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CAPÍTULO VII
RESOLUCIÓ N DE TRIÁNGULOS PLANOS
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Teorema de los Senos
Teorema VII -1: Los senos de los ángulos de un triángulo son
proporcionales a los lados opuestos:
sen A
a
sen B = sen C
b
c
Dem.:
sen A = sen B
a
b
h c = b x sen A = a sen B
Dado que se puede hacer lo mismo con las restantes alturas, queda
demostrado el teorema.
Teorema del Coseno
Teorema VII -2: 1) a2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A
2
2
2
2) b = a + c - 2ac cos B
2
2
2
3) c = a + b - 2ab cos C
Dem.: a) Suponiendo A agudo, sabemos (Teor. VI-10 de "Apuntes de
Geometría"):
a 2 = b2 + c 2 - 2c x (proyección de b sobre c)
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proy. de b sobre c = b cos A
sustituyendo este valor:
a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A
b) Suponiendo A obtuso:
a 2 = b2 + c 2 + 2c (proy. de b sobre c)
proy. de b sobre c = b cos (180 - A) =
= - b cos A;
a 2 = b2 + c 2 + 2c (- b c o s A )
= b 2 + c 2 - 2bc cos A
c ) Suponiendo A recto:
a 2 = b 2 + c 2 = b2 + c 2 - 2bc x cos A
lo que se cumple porque cos A = 0.
Luego el teorema se cumple en todos los casos posibles.
Teorema de las Tangentes
A− B a − b
C
=
cot
2
a +b
2
senA senB senA+ senB senA−senB
Dem.:
=
=
=
a
b
a +b
a −b
A+ B
A− B
sen A + sen B = 2 sen
cos
2
2
A+ B
A− B
sen A –sen B = 2cos
sen
2
2
Teorema VII- 3:
tg
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substituyéndolos en la última igualdad, dividiendo y cambian do de
miembro:
tg
A− B a − b A+ B
=
tg
2
a +b
2
y como
A+ B
C
A+ B
C
= 90 − ; tg
= cot
2
2
2
2
quedando demostrado el teorema.
De la misma forma obtendríamos :
tg
B−C b −c
A
=
cot
2
b+c
2
y otras fórmulas análogas.
Fórmulas de Briggs
A
( p − b)( p − c)
=
2
p( p − a)
a +b +c
siendo p = semiperímetro =
2
Teorema VII- 4:
tg
Dem.: Sea un triángulo y su circunferencia inscrita:
Los puntos de contacto son M, N y P.
MB = BN = x;
NC = CP = z; AP = AM = y
2x + 2y + 2z = 2p
x+y+z=p
y=p
(x + z) pero x + z = BN + NC = a
y = p-a
tg
A
r
=
2 p−a
y según "Apuntes de Geometría",
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teorema VI-16, corolario
se halla
tg
r=
( p − a )( p − b)( p − c )
p
A
( p − b)( p − c)
=
2
p( p − a )
lqqd.
Rotando las letras a, b y c:
tg
B
( p − a )( p − c)
=
2
p( p − b)
;
tg
C
( p − a )( p − b)
=
2
p ( p − c)
Área del Triángulo
Teorema VII- 5: El área del triángulo viene expresada por la f ó r m u l a :
S=
1
1
1
ab senC= ac senB = bc senA
2
2
2
Dem.
S=
1
1
aha = ac senB
2
2
pues ha = c sen B.
Resolución de Triángulos Planos
Resolver un triángulo consiste en hallar los ángulos y los lados
desconocidos.
Con ayuda de los teorem as de los senos, del coseno, de las tangentes,
y de las fórmulas de Briggs, pueden resolverse los ca sos corrientes.
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Resolver un triángulo conociendo algunos lados y ángulos
Los casos que pueden presentarse, con datos suficientes para que haya
alguna solución concreta (o pueda averiguarse que no hay solución) son los
siguientes:
Caso 1) Se conoce un lado y dos ángulos.
Caso 2) Se conoce dos lados y el ángulo comprendido.
Caso 3 ) Se conoce 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Caso 4 ) Se conoce los 3 lados.
Caso 1
Supongamos conocidos
a
, B y C.
Inmediatamente podemos hallar A = 180º - (B + C) y luego el teorema de los
senos nos permite calcular
b
y
c.
Este caso tiene, pues solución, una sola solución (con tal de que los 2
ángulos conocidos sumen menos de 180º).
Caso 2
Supongamos conocidos
a
,
y
c
.
El teorema de las tangentes
A− B a − b
C
=
cot
2
a +b
2
A− B
nos permite obtener
; como ya conocemos C, entonces
2
A+ B
C
= 90º −
2
2
tg
conociendo la semisuma y la semidiferencia de A y B, podemos calcu larlos; y
luego el teorema de los senos:
senA senC
=
a
c
nos permitirá calcular c.
Este caso tiene siempre, pues, una y sólo una solución.
Caso 3
a b
Supongamos conocidos
y
A
senA senB
=
a
b
El teorema de los senos
nos permitirá obtener sen B; B; y C por diferencia entre 180° y
A + B. Una vez obtenido C, aplicando de nuevo al teorema de
los
senos podemos obtener
c.
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Discusión del Caso 3:
a) Sea A < 90º
Por inspección de la construcción geométrica deducimos lo si guiente:
FIG: VII -6
Cuando a sea menor que CM no hay solución.
- si a < b sen A, no hay solución.
- si a = b sen A, una solución (triángulo rectángulo).
- si a > b sen A y a < b, 2 soluciones.
- si a > b sen A y a > b, 1 solución.
b) Sea A > 90°
Evidentemente:
− s i a < b no hay solución.
− si a > b, hay una sola solución.
A los mismos resultados llegaríamos analizando este caso con mét odos
trigonométricos.
A efectos prácticos, podemos limitarnos a lo siguiente: obtener sen B;
y hallar los dos ángulos B 1 < 90º y B2 > 90 que tienen ese seno. Ver si A +
B 1 es menor que 180 º: de ser así hay una solución, al menos; ensayar si A +
B 2 es también menor que 180 º: si es así, hay una segunda solución.
Caso 4
Si se conoce
a, b
y
c
podemos usar el teorema del coseno o las
fórmulas de Briggs.
Limitándonos a las últimas, la condición para que haya solución es que
todos los factores sean positivos (para que haya raíz cuadrada)
O sea
p-a>0
p - b> 0
p -c >0
Desarrollando la primera desigualdad:
a +b +c
−a ⟩ 0
2
a⟨ b + c
o sea:
que un lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Si se cumplen
esas desigualdades, hay una solución (y sólo una).
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Resolver un Triángulo en otros casos
Muchas veces convendr á resolver un triángulo analíticamente - o sea,
mediante el cálculo- conociendo de él algún valor distinto de los lados y
ángulos. No daremos en este caso reglas generales, pero la intuición, el
tanteo o el estudio de la solución gráfica pueden llevarnos a resolverlo.
Ejemplo 1) Resolver un triá ngulo conociendo sus tres medianas.
De la fórmula que da las medianas ("Apuntes de Geometría",
Teorema VI-14):
ma =
obtenemos:
1
2(b 2 + c 2 ) − a 2
2
4ma2 = 2b 2 + 2c 2 - a2
4mb 2 = 2a 2 + 2c 2 - b2
4 mc 2 = 2a 2 + 2b2 - c 2
4(ma2 + m b2 + mc2 = 3(a 2+b2 +c 2 )
2a 2 + 2b2 + 2c2 =
8
3
(ma2 + mb 2 + m c2 )
-a 2 + 2b 2 + 2 c 2 = 4 ma2
2
3a =
8 2
4
2
( mb + m c ) 3
3
2
2( mb2 + mc2 ) − ma2
3
y fórmulas análogas para b y c . Obtenidas
ma
2
a=
a, b y c estaríamos en el caso 4º
visto anteriormente .
E jemplo 2) Resolver un triángulo conociendo
senB b
K
= =K=
senC c
1
tg
B − C K −1
A
=
cot
2
K +1
2
A, a
y
senB − senC K − 1
=
senB + senC K + 1
b
=K
c
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con esa fórmula hallaríamos B- C; y como B + C es conocido (180º - A),
estaríamos ya en el caso 2.
Ejemplo 3) Resolver un triángulo conociendo a, A y b + c .
2 sen
senA senB senC senB + senC
=
=
=
=
a
b
c
b+c
B+C
A
B+C A
sen
= cos
+ = 90º
pues
2
2
2
2
2 sen
cos
B+C
B−C
cos
2
2
b+c
A
A
A
B−C
cos
2 cos cos
2
2 =
2
2
a
b+c
B−C b +c
A
=
sen
2
a
2
lo que nos permite obtener B y C y situarnos en el caso 2.
Ejemplo 4) Desde dos puntos A y B de un camino horizontal, alineados
con e l pie de una torre, se ve dicha torre bajo ángulos
Â
y
torre.
B̂ .
Si la distancia AB = d es conocida, averiguar la altura h de la
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Llamando x a BP:
h
h
tgB = ;
;
x+d
x
h
htgB
tgA=
=
h
+ d h + d tgB
tgB
tgA=
x=
h
tgB
h tg A + d tg A tg B = h tg B
h (tg b – tg A) = d tg A tg B
h=
dtgA tgb
tgB − tgA
Ejercicios propuestos
Explique qué proceso de cálculo seguiría para resolver un triángu lo del que se conoce:
1. a, A, y b - c.
2. A, B, y 2p = a + b + c
3. b, c, y ha. ¿Cuántas soluciones podría obtener?
4. a + b - c, y A, B.
5. a, b, y A - B.
6. Para medir la altura de una nube se han hecho simultánea mente dos
observaciones, desde los puntos A y B, distantes entre si d Km. y situ ados ambos a nivel
del mar. La elevación de la vi sual de A hacia la nube es v. Los ángulos que forman las
proyecciones sobre e l plano horizontal de las visuales de A y B son m y n respectivamente
(ambos agudos). Hallar la altura h de la nube.
(R : h =
d sen mtg v
)
sen( m + n )