Teorema del l´ımite central

Capı́tulo 3
Teorema del lı́mite central
3.1.
Convergencia débil
Necesitamos precisar la idea de convergencia de una sucesión de medidas de probabilidad
a otra medida de probabilidad. En el contexto de espacios métricos, una noción natural de
convergencia es la siguiente.
Definición 3.1. (Convergencia débil) Sea Ω un espacio métrico. Decimos que una sucesión de medidas de probabilidad {Pn } en (Ω, B(Ω)) converge débilmente a una medida de
probabilidad P en (Ω, B(Ω)) si para toda función continua y acotada f se tiene que
Z
Z
lı́m
f dPn = f dP.
n→∞
Cuando Ω es un espacio métrico compacto, esta definición coincide con la noción de convergencia débil-* en el espacio dual de C(Ω) que se puede identificar con el conjunto de medidas
con signo en C(Ω). Para que esta definición sea útil, lo mı́nimo que necesitamos es que una
sucesión de medidas de probabilidad pueda tener a lo más un sólo lı́mite.
Definición 3.2. (Clase separable de funciones). Sea Ω un espacio métrico. Decimos que
un subconjunto C del espacio de funciones reales Borel-medibles en Ω separa las medidas de
probabilidad si cada vez que P y Q son dos medidas de probabilidad en (Ω, B(Ω)) tales que
Z
Z
f dP = f dQ,
para toda función f ∈ C entonces P = Q.
Teorema 3.3. Si Ω es un espacio métrico, el conjunto de funciones continuas y acotadas en
Ω separa las medidas de probabilidad.
En realidad, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 3.4. Si Ω es un espacio métrico, el conjunto de funciones uniformemente continuas
y acotadas en Ω separa las medidas de probabilidad.
Demostración. Consideremos un conjunto F cerrado. Sea φ(s) = 1 si s ≤ 0, φ(s) = 1 − s si
0 ≤ s ≤ 1 y φ(s) = 0 si s ≥ 1. Definimos para ǫ > 0 la función
1
φ(ρ(x, F ) .
fǫ (x) = φ
ǫ
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CAPÍTULO 3. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Notemos que
lı́m fǫ (x) = 1F (x).
ǫ→0
Claramente estas funciones son uniformemente continuas. Además |fǫ (x)| ≤ 1. Pero por el
teorema de convergencia dominada P (F ) = Q(F ). Como P y Q son medidas regulares, esto
implica que coinciden.
Finalmente, con condiciones más restrictivas, tenemos el siguiente resultado. Recordemos
que en un espacio métrico, el conjunto de funciones continuas que tiende a 0 en infinito
es el conjunto de funciones continuas f tales que para todo ǫ > 0 existe un compacto K tal
que |f (x)| < ǫ si x ∈
/ K.
Teorema 3.5. Si Ω es un espacio polaco, localmente compacto, el conjunto de funciones continuas que tiende a infinito en Ω separa las medidas de probabilidad.
Definición 3.6. (Conjuntos de P -continuidad). Dado un espacio de probabilidad (Ω, M, P ),
decimos que un conjunto A ∈ M es de P -continuidad si P (δA) = 0.
Seguimos con el siguiente resultado que caracteriza de varias maneras la convergencia débil.
Teorema 3.7. (Teorema de Portmanteau). Sea Ω un espacio métrico. Consideremos una
medida de probabilidad P y una sucesión {Pn } en (Ω, B(Ω)). Luego las siguientes condiciones
son equivalentes.
(i) La sucesión {Pn } converge débilmente a P .
(ii) Si f es uniformemente continua y acotada, se tiene que
lı́m
n→∞
Z
f dPn =
Z
dP.
(iii) Si F es cerrado,
lı́m sup Pn (F ) ≤ P (F ).
n→∞
(iv) Si G es abierto,
lı́m inf Pn (G) ≥ P (G).
n→∞
(v) Si A es un conjunto de P -continuidad,
lı́m Pn (A) = P (A).
n→∞
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3.1. CONVERGENCIA DÉBIL
Demostración. Es obvio que (i) implica (ii). Ahora probamos que (ii) implica (iii). Sea F
un conjunto cerrado. Para todo ǫ > 0 definimos Fǫ = ∪x∈F B(x; ǫ). Notemos que F = ∪ǫ Fǫ .
Por un argumento similar a la demostración del teorema ??, existe una función uniformemente
continuaR fǫ tal queR fǫ (x) = 1 si x ∈ Fǫ , fǫ (x) = 0 si x ∈
/ Fǫ y 0 ≤ fǫ ≤ 1. Sabemos que
lı́mn→∞ fǫ dPn = fǫ dP . Por otra parte
Z
P (F ) ≤ fǫ dPn ≤ Pn (Fǫ ).
Ocupando esta desigualdad, tomando el lı́mite cuando ǫ tiende a 0 y el teorema de convergencia
acotada, terminamos la demostración.
Es obvio que (iii) es equivalente a (iv). Probamos ahora que (iii) y (iv) implican (i).
Sin pérdida de generalidad, tomamos una función f continua y acotada tal que 0 < f < 1.
Demostraremos que
Z
Z
lı́m sup f dPn ≤ f dP.
n→∞
Consideremos las sucesiones de funciones simples
φm (x) =
m
X
j−1
m
j=1
1 j−1 ≤f (x)< j (x)
m
m
y
m
X
j
ψm (x) =
1 j−1
j (x).
m m ≤f (x)< m
j=1
Tenemos que
Z
φm dP ≤
Z
f dP ≤
Z
ψm dP.
Si definimos los conjuntos cerrados Fj = {x : f (x) ≥ j/m}, vemos que la integral de la derecha
se puede expresar como
m
1 X
1
+
P (Fj ).
m m
j=1
Haciendo una transformación análoga para la integral de la izquierda, vemos que
m
1 X
P (Fj ) ≤
m
j=1
Z
m
1
1 X
f dP ≤
P (Fj ).
+
m m
j=1
Ocupando (iii) concluimos que
m
1
1 X
+
P (Fj ).
m m
n→∞
j=1
R
R
Haciendo el análisis anterior para −f vemos que lı́m inf n→∞ f dPn ≥ f dP.
Proseguimos con (iii) y (iv) implican (v). En efecto, notemos que
lı́m sup
Z
f dPn ≤
P (Ā) ≥ lı́m sup Pn (Ā) ≥ lı́m inf Pn (Ao ) ≥ P (Ao ).
n→∞
n→∞
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CAPÍTULO 3. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Finalmente probamos que (v) implica (iii). Sea F un conjunto cerrado. Notemos que la
frontera ∂Fǫ de Fǫ = {x : ρ(x, F ) ≤ ǫ} está contenida en {x : ρ(x, F ) = ǫ}. Luego, hay a lo más
una cantidad numerable de valores de ǫ para los cuales ∂Fǫ tiene P -medida positiva. Eligamos
una sucesión ǫn que tiende a 0 y tal que P (∂Fǫ ) = 0. Luego lı́m sup Pn (F ) ≤ lı́m Pn (Fǫk ) =
P (Fǫk ). Tomando el lı́mite cuando k tiende a infinito terminamos la prueba.
Queremos ahora examinar la convergencia débil en el contexto de espacios topológicos.
Definición 3.8. (Topologı́a de la convergencia débil). Sea Ω un espacio métrico. Sea M1
el conjunto de medidas de probabilidad definidas en (Ω, B(Ω)). Consideremos los conjuntos de
la forma
Z
Z
′
P ∈ M1 : fj dP − fj dP < ǫ, 1 ≤ j ≤ n ,
donde f1 , . . . , fn son funciones continuas y acotadas en Ω y ǫ > 0. Definimos la topologı́a de
la convergencia débil en M1 como aquella que tiene como base esta colección de conjuntos.
Lema 3.9. Una sucesión de medidas de probabilidad Pn converge a P si y sólo si Pn converge
a P en la topologı́a débil.
3.2.
Convergencia en distribución
Ocuparemos el concepto de convergencia débil de medidas de probabilidad para definir el
concepto correspondiente de convergencia de sucesiones de medidas de probabilidad.
Definición 3.10. (Convergencia en distribucion). Sea X una variable aleatoria y {Xn }
una sucesión de variables aleatorias. Decimos que la sucesión Xn converge en distribución
a X si
lı́m FXn (x) = FX (x),
n→∞
para todo punto x que es de continuidad de F .
En los que sigue, dada una variable aleatoria Y , denotamos por PY la medida de probabilidad definida por su distribución FY .
Lema 3.11. Una sucesión de variables aleatorias {Xn } converge en distribución a una variable
aleatoria X si y sólo si PXn converge débilmente a P .
Demostración. Supongamos que PXn converge débilmente a PX . Ocupando el teorema de
Portmanteau, y el hecho que el conjunto (−∞, x] es un conjunto de continuidad para PX ,
vemos que FXn converge a FX en distribución. Supongamos ahora que FXn converge a FX en
distribución. Sea G un subconjunto abierto de los reales. Sabemos que G se puede expresar
como la unión de intervalos Ij = (aj , bj ). Para cade uno de estos intervalos, elegimos ǫj de
modo que aj + ǫj y bj − ǫj sean puntos de continuidad de FX , y que
P (Ij − Ij,ǫj ) ≤
Por hipótesis, sabemos que
ǫ
.
2j