72 73 Índice de cuadros 4.1. Performance lograda con el código de elementos finitos y con un código espectral [43]. El tiempo de CPU que se consigna en el caso del método de elementos finitos, se corresponde a la máxima velocidad alcanzable según la figura 4.11. La siglas u.t. corresponden a unidades temporales. 65 B.1. Horas empleadas en las tareas requeridas para cumplir los objetivos del trabajo especial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Costos estimativos del trabajo especial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 86 98 Gabriel S. Campo Agradecimientos Ja...que fácil y difı́cil a la vez. Fácil, porque ya el hecho de que yo esté escribiendo estas lı́neas el dı́a de hoy, es gracias a que hubo gente que creyó en mi y me apoyó, y a ellos quiero agradecer. Y difı́cil, porque esa gente es mucha. En primer término quiero agradecer muy especialmente a mi familia: Mi vieja y mi viejo, que jamás me dejaron sólo y siempre estuvieron cuando los necesité, al igual que el resto de mi familia. Mis abuelos, que para mi son un ejemplo de vida, de lucha e ideales. Uno lamentablemente se me fue, pero darı́a lo que sea porque en este momento estuviera aquı́. Mis abuelas, que jamás dejaron de mimarme y me brindan un amor infinito cada vez que las veo o hablamos a la distancia. Mi hermana Valeria, que la quiero un montón y le deseo lo mejor. Mi tı́a y mi primo Nahuel, por ser tan piolas para hablar, brindarme otra visión de las cosas y apoyarme siempre. Mi tio, el artista de la familia, que, sin quererlo, me inculcó una gran atracción y respeto hacia el teatro y el arte en general. A todos ellos, quiero decirles que los amo profundamente. Quiero agradecer a mis amigos, que por suerte son muchos. La verdad que a lo largo de mi vida he tenido la suerte de cruzarme con muy buena gente o, tal vez, sólo sea que mantengo el recuerdo de ellas nomás, eso parece más probable, ¿no?. En realidad, la gente no es buena ni mala, solo tiene distintas facetas que hay que aprender a mirar. Pero dejemos la filosofı́a barata (y los zapatos de goma) y nombremos a esa gente, a mi gente, porque se merecen eso y muchı́simo más. Empecemos... A Juan, que junto con Gaby son mi otra familia aquı́ en Bariloche, y también a su familia, que me ha hecho sentir desde el principio parte de ella. Gracias loco por todo. A los pibes del club: el checho, el huesi, el flaco, el cabezón, la oveja, leo, martincho, dieguito, el tuco, la bestia, juanma G., juanma R., el negro, el grana, leo C., lio, el japonés, miguelito y el busi (sı́...con el tiempo dejaste de ser mi entrenador y pasaste a ser un amigo más; además, también se te puede considerar un pibe...no?). Que buenos recuerdos que tengo de todos ustedes. Son indudablemente parte de mi vida. A los que me acompañan desde la primaria, y por suerte cada tanto nos seguimos viendo: Mauro, Damián, el pety, el quemero, Rodrigo, que sigue en nuestro recuerdo, y Cecilia. Gracias por aguantar tanto tiempo!! Cuantas cosas hemos pasado...nuestros caminos se han separado, pera cada tanto se entrecruzan, pasando buenos ratos. Y hay más... A la gente linda de Villa España y alrededores: Moni, Paula, Teresa, Hugo, las Caro’s, 100 Gabriel S. Campo Anabella, Analı́a y la vivi. Gracias, me hicieron conocer un mundo nuevo, el de la montaña. He vivido muy lindas experiencias junto a ustedes. A las chicas del club: vero (sos un ejemplo de lucha, ¿sabı́as?), anita, ceci, mariana, la jime, la tuqui, baby, la tota, y a las hermanas serafinoff: nati y aldana (y a teresa también). A la gente que labura en el club, mi segunda casa por muchos años, y que me lo hace sentir ası́ cada vez que voy: pori, yoli, vivi, aldo, fabio, sanchez y ale, su hijo. Muchas gracias por tanto afecto. Mis compañeros de la UBA...que linda época, sentı́amos la magia de descubrir cada dı́a una cosa nueva: el Piove, Andrés, Juan, Luz, Diego, Renata, Lucas y Fede, el cual me aguantó un año conviviendo. Muchos de ellos, tal vez sin darse cuenta, me incentivaron para que hoy esté yo aquı́. Mis compañeros de ingenierı́a de IB01 que, como se los hice saber una vez, pude aprender algo de cada uno de ellos: el guillote, pablito, kimura, conrado y el gallego. A los compañeros de fı́sica de acá del IB, en particular a Lucas, Tomás, Fito y el niño Potzo. A todo IB00, en particular al cheto. A la gente de teatro de la Biblioteca Sarmiento, la cual me hizo ver el mundo con otra mirada. Ellos son Charly, Seba, Gaby, Ruben, Flavia, Pablo, Juli, Ernesto y Pao (que lindo fue conocerte loca). A Nicanor y a fequi, de Pilca, que realmente se han portado muy bien conmigo y me han brindado muchı́simo afecto. A la gente de MECOM, que me hizo el aguante un año y medio: A Fernando, mi director, que mas bien fue un maestro. A Enzo, que sin su ayuda no podrı́a ni haberme logeado a las máquinas (literalmente hablando) y ni pensar de haber hecho este trabajo sin su ayuda. A Gustavo, por su experiencia. A Daniela, Claudio y Jorge. Todos en algún momento me han dado una mano. Y como no nombrar a Alfredo y el cata, que trabajaron conmigo dentro de la división, y sufrieron éstos últimos dı́as toda la ansiedad por terminar el trabajo y finalmente recibirse. Además quiero nombrar a algunas personas dentro del CAB que por una u otra razón son un referente para mi: Marta Iparraguirre, Fabián Bonetto, Enzo Sauro, Gabriel Meyer y Maria Arribere. Finalmente quiero agradecer a otra gente de por ahi, que de alguna forma me ha apoyado: las familias de mis amigos, Mariela, Mariana y Matias, que me bancó durante este último año y medio. Por último debo agradecer a la gente de la CNEA y UNCu, por permitirme vivir esta experiencia, a partir de la cual he crecido, no solo profesionalmente, sino también en lo personal. De algunos más, de otros menos, pero de cada uno de ustedes (y seguramente que me debo de estar olvidando de tantos otros...) pude tomar algo para mi, que me ha servido en algún momento de mi vida. Y en parte, esa sucesión de momentos vividos juntos hacen que yo este hoy aquı́, a punto de recibirme. A todos ustedes, gracias de todo corazón y buena vida.

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