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Solución.
En el primer cuadrante:
cos θ ≥ 0,
sin θ ≥ 0
tan θ ≥ 0
cos θ ≤ 0,
sin θ ≥ 0
tan θ ≤ 0
cos θ ≤ 0,
sin θ ≤ 0
tan θ ≥ 0
cos θ ≥ 0,
sin θ ≤ 0
tan θ ≤ 0
En el segundo cuadrante:
En el tercer cuadrante:
En el cuarto cuadrante:
Problema 3. Calcular cos θ, tan θ, cot θ, sin 2θ si sin θ = 4/5, π2 < θ < π.
π
Problema 4. Determinar el valor sin 12
Indicación. En el problema 2 es necesario aplicar la fórmula sin2 θ = 21 (1 − cos 2θ).
Resolución de ecuaciones trigonométricas.
En el apartado anterior vimos las técnicas para evaluar funciones trigonométricas.
En este apartado estudiaremos el problema inverso: dado el valor de la función
trigonométrica, determinar el valor del ángulo.
Ejemplo.
Resolver la ecuación trigonométrica
cos 2θ = 2 − 3 sin θ,
0 ≤ θ ≤ 2π
Solución.
Aplicando la fórmula
sin2 θ = 12 (1 − cos 2θ), se obtiene el siguiente polinomio en sin θ :
2 sin2 θ − 3 sin θ + 1 = 0
cuyas raı́ces son
sin θ = 1,
sin θ = 1/2
considerando que 0 ≤ θ ≤ 2π finalmente deducimos que los ángulos que satisfacen la
ecuación dada son respectivamente
θ=
π
,
6
θ=
5π
,
6
θ=
π
.
2
La siguiente tabla presenta las medidas en radianes y en grados de varios ángulos
frecuentes, junto con los valores de seno, coseno, y tangente.
4
La construcción de las gráficas de cos x y cot x se realiza en forma análoga.
De este método de construcción de las gráficas de las funciones trigonométricas se
deducen sus propiedades fundamentales:
a) En primer lugar notemos que las funciones trigonométricas son periódicas, es decir
existe un número real T : tal que
f (x + T ) = f (x).
⎧
cos(α + 2π) = cos(α)
⎪
⎪
⎪
⎨ sin(α + 2π) = sin(α)
⎪
tan(α + π) = tan(α)
⎪
⎪
⎩
cot(α + π) = cot(α)
b)
Problema 7.
(1)
⎧
cos(−α) = cos(−α)
⎪
⎪
⎪
⎨ sin(−α = − sin(α)
⎪
tan(−α) = − tan(α)
⎪
⎪
⎩
cot(−α) = − cot(α)
Construir las gráficas de las funciones
⎧
y = A sin(ωx + a)
⎪
⎪
⎪
⎨ y = A cos(ωx + a)
⎪
y = A tan(ωx + a)
⎪
⎪
⎩
y = A cot(ωx + a)
donde A, ω, a son constantes reales que se denominan amplitud, frecuencia y desfase respectivamente.
La solución se obtiene a partir del problema 6 aplicando los tipos básicos de transformaciones:
Sea y = f (x) gráfica original.
Entonces
y = f (x − c)
es una traslación horizontal de c unidades a la derecha.
y = f (x) − c
es una traslación vertical de c unidades hacia abajo.
y = f (x) + c
es una traslación vertical de c unidades hacia arriba.
y = −f (x)
6
Es una reflexión en el eje x.
Problema 8. Determinar el perı́odo (T) de las funciones dadas en la fórmula (1).
Solución.
⎧
⎪
sin(ωx + a),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ cos(ωx + a),
⎪
⎪
⎪
tan(ωx + a),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ cot(ωx + a),
Problemas 9.
Determinar en qué cuadrante está θ :
cos θ > 0,
cos θ < 0,
Problemas 10.
2π
ω
2π
T =
ω
π
T =
ω
π
T =
ω
T =
sin θ > 0,
sin θ > 0,
Evaluar las funciones trigonométricas sin usar la calculadora.
θ = 0,
θ=
π
,
3
θ = π,
θ=
π
2
Problemas 11. Un ingeniero desea saber el ancho de un rı́o. Desde el punto A camina
100 metros y mira al punto C observando un ángulo θ = 50grados. Qué anchura tiene el
rı́o.?
4. Una persona de 6 pies de altura está a 12 pies de una farola y su sombra tiene 8
pies de largo. A que altura está la farola?
Problemas 12
La temperatura media diaria (Fahrenheit) en cierta ciudad viene dada
por
T = 45 − 23 cos(
2π(t − 32)
)
365
donde t es el tiempo en dı́as, con t = 1 correspondiente al 1 de enero. Hallar la
temperatura media los dı́as:
a) 1 de enero,
b)4 de julio (t=185),
c)18 de octubre (t=291).
d) Cuál es la temteratura máxima, mı́nima en la ciudad?. En qué dı́as se alcanzan
estas temperaturas.?
d) En que hemisferio se encuentra la ciudad ?
Problemas 13.
viene descrito por
Tras hacer ejercicio unos minutos, el ciclo respiratorio de una persona
ν = 0.001 sin(880πt)
a)
Determinar el tiempo que dura un ciclo completo.
7
b) Hallar el número de ciclos por minuto.
c) Dibujar la gráfica de la función.
FUNCIÓN LOGARITMO (ln).
Contenido
• Definición de la función logaritmo.
• Propiedades de la función logaritmo natural. Propiedades de los logaritmos
• Gráfica de la función logaritmo log(ax). Estudiar el caso cuando a > 1 y 0 < a < 1.
• Solución de ecuaciones logarı́tmicas.
Definición de logaritmo
Logaritmo del real positivo b en base es la potencia a la cual es necesario elevar la
base a para obtener el real b, es decir
aloga b = b,
a > 0, a = 1,
b>0
Si a = e ≈ 2.1718281828459045 entonces el logaritmo se llama logaritmo natural
El logaritmo natural fue introducida por J. Napier (1550-1617) y frecuentemente se
denomina logaritmo neperiano.
Propiedades de los logaritmos
Si a y b son números reales positivos , entonces las propiedades siguientes son ciertas
⎧
ln 1 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ ln(ab) = ln a + ln b,
a
⎪
ln = ln a − ln b,
⎪
⎪
b
⎪
⎩
k ln a = ln ak , k ∈ R
Problemas 14.
Sabiendo que
ln 2 ≈ 0, 6931,
ln 3 ≈ 1, 0986
Calcular
ln 6,
Problemas 15.
siones siguientes.
ln 81,
ln 24,
2
ln ,
3
ln 0.25
Aplicando las propiedades de los logaritmos simplifique las expreln(a − 2) + ln(a + 2)
3 ln a + 5 ln b − 2 ln c
3
ln(a2 − 1) − ln(a − 1) − ln(a + 1)
2
donde a, b, c son números reales positivos.
Definición de función logaritmo natural
8
La función logaritmo natural es
ln x =
1
x
1
dt,
t
x>0
Definición de función logaritmo en base a
Si a es un número real positivo (a = 1) y x es un número real positivo cualquiera,
entonces
f (x) = loga x =
ln x
ln a
se denomina función logarı́tmica en base a.
De esta definición fácilmente deducimos que
d loga x
1
=
dx
x ln a
De esta definición se deduce que ln x esta definido para todos los x > 0 y es positivo
para x > 1 y negativo para 0 < x < 1. Además podemos observar que ln1 = 0. Para
construir la gráfica del ln x se utiliza el hecho que
d ln x
1
=
dx
x
por lo tanto la función es creciente para todos los x > 0.
Resumiendo, las propiedades de la función logaritmo son las siguientes:
1. El dominio es (0, +∞)
2. El recorrido es (−∞, +∞)
3. La función es continua, creciente y biyectiva.
4. La gráfica tiene concavidad negativa ( concava hacia abajo ).
Problemas 16. Determinar el dominio de las siguientes funciones
ln(x − 1), ln(1 − x)
ln(9 − x2 ), ln(9 + x2 )
x+2
ln
x−1
Problemas 17.
Conociendo la gráfica de y = ln x, determinar lagráficas de
y
y
y
y
y
= ln(x + 1)
= ln(x − 1)
= 2 ln x
= −1 + ln x
= 1 + ln x
Solución. Es necesario aplicar las transformaciones básicas.
9
Solución de ecuaciones logarı́tmicas.
Problemas 17. Resolver las ecuaciones:
1.
ln x = 2 ln 6 − 2 ln 3
2.
log5 x = log5 0.75 +
1
log5 144
2
Solución de la ecuación 1.
Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos
ln x = ln
36
x
x
⇒ ln = 0 ⇒ = 1 ⇒ x = 4
9
4
4
10